高等代数实践课不变子空间.ppt

高等代数实践课 系别 数学与计算机科学系班别 数应本082班姓名 蔡水月学号 0804401202 引入 回忆 1 子空间 令w是数域F上向量空间的一个非空子集 如果W对于V的加法以及标量与向量的乘法都封闭 那么称W是V的一个子空间 这一节课我们将学习不变子空间 大家想一下不变子空间与子空间有什么样的联系呢 下面我们比较着学习 不变子空间 课程要求 1 了解不变子空间的定义2 哪些是不变子空间 举例说明3 限制 以及它的应用4 不变子空间的求法5 不变子空间与一个线性变换的矩阵的关系 定义 V的一个子空间W说是在线性变换 之下不变 或稳定 如果 w w 简单的说 如果子空间在 之下不变 那么w就叫做 的一个不变子空间 下面 我们来看一下不变子空间的例子 例1 V本身和零空间 0 显然在任意线性变换之下不变 所以V本身和零空间 0 都是不变子空间 再看几个例子 例2 令 是V的一个线性变换 那么 的核Ker 和像Im 都在 之下不变 所以 的核Ker 和像Im 都是不变子空间 解析 事实上 对于任意 Ker 都有 0 Ker 所以Ker 在 之下不变 即 Ker 0 至于Im 在 之下不变 是显然的 即 Im v 例3 V的任意子空间在任意位似变换之下不变解析 首先请大家回忆一下 位似 的概念位似 令V是数域 上一个向量空间 取定 的一个数k 对于任意 V 定义 k 容易验证 是V到自身的一个线性映射 这样的一个线性映射叫做V的一个位似 位似变换 k 例4 令 是V 中以某一过原点的直线L为轴 旋转一个角 的旋转 那么旋转轴L是 的一个一维不变子空间 而过原点与L垂直的平面H是 的一个二维不变子空间 例5 令f x 是数域F上一切一元多项式所成的向量空间 f x f x 是求导数运算 对于每一自然数n 令Fn x 表示一切次数不超过n的多项式连同零多项式所成的子空间 那么Fn x 在 之下不变 限制 设w是线性变换 的一个不变子空间 只考虑 在w上的作用 就得到子空间w本身的一个线性变换 称 在w上的限制 并且记作 w 这样 对于任意 W w 然而 如果 W 那么 w 没有意义 现在我们来看一下 不变子空间和简化线性变换的矩阵的关系 设V是数域F上的一个n维向量空间 是V的一个线性变换 假设 有一个非平凡不变子空间W 那么取W的一个基 再补充成为V的一个基 n 由于W在 之下不变 所以 仍在W内 因而可以有W的基 线性表示 有 a a a a a a a a a 1 1 1 an n n a n a n a 1 n 1 ann n 因此 关于这个基的矩阵有形A 这里有A1 是 w关于W的基 的矩阵 而A中左下方的O表示一个 n r r零矩阵 即 若线性变换 有一个非平凡不变子空间 那么只要适当取定V的基 就可以使与 对应的矩阵中有一些元素是零 特别 如果V可以写成两个非平凡子空间W1与W2的直和 V W1 W2 那么选取W1的一个基 和W2的一个基 n 凑成V的一个基 n 当W1和W2都在 之下不变时 容易看出 关于这样取定的基的矩阵是A 这里A1是r阶矩阵 它是 w1关于基 的矩阵 而A2是一个n r阶矩阵 它是 w2关于基 n的矩阵 例6 令 是例4所给出的V3的线性变换 显然V3是一位子空间L与二维子空间H的直和 而L和H都在 之下不变 取L的一个非零向量 取H的两个彼此正交的单位长度向量 3 那么 3是V3的一个基 而 关于这个基的矩阵是 一般地 如果向量空间V可以写成s个子空间W1 W2 WS的直和 并且每一个子空间都在线性变换 之下不变 那么在每一个空间中取一个基 凑成V的一个基 关于这个急的矩阵就有形状 这里Ai是 wi关于所取的wi的基的矩阵 因此 给了n维向量空间V的一个线性变换 只要能够将V分解成一些在 之下不变的子空间的直和 那么就可以适当的选取V的基 使得 关于这个基的矩阵具有