随机信号分析课件第6章.ppt

随机过程 第六章 正态随机过程 第六章 正态随机过程 6 1随机变量特征函数的回顾6 2多维正态随机变量的定义与协方差矩6 3n维正态随机变量的性质6 4正态随机过程的定义6 5正态随机过程的性质 如果对一个随机过程任意选取n个时刻 则得到n个相应的随机变量 若此n个随机变量的联合分布是n维正态分布 则称随机过程X t 是正态随机过程 高斯过程 正态随机过程定义 随机变量的特征函数 随机变量的概率密度函数和特征函数之间存在一一对应关系 这个关系就是Fourier变换对 因此在得知随机变量的特征函数后 就可以知道它的概率密度函数 6 1随机变量特征函数的回顾 设为随机变量 称的数学期望为随机变量的特征函数 记为 已知特征函数 求概率密度函数 Fourier反变换 1 特征函数的定义 连续型 离散型 解 解答 详细解答见教材P8例题1 2 例题6 1 结论 具有 X的特征函数为 则Y aX b的特征函数为 证明 2 特征函数的性质 证明 归纳法证明 当n 1时 证明省略 即 定义 若 3 多维随机变量的特征函数 特征函数 多维随机变量的特征函数定义 同一维随机变量一样 多维随机变量的特征函数与概率密度函数是一对fourier变换对 特征函数 概率密度函数 若X1 X2统计独立 则 推广到n个 证明 若独立 则 多维随机变量的特征函数性质 边际特征函数 推广到n个 证明 已知 证明 比较 一维正态随机变量X的概率密度函数可以表示为 记为特征函数为 6 2多维正态随机变量的定义与协方差矩 1 一维正态随机变量 若随机变量X1 X2的联合概率密度函数可以表示为 则称X1 X2为二维正态随机变量 其中 为X1和X2的相关系数 对于上述二维随机变量 其边际概率密度函数可表示为 因此其边际分布为一维正态分布 2 二维正态随机变量 二维正态分布的协方差矩阵可表示为 二维正态分布的协方差矩阵具有如下性质 实对称矩阵 正定矩阵其逆矩阵可表示为 二维正态随机变量的联合概率密度也可表示为 其中 二维正态随机变量的特征函数表示为 其中 二维正态随机变量的特征函数也表示为 若n维随机变量的联合密度函数为 则称为n维正态随机变量 其中C为n维实对称正定矩阵 也是协方差矩阵 记为 3 n维正态随机变量 若n维随机变量的特征函数为 若 则存在n阶正交矩阵A 使得向量中的分量Y1 Y2 Yn是独立的随机变量 且Yi为一维正态分布N 0 di 说明 6 3n维正态随机变量的性质 的特征函数为 证明 总存在正交矩阵A 通过变换此时随机向量的协方差矩阵 且 由性质1可以知道 为n维独立随机变量 且 其中 则 由特征函数线性变换的性质 对于 可以得到 证毕 n维正态分布中任意m维子向量亦为正态分布 m n 证明 已知 若令 则 n维正态随机变量的线性变换也为正态随机变量 即若为正态随机向量 则亦为正态随机向量 只需证明其特征函数亦为正态特征函数 即 已知 若 即 证明 若为n维正态随机变量 那么X1 X2 Xn相互独立的充要条件是两两互不相关 证明 1 若已知两两相互独立 则不相关 2 若已经知道两两不相关 即Cij 0 当i不等于j时 则 实际上 若 方法二 若为n维正态随机变量 则其混合中心距可以用其特征函数来表述 6 4正态随机过程的定义 如果对一个随机过程任意选取n个时刻 则得到n个相应的随机变量 若此n个随机变量的联合分布是n维正态分布 则称随机过程X t 是正态随机过程 高斯过程 正态随机过程定义 n维正态随机变量的联合密度函数为 则称为n维正态随机变量 其中C为n维实对称正定矩阵 也是协方差矩阵 记为 n维正态随机变量的特征函数为 6 5正态随机过程的性质 若正态随机过程为宽平稳 则必为严平稳 二阶矩过程 若正态过程为宽平稳过程 则mX t a为常数 RX tk ti RX tk ti 任取n个抽样时刻t1 t2 tn 这n个时刻所对应的随机变量的协方差矩阵为C 其任意一元素cki RX tk ti a2 c tk ti 则该n个正态变量对应的特征函数为 证明 若把n个时间抽样点作一个时间平移h 即取抽样时刻为t1 h t2 h tn h 则平移后的对应的n个正态分布的随机变量的特征函数为 如果对高斯过程X t 在n个不同时刻采样 所得一组随机变量X1 X2 Xn为两两互不相关 则这些随机变量也是相互独立的 平稳正态随机过程与确定信号之和的概率分布仍为正态随机过程 若正态随机过程X t 在T上是均方可微的 则其导数X t 也是正态过程 若正态随机过程X t 在T上是均方可积的 则其下列积分也是正态过程 高斯过程通过线性系统 其输出亦为正态随机过程 若系统输入端的随机过程为非高斯过程 只要输入随机过程的等效带宽远大于系统的通频带 系统输出端得到正态随机过程 例题6 2 设平稳正态过程X t 均值为0 相关函数RX e 2 4 求对给定时刻t X t1 的值在0 5和1之间的概率 解 例题6 3 X t Acosw0t Bsinw0t 其中A与B为两个独立的正态随机变量 且EA EB 0 EA2 EB2 2 w0为常数 求X t 的一维 二维密度函数 解 X t 为正态随机过程 所以 或者 或者 所以 X t Xcos2 t Ysin