弹塑性力学习题

两种平面问题的比较 5 8楔形体受重力及液体压力 设有楔形体 左面垂直 顶角为 下端无限长 受重力及齐顶液体压力 o y x n 用半逆解法求解 因为应力 而应力的量纲只比 高一次 L 所以应力 x y一次式 即可假设应力为x y的一次式 1 用量纲分析法假设应力 2 由应力 关系式 应为x y的三次式 3 满足相容方程 4 由求应力 5 考察边界条件 本题只有两个大边界 均应严格满足应力边界条件 x 0铅直面 解出 解出 斜边界上 须按一般的应力边界条件来表示 有 其中 由式 b 解出a b 最后的应力解答 水平截面上的应力分布如图所示 例题1 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用 体力可以不计 图3 5 试用应力函数求解应力分量 图3 5 y dy y x l h 2 h 2 o 解 本题是较典型的例题 已经给出了应力函数 可按下列步骤求解 1 将代入相容方程 显然是满足的 2 将代入式 2 24 求出应力分量 考察边界条件 主要边界上应精确满足式 2 15 在次要边界x 0上 只给出了面力的主矢量和主矩 应用圣维南原理 用三个积分的边界条件代替 注意x 0是负x面 图3 5中表示了负x面上的的正方向 由此得 由 a b 解出 最后一个次要边界条件 x l上 在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下 是必然满足的 故不必再校核 代入应力公式 得 例题2 挡水墙的密度为 厚度为b 图示 水的密度为 试求应力分量 y o x 解 用半逆解法求解 假设应力分量的函数形式 因为在y b 2边界上 y b 2边界上 所以可假设在区域内沿x向也是一次式变化 即 2 按应力函数的形式 由推测的形式 所以 3 由相容方程求应力函数 代入得 要使上式在任意的x处都成立 必须 代入 即得应力函数的解答 其中已略去了与应力无关的一次式 4 由应力函数求解应力分量 将代入式 2 24 注意 体力求得应力分量为 考察边界条件 主要边界上 有 得 得 得 由上式得到 求解各系数 由 得 得 得 得 由此得 又有 代入A 得 在次要边界 小边界 x 0上 列出三个积分的边界条件 由式 g h 解出 代入应力分量的表达式得最后的应力解答 例题3 已知 试问它们能否作为平面问题的应力函数 解 作为应力函数 必须首先满足相容方程 将代入 a 其中A 0 才可能成为应力函数 b 必须满足3 A E C 0 才可能成为应力函数 例题4 图中所示的矩形截面柱体 在顶部受有集中力F和力矩的作用 试用应力函数 求解图示问题的应力及位移 设在A点的位移和转角均为零 b b A y x h O F Fb 2 解 应用应力函数求解 1 校核相容方程 满足 2 求应力分量 在无体力时 得 3 考察主要边界条件 均已满足 考察次要边界条件 在y 0上 满足 得 得 上述应力已满足了和全部边界条件 因而是上述问题的解 代入 得应力的解答 4 求应变分量 5 求位移分量 将u v代入几何方程的第三式 两边分离变量 并全都等于常数 即 从上式分别积分 求出 代入u v 得 再由刚体约束条件 得 得 得 代入u v 得到位移分量的解答 在顶点x y 0 例题5 图中矩形截面的简支梁上 作用有三角形分布荷载 试用下列应力函数 求解应力分量 y x o h 2 h 2 l 解 应用上述应力函数求解 1 将代入相容方程 由此 2 代入应力公式 在无体力下 得 3 考察主要边界条件 对于任意的x值 上式均满足 由此得 a b c d 由 3 4 得 由 3 4 得 由 5 1 得 e 4 考察小边界上的边界条件 x 0 由 得 由式 2 和 6 解出 f 另两个积分的边界条件 显然是满足的 于是将各系数代入应力表达式 得最后的应力解答 读者试校核在x l的小边界上 下列条件是满足的 例题6 矩形截面的柱体受到顶部的集中力和力矩M的作用 不计体力 试用应力函数 求解其应力分量 M q q h y x