高考数学一轮复习讲义 8.7 立体几何中的向量方法(Ⅱ) 求空间角与距离课件.ppt

一轮复习讲义 立体几何中的向量方法 求空间角与距离 忆一忆知识要点 忆一忆知识要点 忆一忆知识要点 求异面直线所成的角 求直线与平面所成的角 求二面角 求空间距离 11 利用空间向量求空间角 点 线 面之间的位置关系 空间几何体 空间几何体的结构 空间几何体的体积 表面积 柱 锥 台 球的结构特征 三视图与直观图的画法 法向量法 注意法向量的方向 一进一出 二面角等于法向量夹角 同进同出 二面角等于法向量夹角的补角 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 在二面角的面内且垂直于二面角的棱 的夹角 d c b a 方向向量法 设二面角 l 的大小为 其中 l 点p在棱上 点p在一个半平面上 点p在二面角内 a b a b a b o 定义法 三垂线定理法 垂面法 作二面角的平面角的常用方法 1 定义法 3 垂面法 2 垂线法 求点到平面的距离 定义 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到平面的距离 即过这个点到平面的垂线段的长度 a b o 方法2 等体积法求距离 方法1 利用定义先做出过这个点到平面的垂线段 再计算这个垂线段的长度 点p为平面外一点 点a为平面内的任一点 平面的法向量为n 过点p作平面 的垂线po 记pa和平面 所成的角为 则点p到平面的距离 求点到平面的距离 方法3 向量法 空间的角 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角 空间的距离 点到平面的距离 直线与平面所成的距离 平行平面之间的距离 相互之间的转化 直线与平面所成的角 异面直线所成的角 定义法 法向量法 方向向量法 则d 0 0 0 a 2 0 0 o 1 1 0 b 2 2 0 c 0 2 0 p 0 0 2 1 正方形abcd oc db pd 平面abcd oc 平面abcd pd oc cpo为pc与平面pbd所成的角 所以pc与平面pbd所成的角为300 解 如图建立空间直角坐标系dxyz pd ad 2 又 db pd d oc 平面pbd 2 设平面pac的法向量为 令x 1 则y 1 z 1 所以d到平面pac的距离 3 假设在pb上存在e点 使pc 平面ade 所以存在e点且e为pb的中点时pc 平面ade 点评 这类探索问题用向量法来分析容易发现结论 由pc ae pc de 得 此时e 1 1 1 a c d e b 例2 解 设平面ade的法向量为 所以 设平面abe的法向量为 由 得 解 求二面角p bc d的余弦值大小 所以二面角p bc d的余弦值大小是 求点d到平面pbc的距离 求二面角p bc d的余弦值大小 所以二面角p bc d的余弦值是 因为二面角p bc d的大小是锐角 求点d到平面pbc的距离 x y z h a d c b m 证明 1 连结ac1交a1c于e 连结de aa1c1c为矩形 则e为ac1的中点 又d是ab的中点 在 abc1中 de bc1 bc1 平面ca1d 又de 平面ca1d bc1 平面ca1d e e 1 证法二 1 证法三 a1 b1 c1 a b c d d1 又aa1 ab a cd 平面aa1b1b 又cd 平面ca1d 平面ca1d 平面aa1b1b 又aa1 平面abc cd 平面abc aa1 cd 证明 2 ac bc d为ab的中点 在 abc中 ab cd 例 如右图 四棱锥p abcd中 底面abcd是 dab 60 的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 求证 ad pb 2 若e为bc边的中点 能否在棱pc上找到一点f 使平面def 平面abcd 并证明你的结论 解 如右图 1 取ad的中点g 连结pg bg bd pad为等边三角形 pg ad 又 平面pad 平面abcd pg 平面abcd 在 abd中 dab 60 ad ab abd为等边三角形 bg ad ad pb ad 平面pbg 又pb 平面pbg g 2 连结cg de 且cg与de相交于h点 在 pgc中作hf pg 交pc于f点 连结df 平面dhf 平面abcd pg 平面abcd fh 平面abcd 又fh 平面dhf 即f为pc的中点时 平面def 平面abcd h是cg的中点 f是pc的中点 今日作业 则d 0 0 0 a 2 0 0 o 1 1 0 b 2 2 0 c 0 2 0 p 0 0 2 1 正方形abcd oc db pd 平面abcd oc 平面abcd pd oc cpo为pc与平面pbd所成的角 所以pc与平面pbd所成的角为300 解 如图建立空间直角坐标系dxyz pd ad 2 又 db pd d oc 平面pbd 2 设平面pac的法向量为 令x 1 则y 1 z 1 所以d到平面pac的距离 注 可用等体积法 3 假设在pb上存在e点 使pc 平面ade 所以存在e点且e为pb的中点时pc 平面ade 点评 这类探索问题用向量法来分析容易发现结论 由pc ae pc de 得 此时e 1 1 1 o 设的夹角为 提示 设正方形abcd的边长为2a 要求 本题三问全部用坐标法 今日作业 45 x y z x y z o n p b a f e m b a c d e f 2 09 浙江 如下图 在长方形abcd中 ab 2 bc 1 e为dc的中点 f为线段ec 端点除外 上一动点 现将 afd沿af折起 使平面abd 平面abc 在平面abd内过点d作dk ab k为垂足 设ak t 则t的取值范围是 k m 此题的破解关键可采用二个极端位置法 即对于f位于dc的中点时 t 1 随着f点到c点时 因cb ab cb dk 所以cb 平面adb 即有cb bd 对于cd 2 bc 1 所以bd 3 又ad 1 ab 2 因此有ad bd 则有t 0 5 因此t的取值范围是 0 5 1 此题通过折叠问题 主要考查立体几何的线面 面面垂直的位置关系 考查解决动点问题的极端化原理 3 下列五个正方体图形中 l是正方体