中考数学复习 第二章方程与不等式 第7课 一元二次方程课件.ppt

第7课一元二次方程 1 定义 只含有 并且未知数的最高次数是 这样的整式方程叫做一元二次方程 通常可写成如下的一般形式 其中a b c分别叫做二次项系数 一次项系数和常数项 2 解法 要点梳理 一个未知数 2 ax2 bx c 0 a b c是已知数 a 0 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法 3 公式 一元二次方程ax2 bx c 0的求根公式 4 简单的高次方程 二次根式方程的概念 解法 1 高次方程 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数大于2的整式方程 2 无理方程 根号内含有未知数的方程 3 解高次方程的思想是 降次 即把高次方程通过因式分解 换元等方法转化为一元一次方程或一元二次方程 4 解无理方程的思想是通过方程左右两边平方 换元等方法去根号转化为整式方程 要注意验根 舍去增根 x b2 4ac 0 5 二元二次方程组的概念及解法 1 二元二次方程组 由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组或由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组 2 解二元二次方程组的思想是 消元 即把多元通过加减 代入 换元等方法转化为一元方程来解 或 降次 利用因式分解转化为二元一次方程组或一元一次方程来解 1 正确理解并掌握一元二次方程的概念识别一元二次方程必须抓住三个条件 1 整式方程 2 含有一个未知数 3 未知数的最高次数是2 满足上述三个条件的方程才是一元二次方程 不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程 即三个条件缺一不可 在确定方程各项系数时 应把一元二次方程化成一般形式 指明各项系数时不要漏掉前面的符号 一元二次方程的一般形式不是唯一的 但习惯上把二次项系数化为正整数 难点正本疑点清源 2 正确使用各种方法解一元二次方程一元二次方程的解法有四种 在解方程时 要注意灵活选择 直接开平方法 因式分解法只适用于特殊形式的方程 而公式法则是最普遍的方法 配方法用的不多 一般根据方程的特征灵活运用 解一元二次方程要根据方程的特点 选择合适的方法解题 但一般顺序为 直接开平方法 因式分解法 公式法 一般没有特别要求的不用配方法 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义 因式分解法解方程的依据是 若ab 0 则a 0 或b 0 方程的右边一定要化为0 才能用因式分解法求解 运用公式法之前一定要确认两点 其一 该方程是一元二次方程 其二 方程的判别式非负 满足这两点即可使用求根公式 配方法是一种重要的数学方法 它既是恒等变形的重要手段 又是研究相等关系 讨论不等关系的常用方法 在配方前 先将二次项系数a提出来 使括号中的二次项系数化为1 然后通过配方分离出一个完全平方式 1 2011 嘉兴 一元二次方程x x 1 0的解是 a x 0b x 1c x 0或x 1d x 0或x 1解析 x x 1 0 x 0或x 1 0 即x 0或x 1 基础自测 c 2 2011 南充 方程 x 1 x 2 x 1的解是 a 2b 3c 1 2d 1 3解析 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 0 x 1 x 3 0 x1 1 x2 3 d 3 2011 江西 已知x 1是方程x2 bx 2 0的一个根 则方程的另一个根是 a 1b 2c 2d 1解析 当x 1时 1 b 2 0 b 1 x2 x 2 0 x1 1 x2 2 另一个根是 2 c 4 2011 大理 三角形的两边长分别是3和6 第三边的长是方程x2 6x 8 0的一个根 则这个三角形的周长是 a 9b 11c 13d 11或13解析 方程x2 6x 8 0的根为x 2或4 而第三边3 x 9 故x 4 三角形周长为3 6 4 13 c 5 2011 武汉 若x1 x2是一元二次方程x2 4x 3 0的两个根 则x1x2的值是 a 4b 3c 4d 3解析 方程x2 4x 3 0 x1 1 x2 3 所以x1x2 1 3 3 或根据根与系数的关系直接得出x1x2 3 b 题型一一元二次方程的解法 例1 解下列方程 1 3x2 75 0解 3x2 75 0 x2 25 x 5 x1 5 x2 5 2 x x 5 24解 x x 5 24 x2 5x 24 0 x1 8 x2 3 题型分类深度剖析 3 y 3 1 3y 1 2y2解 y 3 1 3y 1 2y2 y 3y2 3 9y 1 2y2 5y2 8y 2 0 y y1 y2 4 3x 5 2 5 3x 5 4 0解 3x 5 2 5 3x 5 4 0 3x 5 1 3x 5 4 0 3x 4 3x 1 0 3x 4 0或3x 1 0 x1 x2 5 1997 x 2 x 1996 2 1解 解法一 1997 x 2 x 1996 2 1 0 1997 x 2 x 1997 x 1995 0 x 1997 x 1997 x 1995 0 2 x 1997 x 1996 0 x1 1997 x2 1996 解法二 因为 1997 x 2 x 1996 2 1997 x x 1996 2 2 1997 x x 1996 所以原方程可化为 1 2 1997 x x 1996 1 2 1997 x x 1996 0 x1 1997 x2 1996 探究提高解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题 但一般顺序为 直接开平方法 因式分解法 公式法 一般没有特别要求的不用配方法 知能迁移1解方程 1 2x 1 2 9 用直接开平方法 解 2x 1 2 9 2x 1 3 x x1 2 x2 1 2 x2 3x 4 0 用配方法 解 x2 3x 4 0 x2 3x 4 x2 3x 4 x 2 x x x1 1 x2 4 3 x2 2x 8 0 用因式分解法 解 x2 2x 8 0 x 4 x 2 0 x 4 0或x 2 0 x1 4 x2 2 4 x x 1 2 x 1 0 解 x x 1 2 x 1 0 x2 x 2x 2 0 x2 3x 2 0 x x1 x2 题型二配方法 例2 试说明 代数式2x2 x 3的值不小于 解题示范 规范步骤 该得的分 一分不丢 解 2x2 x 3 2 x2 x 3 2 x2 x 2 2 3 2 x 2 3 2 x 2 3 2 x 2 不论x取何实数 2 x 2 0 2 x 2 即代数式2x2 x 3的值不小于 探究提高配方法是一种重要的数学方法 它既是恒等变形的重要手段 又是研究相等关系 讨论不等关系的常用方法 在配方前 先将二次项系数2提出来 使括号中的二次项系数化为1 然后通过配方分离出一个完全平方式 知能迁移2对于二次二项式x2 10 x 36 小聪同学作出如下结论 无论x取什么实数 它的值都不可能等于11 你是否同意他的说法 说明你的理由 解 不同意小聪的说法 理由如下 x2 10 x 36 x2 10 x 25 11 x 5 2 11 11 当x 5时 x2 10 x 36有最小值11 题型三应用方程根的定义解题 例3 1 2010 绵阳 若实数m是方程x2 x 1 0的一个根 则m4 m 4 解析 x m m2 m 1 0 m2 1 m m 两边平方 得m2 2 10 m2 8 再平方 得m4 2 64 m4 62 即m4 m 4 62 62 2 已知a是方程x2 2009x 1 0的一个根 试求a2 2008a 值 解 x a a2 2009a 1 0 a2 2008a a 1 a2 1 2009a 原式 a 1 2008 探究提高1 利用方程根的概念 将方程的根代入原方程 再解关于待定系数的方程 就可以求出待定系数的值 2 采用整体的思想方法 结合一元二次方程根的定义及分式加减运算的法则可得 2 中代数式的值 知能迁移3 1 已知方程x2 kx 6 0的一个根是2 求它的另一个根及k的值 解 x 2 4 2k 6 0 2k 2 k 1 x2 x 6 0 x1 2 x2 3 方程的另一个根是 3 k 1 2 已知关于x的二次方程x2 mx n 0的一个解是2 另一个解是正数 且也是方程 x 4 2 52 3x的解 你能求出m和n的值吗 解 x 4 2 52 3x x2 5x 36 0 x1 4 x2 9 x2 mx n 0的两根是2和4 即解得 3 2010 广州 已知关于x的一元二次方程ax2 bx 1 0 a 0 有两个相等的实数根 求的值 分析 对于 3 由于这个方程有两个相等的实数根 因此 b2 4a 0 可得出a b之间的关系 然后将化简后 用含b的代数式表示a 即可求出这个分式的值 解 ax2 bx 1 0 a 0 有两个相等的实数根 b2 4ac 0 即b2 4a 0 b2 4a a 0 4 题型四与几何问题的综合 例4 已知三角形两边长分别为2和4 第三边是方程x2 4x 3 0的解 求这个三角形的周长 解 解方程x2 4x 3 0得x1 1 x2 3 又三角形的第三边a的范围是2 a 6 x 3 三角形的周长 2 4 3 9 探究提高这道题将构成三角形的条件 三角形任何两边之和大于第三边 与一元二次方程的解结合在一起 并考查了分类讨论的思想 知能迁移4已知等腰三角形底边长8 腰长是方程x2 9x 20 0的一个根 求这个等腰三角形的腰长 解 解方程x2 9x 20 0 x1 4 x2 5 当腰长x 4时 4 4 8 不合题意 舍去 腰长x 5 3 解一元二次方程 失根 现象评析考题再现1 解方程 3x x 2 5 x 2 2 解方程 9x2 6x 1 9 3 解方程 x2 2x 1 0 答题规范 学生作答1 解 3x x 2 5 x 2 两边同时除以 x 2 得 3x 5 x 2 解 9x2 6x 1 9 左边因式分解 得 3x 1 2 9 两边开平方 得3x 1 3 x 3 解 x2 2x 1 0 配方 得 x 1 2 0 两边开平方 得x 1 0 x 1 规范解答1 解 3x x 2 5 x 2 3x x 2 5 x 2 0 x 2 3x 5 0 x 2 0或3x 5 0 x1 2 x2 2 解 9x2 6x 1 9 左边因式分解得 3x 1 2 9 两边开平方 得3x 1 3 即3x 1 3或3x 1 3 x1 x2 3 解 x2 2x 1 0 配方 得 x 1 2 0 两边开平方 得x 1 0 x1 x2 1 老师忠告1 解方程3x x 2 5 x 2 时 方程两边同时除以含x的代数式破坏了方程的同解性 遗失了一个根x 2 解方程9x2 6x 1 9 在开平方时 由于只取了一个算术平方根 这样就把未知数的取值范围缩小了 遗失了一个根 解方程x2 2x 1 0时 解得的结果应写成x1 x2 1 2 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 根的判别式表明 在 b2 4ac 0时 有两个实数根 即 0时有两个不相等的实数根 0时有两个相等的实数根 但在解题过程中 往往出现只有一个根的现象 这就表明遗失了一个根 3 规范解答 理解一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 因式分解法 求根公式法的规范步骤 才能避免失根 方法与技巧关于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 当b 0时 方程有两个不相等的实数根的条件是 a c异号 用因式分解法解这个方程ax2 c 0时 只有当a c异号 二次式ax2 c才是可以分解的 用开平方法解这个方程x2 只有当a c异号时 正数 才有两个互为相反数的平方根 因此一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 根的判别式b2 4ac 在a c异号时 b2 4ac 0 方程一定有两个不相等的实数根 思想方法感悟提高 2 关于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 1 当b 0 c 0时 只考虑开平方法 x2 x 其中a c异号 2 当c 0 b 0时 用因式分解法 提取公因式x x1 0 x2 3 当b 0 c 0时 考虑因式分解 十字分解 法 或利用公式法 在进行以上思考前 使a为正 把a b c都整理为整数 约去a b c的公因数 3 解好利用 根的判别式 为工具的有关问题 当给出了根的情况的结论 求a b c中所含字母的取值或取值范围 先求出并化简根的判别式 的表达式 然后根据所给的结论 以 0或 0或 0 再解所得的不等式或方程 失误与防范1 对于最高次项系数含有参数的方程 这并不能断定该方程即为一元二次方程 解题时要分一元一次方程和一元二次方程加以讨论 对于二次项系数含有参数的方程 题设已交代了是一元二次方程 不能忽视二次项的系数应为非零实数 这是个隐含条件 最易被忽视 任何一个关于x的一元二次方程中有一个隐含条件 即二次项系数a 0 2 正确理解 方程有实根 的含义 方程有一个实数根或有两个实数根 如有一个实数根则原方程为一元一次方程 若有两个实数根则原方程为一元二次方程 在解题时 要特别注意 方程有实数根 有两个实数根 等关键文字 要挖掘出它们的隐含条件 以免陷入关键字的 陷阱 3 在运用直接开平方法求一元二次方程的解时 容易出现将平方根和算术平方根混淆的错误 使得在解题时出现失根的现象 例如将x2 9 0变形为x2 9后 根据平方根的意义得到方程的根应该是x 3 而非x 3 用因式分解法解方程时 含有未知数的式子可能为零 所以在解方程时 不能在两边同时除以含有未知数的式子 以免丢根 需通过移项的方式 将方程右边化为0 配方法