高三第一轮复习数列的概念与简单表示法.ppt

数列 数列的概念与简单表示法 要点梳理1 数列的定义按照排列着的一列数称为数列 数列中的每一个数叫做这个数列的项 一定顺序 2 数列的分类 有限 无限 3 数列的表示法 数列有三种表示法 它们分别是 和 4 数列的通项公式如果数列 an 的第n项an与之间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 列表法 图象法 解析法 序号n an f n S1 Sn Sn 1 an 1 an 1 an 1 an 1 基础自测1 下列对数列的理解有四种 数列可以看成一个定义在N 或它的有限子集 1 2 3 n 上的函数 数列的项数是有限的 数列若用图象表示 从图象上看都是一群孤立的点 数列的通项公式是惟一的 其中说法正确的序号是 A B C D 解析由数列与函数的关系知 对 由数列的分类知 不对 数列的通项公式不是惟一的 不对 C 2 数列1 的一个通项公式an是 A B C D 解析 1可以写成 分母为3 5 7 9 即2n 1 分子可以看为1 3 2 4 3 5 4 6 故为n n 2 即 此题也可用排除法求解 只需验证当n 1时 A选项为 B选项为 C选项为 均不为1 故排除A B C 从而选D D 3 在数列 an 中 a1 1 a2 5 an 2 an 1 an n N 则a100等于 A 1B 1C 5D 5解析方法一由a1 1 a2 5 an 2 an 1 an n N 可得该数列为1 5 4 1 5 4 1 5 4 由此可得a100 1 方法二an 2 an 1 an an 3 an 2 an 1 两式相加可得an 3 an an 6 an a100 a16 6 4 a4 1 B 4 若数列 an 的前n项和Sn n2 1 则a4等于 A 7B 8C 9D 17解析a4 S4 S3 42 1 32 1 7 A 5 数列 an 中 Sn 9 则n 解析 99 题型一由数列的前几项写数列的通项公式 例1 根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 1 7 13 19 2 0 8 0 88 0 888 3 4 5 0 1 0 1 题型分类深度剖析 思维启迪先观察各项的特点 然后归纳出其通项公式 要注意项与项数之间的关系 项与前后项之间的关系 1 由数列的前几项求它的一个通项公式 要注意观察每一项的特点 可使用添项 还原 分割等方法 转化为一些常见数列的通项公式来求 2 由数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法 得出的结果是不可靠的 要注意代值检验 对于正负符号变化 可用 1 n或 1 n 1来调整 探究提高 题型二由数列的递推公式求通项an 例2 根据下列条件 确定数列 an 的通项公式 1 a1 1 an 1 3an 2 2 a1 1 an 1 n 1 an 3 a1 2 an 1 an 1 构造等比数列 待定系数法 2 转化后利用累乘法求解 3 转化后利用累加法求解 解 1 an 1 3an 2 an 1 1 3 an 1 数列 an 1 为等比数列 公比q 3 又a1 1 2 an 1 2 3n 1 an 2 3n 1 1 思维启迪 探究提高已知数列的递推关系 求数列的通项时 通常用累加 累乘 构造法求解 当出现an an 1 m时 构造等差数列 当出现an xan 1 y时 构造等比数列 当出现an an 1 f n 时 用累加法求解 当出现时 用累乘法求解 知能迁移2根据下列各个数列 an 的首项和基本关系式 求其通项公式 1 a1 1 an an 1 3n 1 n 2 2 a1 1 an an 1 n 2 解 1 an an 1 3n 1 n 2 an 1 an 2 3n 2 an 2 an 3 3n 3 a2 a1 31 以上 n 1 个式子相加得an a1 31 32 3n 1 1 3 32 3n 1 题型三由Sn与an的关系求通项an 例3 12分 已知数列 an 的前n项和Sn满足an 2SnSn 1 0 n 2 nN a1 求an 由已知条件可将an Sn Sn 1 n 2 代入等式 得关于Sn与Sn 1的一个等式 经变形推得数列具有等差数列的特征 进而求得Sn 再得an 思维启迪 解 当n 2 n N 时 an Sn Sn 1 Sn Sn 1 2SnSn 1 0 数列的通项an与前n项和Sn的关系是 此公式经常使用 应引起足够的重视 已知an求Sn时方法千差万别 但已知Sn求an时方法却是高度统一 当n 2时求出an也适合n 1时的情形 可直接写成an Sn Sn 1 否则分段表示 探究提高 知能迁移3已知下列数列 an 的前n项和Sn 求 an 的通项公式 1 Sn 2n2 3n 2 Sn 3n b 解 1 a1 S1 2 3 1 当n 2时 an Sn Sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 5 由于a1也适合此等式 an 4n 5 2 a1 S1 3 b 当n 2时 an Sn Sn 1 3n b 3n 1 b 2 3n 1 当b 1时 a1适合此等式 当b 1时 a1不适合此等式 当b 1时 an 2 3n 1 当b 1时 题型四数列的性质 例4 已知数列的通项公式为 1 0 98是不是它的项 2 判断此数列的增减性 1 令an 0 98 看能否求出正整数n 2 判断an 1 an的正负 解 1 假设0 98是它的项 则存在正整数n 满足 0 98 n2 0 98n2 0 98 n 7时等式成立 0 98是它的项 思维启迪 此数列为递增数列 1 看某数k是否为数列中的项 就是看关于n的方程an k是否有正整数解 2 判断数列的单调性就是比较an与an 1的大小 探究提高 知能迁移4已知数列 an 的前n项和Sn n2 24n n N 1 求 an 的通项公式 2 当n为何值时 Sn达到最大 最大值是多少 解 1 n 1时 a1 S1 23 n 2时 an Sn Sn 1 n2 24n n 1 2 24 n 1 2n 25 经验证 a1 23符合an 2n 25 an 2n 25 n N 2 方法一 Sn n2 24n n 12时 Sn最大且Sn 144 方法二 an 2n 25 an 2n 25 0 有n a12 0 a13 0 故S12最大 最大值为144 方法与技巧1 求数列通项或指定项 通常用观察法 对于交错数列一般用 1 n或 1 n 1来区分奇偶项的符号 已知数列中的递推关系 一般只要求写出数列的前几项 若求通项可用归纳 猜想和转化的