高三数学二轮复习 8.4排列、组合与二项式定理（理）课件.ppt

1 掌握分类计数原理与分步计数原理 并能用它们分析和解决一些简单的应用问题 2 理解排列的意义 掌握排列数计算公式 并能用它解决一些简单的应用问题 3 理解组合的意义 掌握组合数计算公式和组合数的性质 并能用它们解决一些简单的应用问题 4 掌握二项式定理和二项展开式的性质 并能用它们计算和证明一些简单的问题 1 本部分内容在高考中所占分数大约在3 6 之间 2 本部分考查的内容主要是 分类与分步计数原理 排列与组合及二项式定理的有关内容 3 命题规律 此部分在命题时 题目类型一般为选择或填空题 高考对本部分内容的考查特点是侧重基础 多数高考试题的难度与课本中习题难度相当 但在高考试卷中分值所占比例超过占总课时的比例 在解答题时 将可能出现与其它知识点 函数 不等式 几何等 相结合的综合题 有一定的难度 1 两个计数原理分类计数原理与分步计数原理 都是关于完成一件事的不同方法种数的问题 分类 与 分步 的区别 关键是看事情完成情况 如果每种方法都能将事件完成则是分类 如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步 分类要用分类计数原理将种数相加 分步要用分步计数原理将种数相乘 3 应用题 解排列组合问题应遵循的原则 先特殊后一般 先选后排 先分类后分步 常用策略 a 相邻问题捆绑法 b 不相邻问题插空法 c 多排问题单排法 d 定序问题倍缩法 e 多元问题分类法 f 有序分配问题分步法 g 交叉问题集合法 h 至少或至多问题间接法 i 选排问题先取后排法 j 局部与整体问题排除法 k 复杂问题转化法 3 二项式定理 1 定理 a b n can can 1 b can rbr cabn 1 cbn n n 通项 展开式的第r 1项 tr 1 can rbr 其中c r 0 1 n 叫做二项式系数 2 二项式系数的性质 在二项式展开式中 与首末两端 等距离 的两项的二项式系数相等 即 例1 2011 浙江金华十校 有一项活动 需在3名老师 8名男生和5名女生中选人参加 1 若只需一人参加 有多少种不同选法 2 若需老师 男生 女生各一人参加 有多少种不同选法 3 若需一名老师 一名学生参加 有多少种不同选法 分析 根据 分类互斥 分步互依 合理地选用计数原理 解析 1 有三类选人的办法 3名老师中选一人 有3种方法 8名男生中选一人 有8种方法 5名女生中选一人 有5种方法 由分类计数原理 共有3 8 5 16种选法 2 分三步选人 第一步选老师 有3种方法 第二步选男生 有8种方法 第三步选女生 有5种方法 由分步计数原理 共有3 8 5 120种选法 3 可分两类 第一类又分两步 第一类 选一名老师再选一名男生 有3 8 24种选法 第二类 选一名老师再选一名女生 有3 5 15种选法 再由分类计数原理 共有24 15 39种选法 评析 用两个计数原理解决计数问题时 最重要的在开始计算之前要进行仔细分析 确定需分类还是分步 1 分类时要做到不重不漏 分类后再对每类进行计数 最后用分类加法计数原理求和 得到总数 2 分步要做到 步骤完整 完成了所有步骤恰好完成任务 当然步骤之间要相互独立 分步后再计算每一步的方法数 最后根据分步乘法计数原理 把完成每一步的方法数相乘 得到总数 2011 东北四市联考 计划在4个体育馆举办排球 篮球 足球3个项目的比赛 每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行 则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有 a 24种b 36种c 42种d 60种 答案 d 解析 每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行 共有43 64种安排方案 三个项目都在同一个体育馆比赛 共有4种安排方案 所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有60种 故选d 例2 2011 大连二模 由0 1 2 3 4 5这六个数字组成的不重复的六位数中 不出现 135 与 24 的六位数的个数为 a 582b 504c 490d 486 答案 c 解析 先求出现 135 或 24 的六位数的个数 a a a a a a 18 96 4 110 而组成的不重复的六位数的个数为 a a 600 因此不出现 135 与 24 的六位数的个数为 600 110 490 评析 区分某一问题是排列还是组合问题 关键看选出的元素与顺序是否有关 若交换某两个元素的位置对结果产生影响 则是排列问题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响 则是组合问题 也就是说排列问题与选取元素的顺序有关 组合问题与选取元素的顺序有关 某台小型晚会由6个节目组成 演出顺序有如下要求 节目甲必须排在前两位 节目乙不能排在第一位 节目丙必须排在最后一位 该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 a 36种b 42种c 48种d 54种 答案 b 解析 分两类 第一类 甲排在第一位时 丙排在最后一位 中间4个节目无限制条件 有a种排法 第二类 甲排在第二位时 从甲 乙 丙之外的3个节目中选1个节目排在第1位时有c种排法 其他3个节目有a种排法 故有ca种排法 依分类加法计数原理 知共有a ca 42 种 编排方案 例3 用数字0 1 2 3 4 5 6组成没有重复的四位数 其中个位 十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个 用数字作答 分析 排列组合问题 一般先选后排 要注意特殊元素或特殊位置优先的策略 答案 324 评析 排列组合问题常用方法有两类 即特殊元素优先考虑与特殊位置优先考虑两种 遵循基本原则 先选后排 即先组合后排列 注意做到不重复不遗漏 有4位同学在同一天的上 下午参加 身高与体重 立定跳远 肺活量 握力 台阶 五个项目的测试 每位同学上 下午各测试一个项目 且不重复 若上午不测 握力 项目 下午不测 台阶 项目 其余项目上 下午都各测试一人 则不同的安排方式共有 种 用数字作答 答案 264 解析 由条件上午不测 握力 则4名同学测四个项目 则a 下午不测 台阶 但不能与上午所测项目重复 如下午甲测 握力 乙丙丁所测不与上午重复有2种 甲测 身高 立定 肺活量 中一种 则3 3 9 故a 2 9 264种 例4 如图 一环形花坛分成a b c d四块 现有4种不同的花供选种 要求在每块里种1种花 且相邻的2块种不同的花 则不同的种法总数为 a 96b 84c 60d 48 分析 可按花坛种花种数进行分类 最多用4种 最少用2种 答案 b 评析 本例可看成是一类应用问题 涂色问题 它也是排列组合的一类综合应用问题 如图 用四种不同颜色给图中的a b c d e f