高考数学 专题辅导与训练 4.2《数列的通项与求和》课件 文.ppt

热点考向1等差与等比数列的综合问题 例1 14分 2011 浙江高考 已知公差不为0的等差数列 an 的首项a1为a a r 且成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 对n n 试比较的大小 解题指导 解答本题 1 关键是利用数列 an 的通项公式及已知条件建立关于首项a1 公差d的关系求解 解答 2 关键是表示出以此来求和 进而比较大小 规范解答 1 设等差数列 an 的公差为d 由得 a1 d 2 a1 a1 3d 从而a1d d2 3分因为d 0 所以d a1 a 5分故通项公式an na n n 7分 2 记因为所以 10分所以 当a 0时 12分当a 0时 14分 求解等差与等比数列的交汇问题的方法在解决等差数列或等比数列的相关问题时 基本量法 是常用的方法 但有时灵活地运用性质 可使运算简便 而一般数列的问题常转化为等差 等比数列求解 记清公式 认真运算是必须的 已知等差数列 an 的公差d 0 前n项和为sn 又s6 60 a6为a1和a21的等比中项 1 求an sn 2 若数列 bn 满足bn 1 bn an b1 3 求的前n项和tn 解析 an 2n 3 2 当n 2时 bn bn bn 1 bn 1 bn 2 b2 b1 b1 an 1 an 2 a1 b1 sn 1 b1 n 1 n 3 3 n n 2 bn n2 2n n 2 n n 对n 1也适合 即 热点考向2构造新等差 比 数列求数列通项公式问题 例2 12分 2011 大庆模拟 已知数列 an 其前n项和sn满足sn 1 2 sn 1 是大于0的常数 且a1 1 a3 4 1 求 的值 2 求数列 an 的通项公式an 解题指导 1 利用a3 s3 s2构造关于 的方程求解 2 由 1 的结论 通过sn 1 2 sn 1构造新数列将问题转化为等比数列问题 进而求出数列 an 的通项 规范解答 1 由sn 1 2 sn 1得s2 2 s1 1 2 a1 1 2 1 2分s3 2 s2 1 4 2 2 1 a3 s3 s2 4 2 a3 4 0 1 6分 2 由sn 1 2sn 1整理得sn 1 1 2 sn 1 数列 sn 1 是以s1 1 2为首项 以2为公比的等比数列 8分 sn 1 2 2n 1 sn 2n 1 an sn sn 1 2n 1 n 2 当n 1时 a1 1满足an 2n 1 an 2n 1 n n 12分 互动探究 本例中 若将前n项和sn满足的关系式变为 sn 1 sn 其他条件不变 则结果又如何 解析 1 由sn 1 sn 得s2 s1 a1 1 s3 s2 1 1 2 a3 s3 s2 4 即 4 2 由 1 知sn 1 sn 4 sn 1 sn 4 即数列 sn 是以s1 a1 1为首项 以4为公差的等差数列 sn 1 4 n 1 4n 3 当n 1时 a1 1 当n 2时 an sn sn 1 4 构造新数列求通项公式问题的类型 1 由递推公式a1 a 当n 2时 an p an 1 q a p q都是常数 求通项公式 如果p 1 则数列为等差数列 如果q 0 则数列为等比数列或常数列 当p 1 0且q 0时 则有于是转化为等比数列 2 已知数列 an 满足a1 a 当n 2时 an p an 1 qn a p q都是常数 p 1 0且q 0 求其通项公式 由an p an 1 qn两边同除以qn 得于是转化为1中的问题 解决此类问题时 要注意对n的取值的要求 即n 2时成立的等式 要检验对n 1时是否成立 已知数列 an 满足如图所示的程序框图 1 写出数列 an 的一个递推关系式 2 证明 an 1 2an 是等比数列 3 证明是等差数列 并求 an 的通项公式 解析 1 由程序框图可知 数列 an 的一个递推关系式 a1 1 a2 1 an 2 4an 1 4an n n 2 an 2 2an 1 2 an 1 2an 且a2 2a1 1 数列 an 1 2an 是以 1为首项 2为公比的等比数列 3 由 2 可知an 1 2an 2n 1 数列是以为首项 为公差的等差数列 热点考向3数列求和问题 例3 12分 2011 新课标全国卷 等比数列 an 的各项均为正数 且2a1 3a2 1 a32 9a2a6 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn log3a1 log3a2 log3an 求数列的前n项和 解题指导 解答本题 1 利用两个已知条件直接求公比及首项a1 确定通项公式 对于 2 首先利用对数运算性质求出bn 进而得再利用裂项相消求和法求解 规范解答 1 设数列 an 的公比为q 由a32 9a2a6得a32 9a42 所以 2分由条件可知q 0 故 3分由2a1 3a2 1 得2a1 3a1q 1 得 5分故数列 an 的通项公式为 6分 2 bn log3a1 log3a2 log3an 1 2 n 8分故 9分 11分所以数列的前n项和为 12分 数列求和方法集锦 1 直接由等差 等比数列的求和公式求和 注意对等比数列中q 1的讨论 2 错位相减法 主要用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列求和 即等比数列求和公式的推导过程的推广 3 裂项相消求和法 把数列每一项分裂成两项的和 通过正 负项相消求和 4 分组转化法 把数列的每一项分成两项 使其转化为几个等差 等比数列 再求解 利用错位相减法求和时 转化为等比数列求和 若公比是参数 字母 则应先对参数进行讨论 已知等比数列 an 是递增数列 且满足a1 a2 a3 39 a2 6是a1和a3的等差中项 1 求数列 an 的通项公式 2 若记数列 bn 的前n项和为sn n n 求使sn 120成立的最小值n 解析 1 设等比数列 an 的公比为q 由题意知q 1 由已知条件有2 a2 6 a1 a3 从而a2 2 a2 6 39 所以a2 9 舍去 所以an 3n 2 bn an 1log3an 3n 1 n n 2 所以sn 1 2 31 3 32 n 3n 1 n n 3sn 31 2 32 3 33 n 3n 得 所以当n 1时 s1 1满足上式 由所以n 4 n n 即n的最小值为4 分类讨论思想 数列中讨论问题盘点数列中的讨论问题常见类型 1 求和分段讨论 知道数列 an 的前n项和sn 求数列 an 的前n项和 2 对等比数列的公比讨论 求等比数列前n项和问题中对公比q 1和q 1进行讨论 3 对项数的奇偶讨论 与数列有关的求通项或求前n项和问题中对项数n的奇偶进行讨论 求解时注意的问题 1 树立分类讨论的意识 遇到数列求和特别是等比数列求和问题时要有分类讨论的意识 2 运用公式求和时注意公式成立的条件 运用错位相减求和时 相减后 若两边需除以代数式 则需要讨论代数式是否为零的情况 典例 在等比数列 an 中 设前n项和为sn x sn2 s2n2 y sn s2n s3n 试比较