不等式与推理与证明.doc

专题9、 不等式与推理与证明一、主要知识网络 不等式的概念和性质 不等式的证明 不等式的解法 不等式的应用推 理合情推理演绎推理归纳类比证明直接证明间接证明 综合法分析法反证法数学归纳法（理科） 二、内容及方法解析1、 要注意不等式的性质的单项性与双向性，也就是每条性质是否具有可逆性。在应用性质时，一定要准确把握条件是结论的充要条件还是充分条件。2、 在学习不等式的解法时，应掌握各类不等式的特点，同解不等式的特殊性，并认真归纳出各类不等式的常规解法和思路。这部分在高考中经常出现，因此是重点内容。解各类不等式都有其“通法”，也有“巧法”，且不可偏爱“巧法”而忽视“通法”，否则将本末倒置。3、 线性规划是直线方程在解决实际问题中的应用，常通过二元一次不等式表示的平面区域来确定实际问题的解，应用极为广泛。常用的数学思想方法是数形结合。4、 能够利用基本不等式求函数的最值，能够熟练运用变形过程中的一些常用技巧，能够运用配方思想、函数思想、分类讨论思想。5、 不等式作为一种工具常与函数与方程结合在一起，来研究函数与方程的有关题目，再就是利用函数和方程的理论研究不等式，如根的分布问题、恒成立问题、解析几何中的变量范围问题等都是高考的命题的重点内容，往往在高考中以综合题的形式出现。6、 通过已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析方法，认识归纳推理和类比推理这两种推理的基本方法。体会演绎推理在实际证明中的应用价值和证明的一般过程。7、 数学归纳法具有猜想归纳培养探索问题的能力，所以成为高考的重点，应引起足够的重视。此类问题分为归纳型问题和存在性问题，需要从特殊情况下手，通过观察、分析、归纳、猜想探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想。三、重要考点高考试题回顾与命题展望考点1 不等式不等式的应用在高考中主要体现在两个方面一是解决数学问题，如解析几何中直线与圆锥曲线交点问题，方程的解的个数问题，函数的定义域、值域等，考查的可能性比较大。二是解决实际问题，应用题在近几年高考中出现的不多，随着新教材的使用趋于稳定，考查的可能性也在增加。高考题1（2007年安徽）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD解析：若x0时，a1。若x0时，a1。若x0，恒成立。所以选B。知识方法探究：求解不等式恒成立问题时，通常转化为求函数的最值问题。必要的时候进行分类讨论。但是对分类标准的把握又是一个重点。高考题2：如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（ ）ABCD解析：画出点P的平面区域后，应用两点的距离公式求解。答案A。知识方法探究：线性规划问题时高考的热点之一，考查时可以求最优解、最值等，通常画图，用数形结合的思想方法解题题目多为选择题、填空题，为容易题或中档题，多数情况下可用特殊位置法解题。高考题3：（04年重庆理22）设数列满足 （） 证明：对一切正整数成立；（）令判断与的大小，并说明理由.解析：（）证法一：当时，不等式成立，假设时，成立当时，时，成立由可知，对一切正整数成立.证法二：由递推公式可得上述各式相加并化简得又时，成立，故（）解法一：故解法二：故.因此知识方法探究:本题是考查数列与不等式的综合题,运用数学归纳法证明递推数列的不等关系,考查不等式证明的基本方法:比较法、放缩法.高考题4：（06年浙江理16）设使,，求证：()a0且-2-1；()方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.解析：()因为,所以又,消去,得,由消去,得所以()抛物线的顶点坐标为又两边乘以得,又而所以方程在区间与内分别有一实根,即方程在有两个实根.知识方法探究：本题考查了不等式的基本性质以及不等式的证明方法。第二问考查了函数与方程的思想以及零点分布的判断方法。考点2推理与证明推理在高考中主要考查归纳推理与演绎推理，主要应先由已知条件归纳出一个结论，并加以证明或以推理作为题目的已知条件给出猜测的结论，并要求考生会应用或加以证明。高考题1（2006江西）已知数列满足:. (1) 求数列an的通项公式; (2) 证明:对一切正整数n,不等式a1.a2.an2.n! 恒成立. 解析： (1)将条件变为:,因此, 为一个等比数列. 其首项为,公比为,从而 据此得.（2）证:据得为证只要证时有.显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个nN*用数学归纳法证明式：10当n=1时，显然式成立，20设时，式成立即记此式为f(k)g(k) 则当n=k+1时，只需证即 代知只需证：f(k)1.此式显然成立。n=k+1时,不等式成立。由归纳原理知，不等式对任意正整数n都成立。知识方法探究：题（1）对递推公式变形后,整体代换把看成一个数列,处理得好.若用“猜想+证明”的方法求通项公式，就有点难。高考模拟题1：试证：- (a4)解析：要证原式，只需证 + 又因左、右边都是非负数，故只需证 (+)2(+)2 此即 2a-5+2a-5+2 此即 只需证 (a-1)(a-4)(a-2)(a-3), 只需证 a2-5a+4a2-5a+6. 即 46 显然，这个不等式是成立的，且每一步可逆，故原不等式得证. 知识方法探究：这是一个用分析法证明不等式的例子，所谓分析法，就是从求证的不等式出发，分析出新的系列不等式，使新的不等式是上一个不等式成立的条件，直至最后一个不等式明显成立.由此证得原不等成立.说得理更具体一点，就是：从求证的不等式出发，每一步的不等式都是前一步不等式的充分条件，而最后一个不等式明显成立.由此再逆推而上，证得原不等式成立. 高考模拟题2： 设a,b,cR，且 试证 a0且b且c0. 解析：假设a=0 ，由知a0，矛盾，故假设不对. 假设a0，由得bc0，-bc0，故由得 ab+ca=-bc0， a(b+c)0. a0， b+c0,-(b+c)0. 由得 a-(b+c)0 a0 由、得a0且a0，矛盾，故假设不对.既然a不等于零也不能小于零，所以a0.由于原不等式组的左边的式子都是a，b，c轮换对称的，同理可证出b0，c0. a0且b0且c0. 知识方法探究：这是一个用反证法证明不等式的例子，所谓反证法，就是先假设命题不成立，并由此出发，逐步推出与假设或已知条件相矛盾的结果，说明所给假设不对，从而证得了原不等式，就象例6那样，不论从条件入手还是从结论入手，不易找到证明的思路，可考虑用反证法. 高考模拟题3：如下图，设P1，P2，P3，Pn，是曲线y=上的点列，Q1，Q2，Q3， ，Qn，是x轴正半轴上的点列，且OQ1P1，Q1Q2P2，Qn1QnPn，都是正三角形，设它们的边长为a1，a2，an，求证：a1+a2+an=n（n+1）.解析：证明：（1）当n=1时，点P1是直线y=x与曲线y=的交点，可求出P1（，）.a1=|OP1|=.而12=，命题成立.（2）假设n=k（kN*）时命题成立，即a1+a2+ak=k（k+1），则点Qk的坐标为（k（k+1），0），直线QkPk+1的方程为y=xk（k+1）.代入y=，解得Pk+1点的坐标为ak+1=|QkPk+1|=（k+1）=（k+1）.a1+a2+ak+a k+1=k（k+1）+（k+1）=（k+1）（k+2）.当n=k+1时，命题成立.由（1）（2）可知，命题对所有正整数都成立.知识方法探究：本题的关键是求出Pk+1的纵坐标，再根据正三角形高与边的关系求出|QkP k+1|.考查了数学归纳法在证明几何问题中的应用。高考模拟题4:已知y=f（x）满足f（n1）=f（n）lgan1（n2，nN）且f（1）=lga，是否存在实数、使f（n）=（n2+n1）lga对任何nN *都成立，证明你的结论.解析：f（n）=f（n1）+lgan1，令n=2，则f（2）=f（1）+f（a）=lga+lga=0.又f（1）=lga， f（n）=（n2n1）lga.证明：（1）当n=1时，显然成立.（2）假设n=k时成立，即f（k）=（k2k1）lga，则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+lgak=f（k）+klga=（k2k1+k）lga=（k+1）2（k+1）1lga.当n=k+1时，等式成立.综合（1）（2）可知，存在实数、且=，=，使f（n）=（n2+n1）lga对任意nN*都成立.知识方法探究：本题同是探索性命题，取n=2求出、,再证明一般性。四、专题过关11 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5 11、 右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的， 称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，所表示 的数是(A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 82、 下列推理正确的是(A) 把 与 类比，则有： (B) 把 与 类比，则有： (C) 把 与 类比，则有： (D) 把 与 类比，则有：3、 观察如图中各正方形图案，每条边上有个圆点，第个图案中圆点的总数是n=2 n=3 n=4按此规律推断出与的关系式为(A) = (B) =4n (C) = (D) =4、四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，那么第2005次互换座位后，小兔的座位对应的是5、设若,且,则下列结论正确的是（ ） 6、实数满足,则的最大值是 （ ） 7、若实数满足，则的最小值是 （ ） 8、若,则下列不等式一定成立的是 （ ） 9、正数满足，则的取值范围是 （ ） 10、设变量、满足约束条件则目标函数的最小值为（ ） 填空题：11类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四体的下列的一些性质，各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角相等；各个面都是全等的正三角形， 相邻两个面所成的二面角相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任何两条棱的夹角相等你认为比较恰当的是 12、为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理如下图：解密密钥密码加密密钥密码明文密文密文发送明文现在加密密钥为，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为 13、由图(1)有面积关系: 则由(2) 有体积关系: 14、若a、b、c是不全相等的正数，求证：15、（本小题满分12分）若关于的不等式的解集是，求不等式的解集16、已知数列中，（）是否存在自然数m，使得当时，；当时，？（）是否存在自然数p，使得当时，总有？专题过关答案及解析1C 2D 3B 4A 5D 6B 7B 8B 9B 10B11、12、运用映射概念，体现RMI原则，实质上当x=6时，y=3，可得a=2,从而当y=4时，x=2421413、 14、证明二：(综合法)a，b，cR+，abc成立上式两边同取常用对数，得15：解：由不等式的解集是得是方程的两个根，故又所以 6分不等式即或 10分所以不等式的解集是. 12分 16、解（）首先考虑能否化简已知条件，但事实上这一条路走不通，于是，我们转而考虑通过计算一些的值来寻找规律不难得到：，可以看出：均大于2，从到均小于2，但能否由此断定当时，也有？这就引导我们去思考这样一个问题：若，能否得出？为此，我们考查与的关系，易得可以看出：当时，必有于是，我们可以确定：当时，必有为了解决问题（），我们还需验证当时，是否均有方法之一是一一验证即通过已知条件解出：由此，我们可以从出发，计算出这个数列的第6项到第1项，