人工智能的模糊数学基础.doc

人工智能的模糊数学基础lhz指导：宋继华博士模糊数学的产生与发展n 1965年，美国控制论专家、数学家查德发表了论文Fuzzy Set，标志着模糊数学这门学科的诞生。n 1978年，国际性期刊Fuzzy Sets and Systems诞生。n 1984年，国际模糊系统协会（IFSA）成立。n 70年代末80初引入中国大陆，取得很大成绩，但是进入90年代以后，中国大陆模糊数学与模糊系统学会进入了衰退期。模糊数学的研究内容n 研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。察德以精确数学集合论为基础，并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。比如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它的从属程度是 1，40岁的人肯定不算老人，它的从属程度为 0，按照查德给出的公式，55岁属于“老”的程度为0.5，即“半老”，60岁属于“老”的程度0.8。查德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。 当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。n 研究模糊语言学和模糊逻辑。人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并做出正确的识别和判断。为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，才能给计算机输入指令，建立和是的模糊数学模型，这是运用数学方法的关键。查德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型，使人类语言数量化、形式化。如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1，那么，其他文法稍有错误，但尚能表达相仿的思想的句子，就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“正确句子”的隶属程度。这样，就把模糊语言进行定量描述，并定出一套运算、变换规则。目前，模糊语言还很不成熟，语言学家正在深入研究。人们的思维活动常常要求概念的确定性和精确性，采用形式逻辑的排中律，既非真既假，然后进行判断和推理，得出结论。现有的计算机都是建立在二值逻辑基础上的，它在处理客观事物的确定性方面，发挥了巨大的作用，但是却不具备处理事物和概念的不确定性或模糊性的能力。为了使计算机能够模拟人脑高级智能的特点，就必须把计算机转到多值逻辑基础上，研究模糊逻辑。目前，模糊罗基还很不成熟，尚需继续研究。n 研究模糊数学的应用。模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要，查德的功绩在于用模糊集合的理论找到解决模糊性对象加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不足之处，就能得到弥补。在模糊数学中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。模糊集合n 普通集合与特征函数Def1.给定论域U，U中具有某些特定属性的元素的全体称为U上的一个集合。集合通常有以下几种表示方法：1 列举法（枚举法）Eg: Au1,u2,un2 定义法Eg: A=u|uU,u是奇数，u0,12 模糊集记法：l 和号表示：l 向量表示：l 积分号表示：n 隶属函数的确定模糊集合是通过它的隶属函数来表征的，模糊集合的运算也是通过其隶属函的相应运算来实现的。在某种意义上说，A和A（u）等价。用模糊数学方法解决任何问题，一般总是要建立模糊集合的隶属函数。常用的方法有：1 模糊统计法2 对比排序法3 专家评判法4 基本概念法实数域上几种常用的隶属函数（模糊分布）（图见教材，可帮助理解）：1 对称型（中间型）2 偏小型3 偏大型模糊集合运算n 包含A， BF（U），若对任意的uU，都有:成立，则承A包含B，记为：BAn 并、交、补（扎德算子）设A,BF(U)，定义AB，AB，A，它们分别有隶属函数：分别为模糊集合A和B的并集、交集和补集。n 其他常用算子1 有界和算子“”，有界积算子“”2 概率和算子与实数积算子3 爱因斯坦和算子和爱因斯坦积算子4 亚格尔（Yager）和算子与亚格尔积算子分解定理和扩展原理n 模糊集的截集定义：设AF（U），0，1则称普通集合，Au|uU,A(u)为A的一个水平截集，称为阕值或置信水平。水平截集有如下性质:（1） 设A，BF(u),则(AB)=AB (AB)=AB（2） 若120,1;且10为A的支集。当kerA时，A为正规模糊集。否则为非正规模糊集。n 模糊集的数乘n 模糊数定义：如果实数域R上的模糊集A的隶属函数A（u）在R上连续且具有下列性质：（！）A是凸模糊集，即0.1A的水平截集A为闭区间；（2）A是正规模糊集，即$uR使（u）1则称A为一个模糊数。n 分解定理（即模糊集可以表示为其集的并）n 扩展原理普通集合的扩张原理把两个论域中的对应关系扩张到经典集合之间的对应关系。在模糊集的基础上，新定义了模糊集上的扩张映射，使得经典扩张原理中的映射具有的性质在模糊情形也成立。模糊关系及模糊矩阵n 普通关系定义：设有两个普通集合X和Y，定义X和Y的直积为XY=(x,y)|xX,yY直积亦称为积集。定义：对两个普通集合X和Y，直积XY的子集R称为A到B的一个二元关系n 模糊关系定义：Ai是Ui（I1，2，n）上的模糊集，则称为A1A2An的笛卡儿乘积，它是U1U2Un的一个模糊集。定义：U1U2Un上的一个模糊关系是指：U1U2Un为论域的一个模糊集，记为：n 模糊关系合成定义：设R1和R2分别是UV与VW上的两个模糊关系，则R1与R2的合成是指从U到W的一个模糊关系，记为R1* R2其隶属函数为：R1*R2(u,w)=R1(u,v)R2(v,w)n 模糊变换定义：AF（U），R是UV上的模糊关系，则 A*RB 称为模糊变换。模糊集合的数字特征n 模运算三角模，T模，S模，对偶模等。（了解即可）n 模糊度定义：设AF（U），d是定义在F（U）上的一个实函数，若（1） 对任意的AF（U），d(A)0,1（2） A为普通集合，等价于d(A)0（3） 若A的隶属函数A(u)0.5，等价于d(A)1（4） 若A，BF（U）；且对于任意uU,s.t. B(u)A(u)0.5或B(u)A(u)0.5 则d(B) d(A)（5） 对任意的AF（U），d(A)d(A)则称d为定义在F（U）上的一个模糊度，d(A)为A的模糊度。当论域U为有限时，常用的模糊度有：（图见教材，可以帮助理解）（1） 海明(Haming)模糊度（2） 欧几里德(Euclid)模糊度（3） 彭可夫斯基(Minko wski)模糊度（4） 墒农模糊度其中，S(x)是定义在0,1上的墒农函数，即：n 模糊集的重心发展方向n 在模糊数学中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。n 模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职能，不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。n 目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机，1986年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是1000万次/秒。1988年，我国汪培庄教授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机分立元件样机，它的推理速度为1500万次/秒。这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的一步。n 附录参考书目：1模糊数学在自动化技术中的应用张曾科，清华大学出版社19972模糊理论和神经网络的基础与应用赵振宇，清