第29物理竞赛复赛模拟赛题第5套答案及评分标准.pdf

第 29 届复赛模拟赛题 第五套 1 第 29 届复赛模拟赛题 第五套 答案及评分标准 满分 160 分 第一题 20 分 1 如图 4 根轻杆之间铰接 左端铰接在墙上 0 A端挂有重物P 求出 11 A B端和墙之间的作 用力 解 对 0 B和 0 A点做力矢量和为零得到 1 B对墙拉力为P 1 A点对象水平压力为P 竖直压力为P 6 分 2 如图将上述结构复制 n 份 铰接起来 分别挂有重物P 2P 1 2nP 求出当 n 足 够大的时候 墙上两个端点与墙之间的相互作用力 解 将右方所有支架加重物视为一个整体 以 n A为支点 写力矩平衡方程 令 n B对墙的拉力为F有 23 234 4 222 PPP FlPllllPl 乘以 2 之后错位相减 4FP 对整理合外力等于零得到 n A对墙水平压力位4P 竖直方向压力为 2 2 22 PP PP P 0 A 0 B1 B 1 A 第 29 届复赛模拟赛题 第五套 2 第二题 20 分 空间中有两层很薄的电荷 电荷密度为 间距为h h很小 叫做电偶极层 一个电量为0q 质量为m的点电荷 只能和电偶极层间发生静电相互作用 而不会碰撞 1 粒子以速度 0 v 角度 入射电偶极层 出射方向i 求出sini和sin 之间的关系 2 将电偶极层弯成离心率为e的双曲面形状 左边为正电荷 两个焦点沿着x轴方向 要求所有平 行于与x轴方向入射的粒子都能汇交与焦点 则粒子速度 电偶极层厚度 电荷密度之间应当满足什 么关系 解 数学附录 双曲线方程 22 22 1 xy ab 22 cab e aa 双曲线上一点到焦点的距离与到准 线的距离之比为e 双曲线的渐近线为 xy ab 1 由高斯定理 电场 0 E 电势差 0 UEhh 由能量守恒 末态初速度 1 v满足 22 01 11 22 mvUqmv 解得 2 10 0 2 hq vv m h 0 v 1 F 2 Fx y 第 29 届复赛模拟赛题 第五套 3 由沿面的切线方向动量守恒 01 sinsinvvi 0 2 0 0 sinsin 2 v i hq v m 10 分 2 经过定性分析 只能是经过减速度后汇交于另一支的焦点 由于本题已知双曲线能将粒子汇聚于焦点 则只需要通过特殊值验算参数见关系即可 最简单的验算位置在距离x轴很远的地方 即在渐近线上 此时入射角为 1 sini e 出射角为sin1 很远 所以到焦点和原点几乎是一条线 带入第一问方程得到 注意为减速 2 0 0 0 2 1 hq v m ev 10 分 解毕 以下不是考题 证明第二问的双曲线能将粒子汇聚到焦点 3 以下不是考题不是考题部分 令曲线方程为 22 22 1 xy ab 考虑两个相邻的入射轨迹PA和PA 作AMP A 于M 1 A NAF 于N 由双曲线第二定义 准线定义 得 1 A M AN e 作 2 A HAF 于H 有 AM AH 双曲线线上点到两焦点距离之差不变 由双曲线性质 12 AF F A 2a MAA 与HA A 中 第 29 届复赛模拟赛题 第五套 4 11 AA cosAA M A M AH cosAA H AA ee 1 sinsini e 2 0 0 0 2 1 hq v m ev 第三题 20 分 空间中有沿着z方向的磁场 磁场大小随着时间和空间变化 满足 0cos BBtkx 一个桌 面在0z 平面上 平面上有一个沿着 x y 方向正放的线框 线框边长为l 总电阻为R 1 假设线框相对于桌面静止 线圈的左端位于0 x 的位置 求出线框中电动势随着时间的变化关 系 2 若线框质量为m 摩擦系数为 线框是否可能相对于桌面沿着 x 方向做匀速直线运动 如果 可能求出参数之间应当满足的条件 如果不可以 写明理由 以下不是考题 找到三个这样的线框 沿着 x 轴发成一排 相邻两个之间用长度为 l的绝缘木棒连 接 问这三个线框是否可能一起做匀速直线运动 如果可以求出各参数应当满足条件 如果不可以写 明理由 解 1 变到以速度v R 的参照系中 对于线圈回路的总电动势 不随参照系变化而变化 虽然动生和感生电动势分别可能发生变化 此系中 0cos BBkx 左杆 1 xvt 右杆 2 xvtl 左杆 10cos Bvtk lv 向上 右杆 20cos Bvtkkl lv 向上 逆时针为正 回路电动势 x y x y 第 29 届复赛模拟赛题 第五套 5 120 cos cos B lvvtkvtkkl 其中vk 10 分 在原系中积分计算磁通量再对时间求导数方法也给全分 2 设直线运动速为 0 v 同第一问有 0000 cos cos B l vvvv tkvv tkkl 又电流I R 安培力FB IlB Il 右左 2 22 200 00 cos cos B lvv vv tkvv tkkl R 显然F与t有关只有 0 vv 然后这会导致0F 不可能 10 分 不是考题部分不是考题部分 11 2 33 llnn k 类似三相交流电 第四题 20 分 一个金属球壳 半径为R 质量为M 带电量为Q 初始时刻自由的静止在空间中 球壳的一 端有一个小洞 球心与小洞的连线方向视为轴线方向 在轴线上很远的地方有一个半径为r的金属球 质量为m 带电量为q 以初速度 0 v向着球心飞去 假设飞行速度很慢 电荷产生电场可以拿静电 力公式计算 金属球壳外表面导电性能良好 不考虑电磁辐射 1 求出当金属球进入球壳后达到球心时 金属球的速度为多少 2 金属球与球壳发生完全非弹性碰撞后连为一体 求整个过程中的发热 以下不是试题 求出能够让金属球打入球壳所需的最小速度 0 v 仔细想哦 答案得到 0 2 kqQ mM v RmM 的同学回去面壁 解 1 初态电势能为 22 1 22 kQkq E Rr 末态Q电势为 Q kQkq u RR q电势为 q kQkq u Rr 第 29 届复赛模拟赛题 第五套 6 末态能量 21 1 2 Q Eu Qu q 2 11 22 kQkqkQq RrR 动能减少为 kQq E R 设末态m速度为 m v 末态M速度为 M v 由动量守恒 0mM mvMvmv 由能量守恒 222 0 111 222 mM kQq mvmvMv R 解得 20 0 2 m mvMkQq mM vv mMmMRmM 正根 负根舍去一个 或者不舍去均给分 2 电荷全部到达外表面后 电势能改变 222 222 k QqkQkq E RRr 由能量守恒得到 222 2 0 1 2222 Mmk QqkQkq v mMRRr 第五题 20 分 如图所示 一个信号源S以恒定的速度v向 x 正方向运动 信号在空中传播的速度为 u 信号源 本身的频率为 0 f 在地面上的静止的观察者P所接受到的信号频率为f 在信号源的飞行轨迹上 O 点位最靠近 P 的点 以O原点建立坐标系 1 证明在信号源距离观察者足够远的时候 有 0 cos 1 f f v u 人类的第一颗人造卫星绕地飞行的时候 地面上的观察者测量卫星发出的光信号频率 纵轴为信号频 率 单位为赫兹 横轴为测量时间 单位为分钟 光速为 8 2 998 10 cm s 2 请由此图估算卫星相对于观察者的速度 3 请由此图估算卫星距离观察者的最近距离 第 29 届复赛模拟赛题 第五套 7 好吧 我承认用了一道台湾的赛题 不过大陆同学应该作过的人不多 将就做吧 解 1 如图 初态距离为l 发出信号 1 l t u 到达P点 过t 后 距离为 cosllvt 信号到达时刻为 2 l tt u 接收时间间隔 21 1cos v tttt u 所以频率为 0 1 1cos f v f u 2 7 max 2 000552 10fHz 7 min 2 000457 10fHz 初态很远到末态很远处频率差为 5maxmin maxmin 4 75 10 2 fff fff 做小量近似有 vvf ccf 则有 3 7 12 10 vm s 3 读出图中中间段的的斜率 2 8 25ks 当卫星飞过头顶时 经过t 后 角度变化为 v t h h为高度 v S v P 第 29 届复赛模拟赛题 第五套 8 频率变化 2 sin vvt fff chc 解得 2 5 4 1 10 fv hm kc 正负20 均视为正确 用曲线回归或者取多个点求平均的方法均视为正确 第六题 18 分 一个质量为2m的星体A和质量为m的星体B 绕着它们的质心分别做圆周运动 在质心系中观 察发现体系总角动量为L 1 求体系的总能量 0 E 2 A发生爆炸成为两个质量为m的星体 1 A 2 A 爆炸瞬间体系总机械能增加了E 之后经历复 杂的三体运动 以下省略刘慈欣写的 三体 最后 1 A和B相互环绕着飞行 2 A与二者远离 已知 这时候以 1 A为参照系B的角动量为 0 L 以 1 A和B的质心为参照系 1 A和B构成的系统的能量最小值 min E为多少 这会对E有什么限制 解 1 考虑两体问题折合质量做法 2m与m的折合质量为 22 23 m mm mm 相对速度为 0 v 相对距离为l 两体问题角动量等于原体系质心系角动量 0 Lv l 由牛顿第二定律 2 0 22 2 2 vG m mGmm lll 解得 2 3 3 4 L l Gm 两体问题能量等于 25 0 2 0 24 23 kp G m mG m EEE lL 由于两体问题动能等于原题体系质心动能 两体问题势能等于原体系势能 所以 25 00 2 0 4 3 G m EE L 10 分 2 对于 1 A和B构成体系 当相对质心动能为 k E 相对质心角动量为 L 这也等于两体问题的 动能和角动量 可以证明当角动量一定时 圆轨道能量最低 4 分 利用第一问结论 第 29 届复赛模拟赛题 第五套 9 注意应当带入的是质心角动量 而不是 1 A相对B角动量 差两倍 2 0 2 2 L l Gm 能量 25 min 2 0 2 4 GmmG m E lL 其他方法均给分 4 分 由此可得 2525 0 22 0 4 3 G mG m EEE LL 2 分 第七题 20 分 如图是两冲程柴油机的工作原理图 为了计算方便我们把工作流程化简如下 假设气缸绝热光滑 活塞自身质量可以忽略 第一阶段 气缸体积达到最大为 1 1 5VL 将空气鼓入气缸 把部分废气赶出气缸 同时将雾化 的燃料 视为 1430 C H 喷入气缸中 此时缸内气压为 1 2 00Patm 温度为 1 350TK 新注入的空 气占体积比为 80 第二阶段 气缸进行绝热压缩至最小体积 2 0 25VL 此时混合气体发生爆炸 恰好完全反应 已知这个温度和压强下 燃烧的焓变为 6 40 10 J kg 即在这个温度和压强下 如果保持温度和 压强不变 则单位质量燃料燃烧放热为 假设燃烧速度很快 燃烧结束的时候气缸体积几乎没有改 变 第三阶段 气缸绝热膨胀对外做功到最大体积 1 1 5VL 回到第一阶段 为了简化计算 空气的成分视为 79 的 2 N 21 的 2 O 体积分数 各种气体的参数如下 2 N 2 O 2 H O 2 CO 摩尔质量 g mol 28 32 18 44 定容摩尔热容量 R 2 5 2 5 3 0 2 5 假设满足理想气体状态方程 气体做绝热变化的时候满足pVC 其中 V V CR C V C是定 容摩耳热容量 1 为了使得恰好完全反应 每次应当喷入多少质量的燃料 2 求出压缩到最小体积 点燃前的温度 2 T 以及排出废气的温度 1 T 以下不是考题 计算这个内燃机的最大工作效率 第 29 届复赛模拟赛题 第五套 10 解 1 新入空气摩尔数 1 1 1 0 1 1 04 10 pV nmol RT 2 O摩尔数 2 2 080 21 1 75 10 O nnmol 反应方程式 1430222 21 51415C HOCOH O 燃料 4 8 14 10 x nmol 0 161 x mg 6 分 2 废气中摩尔比例 222 1415 0 79 0 21 0 21 21 521 5 NCOH O 由此算得压缩前 2222 0 779 0 168 0 0255 0 0273NOCOH O 等效的1 3978 燃烧后 222 0 79 0 137 0 147NCOH O 等效的 1 3886 等效的 2 573 V CR 4 分 压缩至 2 V后 1 122 pVp V 2 24 48patm 22 211 1 1 2 040713 9 p V TTTK pV 4 分 燃烧后 2 1 0 141522 5 1 10 10 21 5 O nnnmol 末 若等压燃烧每 mol 放热 6 0 198 7 92 10 mol g molJ mol 按热力学第一定律 燃烧后 二氧化碳 水 的内能 原料 燃料 氧气 6 7 965 10 molmol Up VJ mol 4 分 变成定题绝热燃烧后 由于吸热 做功等于 0 由此得到 3 22 3 462 10 xmol V nU TTK n C 末 膨胀带入绝热方程得答案 第 29 届复赛模拟赛题 第五套 11 1 31 12 2 1 73 10 V TTK V 2 分 3 不是考题部分不是考题部分 0 5 xmol WW n 膨胀压缩 第八题 22 分 在 SLAC 中 一种产生高能 射线 高能光子 的方式是拿高能电子与可见光 低能光子 对撞 高能电子的总能量为1 00GeV 可见光的波长为550nm 可见光与电子动量方向相反 电子的静质 量为0 51Me