高考数学一轮复习 1.2 常用逻辑用语 理.ppt

第2讲常用逻辑用语 学习目标 1 理解命题的概念 了解 若p 则q 形式命题的逆命题 否命题与逆否命题 会分析四种命题的相互关系 2 理解必要条件 充分条件与充要条件的意义 3 了解逻辑联结词 或 且 非 的含义 4 理解全称量词与存在量词的意义 能正确地对含有一个量词的命题进行否定 基础检测 1 2011陕西 设a b是向量 命题 若a b 则 a b 的逆命题是 a 若a b 则 a b b 若 a b 则a bc 若 a b 则a bd 若a b 则 a b 解析 只需将原命题的条件和结论分别变成新命题的结论和条件 选c c 2 2011湖南 设集合m 1 2 n a2 则 a 1 是 n m 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分又不必要条件 a 解析 a 1时一定有n m 反之 不一定成立 如a 1 选a 3 2011安徽 命题 所有能被2整除的整数都是偶数 的否定是 a 所有不能被2整除的整数都是偶数b 所有能被2整除的整数都不是偶数c 存在一个不能被2整除的整数是偶数d 存在一个能被2整除的整数不是偶数 d 4 已知命题p 所有有理数都是实数 命题q 正数的对数都是负数 则下列命题中为真命题的是 a 綈p qb p qc 綈p 綈q d 綈p 綈q 解析 p为真 q为假 綈q为真 于是 綈p 綈q 为真 选d d 知识要点 1 简单逻辑联结词 1 命题 叫命题 2 逻辑联结词 这些词叫逻辑联结词 3 简单命题 的命题叫做简单命题 常用p q r s 等小写字母表示 4 复合命题 构成的命题叫做复合命题 构成复合命题的三种形式是 可以判定真假的陈述句 或 且 非 不含逻辑联结词 p或q p且q 非p 由简单命题与逻辑联结词 2 四种命题的关系 1 基本关系 2 原命题 逆命题 原命题为真 它的逆命题 否命题为真 但原命题的逆否命题 真 逆否命题 否命题 3 全称量词 存在量词 1 全称量词短语 对所有的 对任意一个 在逻辑中通常叫做 含有全称量词的命题 叫做 全称命题 对m中任意一个x 有p x 成立 简记作 2 存在量词短语 存在一个 至少有一个 在逻辑中通常叫做 含有存在量词的命题 叫做 特称命题 在m中存在一个x 使p x 成立 简记作 全称量词 3 两种命题的关系全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 q p q p 但pq 4 充分条件与必要条件 1 若 则p是q的充分条件 若 则p是q的充分非必要条件 2 若 则p是q的必要条件 若 则p是q的必要非充分条件 3 若 则p是q的充要条件 p q p q 但qp p q且q p a 2 依题意p q均为假命题 当p是假命题时 mx2 1 0恒成立 则有m 0 当q是真命题时 则有 m2 4 0 2 m 2 因此由p q均为假命题得即m 2 点评 要注意区分 命题的否定 即非命题 与 否命题 它们是两个不同的概念 一般地 对于命题p 若a 则b 则命题綈p为 若a 则綈b 也就是仅否定命题的结论 而命题p的否命题为 若綈a 则綈b 也就是既要否定命题的条件 也要否定命题的结论 二 充分条件与必要条件例2 1 2011湖北 若实数a b满足a 0 b 0 且ab 0 则称a与b互补 记 a b a b 那么 a b 0是a与b互补的 a 必要不充分条件b 充分不必要条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 c 2 2011全国大纲 下面四个条件中 使a b成立的充分而不必要的条件是 a a b 1b a b 1c a2 b2d a3 b3 3 已知p 1 2 q x2 2x 1 m2 0 m 0 若綈p是綈q的必要而不充分条件 则实数m的取值范围是 9 a 点评 判断充分必要条件时 第一是要分清命题的条件与结论 第二要善于将文字语言转化为符号语言进行推理 第三是要注意等价命题的运用 第四当判断多个命题之间关系时 常用图示法 它能使问题直观 易于判断 集合中包含关系与命题中充分与必要条件之间的联系 当命题中p q可用集合a b表达时 如下 若p是q的充分条件 可理解为a b 若p是q的充分非必要条件 可理解为a b 若p是q的充要条件 可理解为a b a c 2 綈p 形式常用否定词语 点评 1 全称命题的否定与命题的否定有着一定的区别 全称命题的否定是将全称量词改为存在量词 或存在量词改为全称量词 并将结论否定 而命题的否定是直接否定结论即可 分析 命题p是全称命题 要注意理解 采用分离常量的方法求m的取值范围 命题q成立的充要条件是方程f x 0有两不等实根 因此 函数f x 在x x1处取得极大值 在x x2处取得极小值 若 0 不存在极值 综上所述 当且仅当 0时 函数f x 在 上有极值 由 4m2 12m 16 0得m4 因此 当m4时 q是正确的 综上 使p正确或q正确时 实数m的取值范围为 1 0 点评 本题是组合题 考查一元二次方程的根的概念和导数的应用 恒成立问题的等价转换 相应知识的完整理解是关键 对p来说 转化为求使 x1 x2 的最大值的范围时 还要注意一元二次方程根存在的充要条件 对q来说 f x 的极值存在的充要条件的理解是一难点 也是易错点 备选题 例5已知抛物线c y x2 mx 1和点a 3 0 b 0 3 求抛物线c与线段ab有两个不同交点的充要条件 反过来 若方程x2 1 m x 4 0在 0 3 上有两个不同的实数解x1 x2 分别代入x y 3可得到y1和y2 故抛物线c与线段ab有两不同的交点 x1 y1 和 x2 y2 于是问题转化为关于x的方程x2 1 m x 4 0在 0 3 上有两个不同的实数解的充要条件 令f x x2 1 m x 4 如图所示 点评 将问题不断地进行等价转化是探求充要条件的一个有效途径 它可以将不熟悉的问题向熟悉的问题转化 将复杂的问题转化为简单问题 从而有利于问题的解决 反过来 对于这些问题的解决 我们也需要探求问题的充要条件 即进行等价转化 从而使问题得到解决 1 逻辑中 或 且 非 的含义与集合中 并 交 补 的含义非常类似 在一定条件下可相互转化 2 判定复合命题真假的办法是 首先判定简单命题的真假 再判定复合命题的真假 3 否命题与命题的否定是两个不同的概念 要会区别 另外要掌握一些常见词的否定词 4 原命题 它的逆否命题 原命题的逆命题 原命题的否命题 因此 判定四种命题真假时 只需判定其中两个 或者当判定原命题困难时 可改为判定其逆否命题 5 因为 p q 綈q 綈p 意思为若 p q 等价于没有q就没有p 所以p是q的充分条件等价于q是p的必要条件 他们是同一逻辑关系的不同表述 6 求充要条件与证充要条件一样 必须注意充分性与必要性两个方面 二者的差异是 证明时 条件结论都已知道 但求充要条件时 一般不知道条件 故必须先由结论出发 求出必要条件 再验证充分性 a 2 2011江西 已知 1 2 3是三个相互平行的平面 平面 1 2之间的距离为d1 平面 2 3之间的距离为d2 直线l与 1 2 3分别相交于p1 p2 p3 那么 p1p2 p2p3 是 d1 d2 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分又不必要条件 c 命题立意 1 本小题考查向量模的运算 对两向量数量积公式的理解及命题真假的判断 考查运算求解能力和逻辑推理能力 2 本题借助平面的基本性质 考查了逻辑推理及立体几何知识 还考查了空间想象能力以及数形结合思想 1 2011山东 已知a b c r 命题 若a b c 3 则a2 b2 c2 3 的否命题是 a 若a b c 3 则a2 b2 c2 3b 若a b c 3 则a2 b2 c2 3c 若a b c 3 则a2 b2 c2 3d 若a2 b2 c2 3 则a b c 3 a 解析 a b c 3的否定是a b c 3 a2 b2 c2 3的否定是a2 b2 c2 3 故选a 2 命题 对 x r x3 x2 1 0 的否定是 a 不存在x r x3 x2 1 0b x r x3 x2 1 0c x r x3 x2 1 0d 对 x r x3 x2 1 0 c 解析 全称量词变为存在量词 对结论进行否定 易知选c 3 2011福建 若a r 则 a 2 是 a 1 a 2 0 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 a 解析 a 2 a 1 a 2 0 a 1 a 2 0 a 1或a 2 选a 4 原命题是 若x y 2011 则x 1006或y 1005 则这个命题及它的逆命题 否命题 逆否命题这四个命题中 真命题的个数是 a 0b 1c 2d 4 解析 原命题的否命题是 若x y 2011 则x 1006且y 1005 这个命题是假命题 所以原命题的逆命题也是假命题 又原命题的逆否命题是 若x 1006且y 1005 则x y 2011 是真命题 所以原命题也是真命题 故选c c 5 若命题 x r x2 ax 1 0 是真命题 则实数a的取值范围是 2 2 解析 由已知得y x2 ax 1有负值 即 a2 4 0 a2 6 若非空集合a b c满足a b c 且b不是a的子集 则 x c 是 x a 的 必要非充分条件 7 已知p 2x 3 1 q x2 2ax a2 1 0 若綈p是綈q的必要不充分