重庆市万州分水中学高考数学一轮复习 第四章第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质指导课件 新人教A版 .ppt

第四节函数y asin x 的图象与性质 一 y asin x 的有关概念y asin x a 0 0 x 0 表示一个振动量时 a叫振幅 t 叫周期 f 叫频率 x 叫相位 x 0时的相位 称为初相 二 y asin x 的图象的作法 1 五点法 五点通常如下求出 2 y asin x h图象变换如下表 2 关于y asin x 函数图象由y sinx的图象的变换 先将y sinx的图象向左 或右 平移 个单位 再将其上的横坐标缩短 1 或伸长 01 或缩短 0 a 1 到原来的a倍 即可得到 若是先进行了伸缩变换 再进行平移变换 此时平移不再是 个单位 而是 个单位 原则是保证x的系数为1 3 三角函数图象的几种常见变换 相位变换zxxk 1 若将函数y sin2x的图象平移后得到函数y sin 2x 的图象 则下面说法正确的是 a 向右平移b 向左平移c 向左平移d 向右平移解析 y sin 2x sin2 x 只需将y sin2x的图象向左平移个单位长度 即可得到y sin 2x 的图象 答案 b 2 把y sinx的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y sin x的图象 则 的值为 a 1b 4c d 2 3 为了得到y sin2x的图象 可以将y cos2x的图象 a 向左平移个单位b 向右平移个单位c 向左平移个单位d 向右平移个单位 4 文 已知函数y 2sin 2x x 0 则它的振幅 初相分别为 答案 2 理 教材改编题 函数f x asin x 其中a 0 0 的部分图象如图 则f x 的一个解析式为 解析 由图知a 2 t 2 6 2 8 8 f x 2sin x 又f 2 2sin 2 sin 1 0 f x 2sinx 答案 f x 2sinx 5 文 函数y sin2x的图象 向右平移 0 个单位长度 得到的图象恰好关于x 对称 则 的最小值为 解析 将y sin2x的图象向右平移 个单位得到y sin2 x sin 2x 2 的图象 又关于直线x 对称 则2x答案 理 已知函数f x asin x a 0 0 的图象与直线y b 0 b a 的三个相邻交点的横坐标分别是2 4 8 则f x 的单调递增区间为 a 6k 6k 3 k zb 6k 3 6k k zc 6k 6k 3 k zd 6k 3 6k k z解析 结合图形知 f x 在x 3及x 6处分别取得最大值与最小值 f x 在x 0处取得最小值 且周期t 2 6 3 6 再次结合图形知 f x 的单调递增区间为 6k 6k 3 k z 选c 答案 c 由函数图象求解析式 方法技巧 确定y asin x b的解析式的步骤 1 求a b 确定函数的最大值m和最小值m 则 这可通过观察图象解决 2 确定函数的周期t 进而求得 由图象可观察出等 3 求 的常用方法有 1 代入法 把图象上的一个已知点 一般是最值点 代入y asin x b 此时a b已知 或代入图象与直线y b的交点求解 此法适用于 的范围已知的情况 2 五点法 确定 值时 往往以寻找 五点 中的第一零点 作为突破口 作函数y a sin x 的图象 例2 作出函数y 的简图 并说明它与y sinx的图象之间的关系 思路点拨 把看成整体 令 求出相应的x y 列表 描点 顺次连结各点 可得函数在一个周期内的简图 再根据相位 周期 振幅变换规律 可说明 利用函数的周期性 可以把上述简图向左 右扩展 就得到y 的简图 从图象可以看出 y 的图象 是用下面方法得到的 变式探究 2010年四川卷 将函数y sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 所得图象的函数解析式是 方法技巧 1 函数y asin x 的图象在一个周期内的 五点 横向间距必相等为 于是 五点 横坐标依次为 这样可以快速地求出 五点 坐标 也可以先求出五点的第一点 第五点 利用中点公式再求第三点 再利用中点公式求第二点和第四点 2 y asin x 的图象变换最好是先平移再伸缩 每一次变换都是对自变量而言的 要看自变量的变化 而不是看角的变化 3 在实际画图象时 我们一般用 五点法 去作图 而不用图象变换法 函数y a sin x b的简单应用 例3 如右图为一个缆车示意图 该缆车半径为4 8 m 圆上最低点与地面距离为0 8 m 60秒转动一圈 图中oa与地面垂直 以oa为始边 逆时针转动 角到ob 设b点与地面距离是h 1 求h与 间的函数关系式 2 设从oa开始转动 经过t秒后到达ob 求h与t之间的函数关系式 并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少 思路点拨 以圆心o为原点建立平面直角坐标系 利用三角函数的定义求出点b的纵坐标 则h与 之间的关系可求 2 把 用t表示出来代入h与 的函数关系式即可 解 1 以圆心o为原点 建立如下图所示的平面直角坐标系 则以ox为始边 ob为终边的角为 故点b的坐标为 4 8cos 4 8sin h 5 6 4 8sin 2 点a在圆上转动的角速度是 rad s 故t秒转过的弧度数为t 到达最高点时 h 10 4 m 由故缆车到达最高点时 用的时间最少为30秒 变式探究 3 如下图 某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y asin x b 1 求这段时间的最大温差 2 写出这段曲线的函数解析式 解 1 由图示 这段时间的最大温差是30 10 20 2 图中从6时到14时的图象是函数y asin x b的半个周期的图象 方法技巧 面对实际问题时 能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能 这个过程并不神秘 比如本例题 在读题时把问题提供的 条件 逐条地 翻译 成 数学语言 这个过程就是数学建模的过程 在高考中 将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有 求出三角函数的解析式 画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题 例1 试述如何由的图象得到y sinx的图象 例2 已知函数f x asin x b 0 的图象的一部分如图所示 1 求f x 的表达式 2 试写出f x 的对称轴方程 解 1 由图象可知 函数的最大值m 3 最小值m 1 类型在由三角函数的图象求三角函数的解析式时 由于代点的不合理导致错误 例 如图是函数y asin x a 0 0 的部分图象 由题中条件写出该函数解析式 正解 由题图知 a 5 分析 由图象求三角函数的解析式时 一般情况下代点时不宜代入图象的对称点 如果代入了对称点 可再利用函数的单调性对所求得的 具体分析 本题代入最值点 如最低点 5 求 就显得非常简捷 这是因为最大或最小值 在一个周期内是唯一的 一 选择题1 2009年山东卷 将函数y sin2x的图象向左平移个单位 再向上平移1个单位 所得图象的函数解析式是 a y cos2xb y 2cos2xc y 1 sin 2x d y 2sin2x解析 将函数y sin2x的图象向左平移个单位 得到函数y sin2 x 即y sin 2x cos2x的图象 再向上平移1个单位 所得图象的函数解析式为y 1 cos2x 2cos2x 故选b 答案 b 2 文 2010年重庆卷 已知函数y sin x 0 的部分图象如图所示 则 a 1 b 1 c 2 d 2 解析 由五点作图法知答案 d 理 2009年辽宁卷 已知函数f x acos x 的图象如图所示 则f 0 解析 由图象可得最小正周期为 于是f 0 f 注意到与答案 b 3 2009年福建泉州模拟 将函数y sin 2x 的图象上各点的纵坐标不变 横坐标伸长到原来的2倍 再向右平移个单位 所得到的图象解析式是 a y sinxb y cosxc y sin4xd y cos4x解析 y sin 2x y sin x y sin x sinx 故选a 答案 a 4 2010年重庆市南开中学模拟 已知函数f x asin x a 0 0 的图象在y轴右侧的第一个最高点为m 2 2 与x轴在原点右侧的第一个交点为n 5 0 则函数f x 的解析式为 解析 由最高点是 2 2 点排除c d两个选择支 由图象在原点右侧第一个交点为 5 0 点 排除选择支b 故选a 答案 a 5 文 电流强度i 安 随时间t 秒 变化的函数i asin t a 0 0 0 的图象如右图所示 则当t 秒时 电流强度是 理 f x asin x a 0 0 在x 1处取得最大值 则 a f x 1 一定是奇函数b f x 1 一定是偶函数c f x 1 一定是奇函数d f x 1 一定是偶函数解析 依题意 asin a 2k k z 2k f x 1 asin x 2k asin x 2k acos x 即f x 1 为偶函数 答案 d 二 填空题6 若函数f x 3sin x 对任意x都有f x f x 则f 解析 由条件知f x 的图象关于直线x 对称 故f x 在x 处取得最值 f 3或 3 答案 37 2009年宁夏海南卷 已知函数y sin x 0 的图象如图所示 则 8 2009年天津河北模拟 已知简谐运动的函数表达式为其图象经过点 0 1 则该简谐运动的最小正周期t和初相 分别为 9 文 2010年福州模拟 如图是y sin x 0 的图象 则函数解析式为 理 关于x的函数f x sin x 有以下命题 对任意的 f x 都是非奇非偶函数 不存在 使f x 既是奇函数 又是偶函数 存在 使f x 是奇函数 对任意的 f x 都不是偶函数 其中一个假命题的序号是 因为当 时 该命题的结论不成立 cosx f x 都是偶函数 所以 和 都是正确的 无论 为何值都不能使f x 恒等于零 所以f x 不能既是奇函数又是偶函数 和 都是假命题 答案 k k z 或者 k k z 或者 k k z 三 解答题10 2010年广东卷 设函数f x 3sin x 0 x 且以为最小正周期 1 求f 0 2 求f x 的解析式 3 已知 求sin 的值 1 函数f x 的图象可由函数g x 的图象经过怎样变化