第二讲函数的连续性讨论.ppt

二 连续函数的运算与初等函数的连续性 一 函数的连续性与间断点 第二讲 机动目录上页下页返回结束 函数的连续性讨论 三 闭区间上连续函数的性质 一 函数的连续性与间断点 有函数的增量 函数 在点 处有下列等价命题 机动目录上页下页返回结束 定义 对自变量的增量 1 增量 1 函数的连续性 可见 函数 在点 2 函数在一点处的连续定义 则称函数 1 在点 即 2 极限 3 定义1 在 的某邻域内有定义 设函数 连续必须具备下列条件 存在 且 有定义 存在 机动目录上页下页返回结束 那么函数y f x 在x0处连续也可以叙述为 定义2设函数y f x 在x0的一个邻域内有定义 如果 则称函数y f x 在x0处连续 函数 在点 处连续有下列等价命题 def2 若函数y f x 在点x0处有 则分别称函数y f x 在x0处是左连续或右连续 由此可知 函数y f x 在x0处连续的充要条件可表示为 即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左 右连续 左连续 右连续 3 左 右连续 若函数y f x 在开区间I内的各点处均连续 若函数y f x 在 a b 内连续 且在左端点a处右连续 在右端点b处左连续 则称函数y f x 在闭区间 a b 上连续 记为 则称该函数在开区间I内连续 4 区间上的连续函数 若 在定义域内每一点都连续 则称它是连 续函数 continue 例如 在 上连续 有理整式函数 又如 有理分式函数 在其定义域内连续 只要 都有 机动目录上页下页返回结束 解因为 所以f x 在x 0处连续 在 在 2 函数的间断点 1 函数 2 函数 不存在 3 函数 存在 但 1 定义 设 在点 的某去心邻域内有定义 则下列 这样的点 虽有定义 但 虽有定义 且 称为间断点 在 无定义 机动目录上页下页返回结束 2 间断点分类 第一类间断点 及 均存在 若 称 若 称 第二类间断点 及 中至少一个不存在 称 若其中有一个为振荡 称 若其中有一个为 为可去间断点 为跳跃间断点 为无穷间断点 为振荡间断点 机动目录上页下页返回结束 为其无穷间断点 为其振荡间断点 为可去间断点 例如 机动目录上页下页返回结束 显然 为其可去间断点 4 5 为其跳跃间断点 机动目录上页下页返回结束 例2 1 讨论函数 x 2是第二类无穷间断点 间断点的类型 2 设 时 提示 为 连续函数 机动目录上页下页返回结束 答案 x 1是第一类可去间断点 例3证明函数 在x 0处是第一类间断点 因此x 0是该函数的第一类间断点 这类间断点又称为可去间断点 证 即该函数在x 0处的左 右极限存在 但是由于 因为 如果修改定义f 0 1 所以 左 右极限存在且相等的间断点称为可移去间断点 在x 0连续 则函数 例4确定函数 间断点的类型 解 间断点 为无穷间断点 故 为跳跃间断点 机动目录上页下页返回结束 1 连续函数的运算法则 二 连续函数的运算与初等函数的连续性 2 初等函数的连续性 机动目录上页下页返回结束 定理2 连续单调递增 递减 函数的反函数 在其定义域内连续 1 连续函数的运算法则 定理1 在某点连续的有限个函数经有限次和 差 积 商 分母不为0 运算 结果仍是一个在该点连续的函数 例如 例如 在 上连续单调递增 其反函数 递增 递减 证明略 在 1 1 上也连续单调递增 也连续单调 机动目录上页下页返回结束 定理3 连续函数的复合函数是连续的 在 上连续单调递增 其反函数 在 上也连续单调递增 证 设函数 于是 故复合函数 又如 且 即 机动目录上页下页返回结束 例如 是由连续函数链 因此 在 上连续 复合而成 机动目录上页下页返回结束 2 初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例如 的连续区间为 端点为单侧连续 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 机动目录上页下页返回结束 例1求 解 原式 例2求 解 令 则 原式 说明 当 时 有 机动目录上页下页返回结束 例3求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 说明 分段函数在界点处是否连续需讨论其左 右连续性 例4 解当x 0时 这个表达式由 初等函数表示 所以f x 在x 0处是连续的 又 得知f x 在x 0处连续 故函数f x 在 内是连续的 注意 若函数在开区间上连续 结论不一定成立 三 闭区间上连续函数的性质 定理1 在闭区间上连续的函数 即 设 则 使 大值和最小值 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最 点 机动目录上页下页返回结束 1 最值定理 例如 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如 机动目录上页下页返回结束 推论 由定理1可知有 证 设 上有界 2 介值定理 定理2 零点定理 至少有一点 且 使 机动目录上页下页返回结束 在闭区间上连续的函数在该区间上有界 定理3 介值定理 设 且 则对A与B之间的任一数C 一点 证 作辅助函数 则 且 故由零点定理知 至少有一点 使 即 使 至少有 推论 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 机