【教学设计】《概率的基本性质》（人教）.docx

概率的基本性质 教学目标1.知识与技能（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0P(A)1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则AB为必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)；（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系。2.过程与方法通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。3.情感态度与价值观通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣。 教学重难点【教学重点】概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。【教学难点】概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。 教学过程（一）新课导入 全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们夺取冠军的概率分别是0.5和0.6，则该省夺取该项冠军的概率是0.50.6吗？为什么？为解决这个问题，我们来学习概率的基本性质。（二）新课讲授问题：在抛掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：C1出现1点，C2出现2点，C3出现3点，C4出现4点，C5出现5点，C6出现6点，D1出现的点数不大于1，D2出现的点数大于4，D3出现的点数小于6，E出现的点数小于7，F出现的点数大于6，G出现的点数为偶数，H出现的点数为奇数，等等。思考1：上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？答：E是必然事件；F是不可能事件；其余是随机事件。思考2：如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？反之，成立吗？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？ 答：如果事件C1发生，则一定发生的事件有D1，D3，E，H，反之，如果事件D1，D3，E，H分别成立，能推出事件C1发生的只有D1.所以从集合的观点看，事件C1是事件D3，E，H的子集，集合C1与集合D1相等。小结：一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作BA(或AB)不可能事件记为，任何事件都包含不可能事件。如果事件A发生，则事件B一定发生，反之也成立，(若BA同时AB)，我们说这两个事件相等，即AB.如C1D1思考3：如果事件D2与事件H同时发生，就意味着哪个事件发生？答：如果事件D2与事件H同时发生，就意味着事件C5发生。反思与感悟：如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与B的交事件(或积事件)，记为AB或AB。思考4：事件D3与事件F能同时发生吗？答：事件D3与事件F不能同时发生。小结：如果AB为不可能事件(AB)，那么称事件A与事件B互斥，即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。思考5：事件G与事件H能同时发生吗？它们两个事件有什么关系？答：事件G与事件H不能同时发生，但必有一个发生。反思与感悟：如果AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生。探究一：事件的关系和运算（1）包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）,记作例 事件C1=出现1点 发生，则事件 H =出现的点数为奇数也一定会发生，所以 注：不可能事件记作 ，任何事件都包括不可能事件。（2）相等关系一般地，对事件A与事件B，若 ，那么称事件A与事件B相等，记作A=B 。例 事件C1=出现1点发生，则事件D1=出现的点数不大于1就一定会发生，反过来也一样，所以C1= D1。（3）并事件（和事件）若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A和事件B的并事件（或和事件），记作 例 若事件K=出现1点或5点 发生，则事件C1 =出现1点与事件C5 =出现 5 点 中至少有一个会发生，则 （4）交事件（积事件）若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A和事件B的交事件（或积事件）记作例 若事件 M=出现1点且5点发生，则事件C1 =出现1点与事件C5 =出现5点同时发生，则（5）互斥事件若 为不可能事件（ ），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生。例 因为事件C1=出现1点与事件C2=出现2点不可能同时发生，故这两个事件互斥。（6）互为对立事件若 为不可能事件， 为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。例 事件G =出现的点数为偶数与事件H =出现的点数为奇数 即为互为对立事件。互斥事件与对立事件的区别:互斥事件可以是两个或两个以上事件的关系，而对立事件只针对两个事件而言。从定义上看，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，也就是不可能同时发生；而对立事件除了要求这两个事件不同时发生外，还要求这二者之间必须要有一个发生，因此，对立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件。从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指这几个事件所包含的结果组成的集合的交集为空集；而事件A的对立事件A所包含的结果组成的集合是全集中由事件A所包含的结果组成的集合的补集。事件与集合之间的对应关系1.概率P(A)的取值范围（1）0P(A)1。（2）必然事件的概率是1。（3）不可能事件的概率是0。（4）若 , 则 P(A) P(B)。思考：掷一枚骰子,事件C1 =出现1点，事件C3=出现3点则事件 发生的频率与事件C1和事件C3发生的频率之间有什么关系?结论：当事件A与事件B互斥时2.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P ( )= P (A) + P (B)3.对立事件的概率公式若事件A，B为对立事件,则P(B)=1P(A)注意：（1）利用上述公式求概率是，首先要确定两事件是否互斥，如果没有这一条件，该公式不能运用。即当两事件不互斥时，应有：（2）上述公式可推广，即如果随机事件A1，A2，An中任何两个都是互斥事件，那么有P (A1 A2 An)= P (A1) + P (A2)+P(An)（三）例题探究例1判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由。某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”。解(1)是互斥事件。理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件。(2)不是互斥事件。理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果。“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生。(3)不是互斥事件。理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生。(4)是互斥事件。理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生。跟踪训练1一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？ 事件A ：命中环数大于7环； 事件B ：命中环数为10环； 事件C ：命中环数小于6环； 事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环。解：A 与C 互斥(不可能同时发生)，B 与C 互斥，C 与D 互斥，C 与D 是对立事件(至少一个发生)。例2如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率是，取到方块(事件B)的概率是，问：(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少？(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？解：(1)因为CAB，且A与B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，根据概率的加法公式得P(C)P(A)P(B)(2)事件C与事件D互斥，且CD为必然事件，因此事件C与事件D是对立事件，P(D)1P(C)反思与感悟：事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率加法公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)1P(C)。跟踪训练2袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？解：设得到黑球、黄球的概率分别为x，y，由题意得解得：x，y，1所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，例3某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解：(1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D，这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P(AD)P(A)P(D)0.30.40.7即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7(2)设他不乘轮船去的概率为P，则P1P(B)10.20.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8(3)由于P(A)P(B)0.30.20.5，P(C)P(D)0.10.40.5故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去。反思与感悟：1.互斥事件的概率的加法公式P(AB)P(A)P(B)2对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和。3当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题。跟踪训练3甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率。解(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P1.即甲获胜的概率是(2)方法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)方法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)1，即甲不输的概率是（四）课堂检测1给出以下结论：互斥事件一定对立。对立事件一定互斥。互斥事件不一定对立。事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率。事件A与B互斥，则有P(A)1P(B)。其中正确命题的个数为()A0 B1 C2 D3 答案：C解析：对立必互斥，互斥不一定对立，正确，错；又当ABA时，P(AB)P(A)，错；只有A与B为对立事件时，才有P(A)1P(B)，错。2抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则()AAB BABCAB表示向上的点数是1或2或3DAB表示向上的点数是1或2或3答案：C解析：设A1,2，B2,3，AB1，AB1,2,3，AB表示向上的点数为1或2或3。3从一批产品中取出三件产品，设A三件产品全不是次品，B三件产品全是次品，C三件产品至少有一件是次品，则下列结论正确的是()AA与C互斥B任何两个均互斥CB与C互斥 D任何两个均不互斥答案：A解析：从一批产品中取出三件产品包含4个基本事件。D1没有次品，D21件次品，D32件次品，D43件次品，AD1，BD4，CD2D3D4，故A与C互斥，A与B互斥，B与C不互斥。4一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为_。答案：0.65解析：中奖的概率为0.10.250.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为10.350.65。（五）课堂总结1互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别