高考数学第1轮总复习 11.2离散型随机变量的期望与方差（第2课时）课件 理（广西专版）.ppt

第十一章概率与统计 离散型随机变量的期望与方差 第讲 2 第二课时 题型4求随机变量的方差 1 已知离散型随机变量 的分布列为设 2 3 求e d 解 因为所以点评 由随机变量的分布列直接按公式计算可求得方差 对相关的两个随机变量 若满足一定关系式 a b 则e a b ae b d a b a2d 或d e 2 e 2 2 某突发事件 在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0 3 一旦发生 将造成400万元的损失 现有甲 乙两种相互独立的预防措施可供采用 单独采用甲 乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元 采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0 9和0 85 若预防方案允许甲 乙两种预防措施单独采用 联合采用或不采用 请确定预防方案使总费用最少 总费用 采取预防措施的费用 发生突发事件损失的期望值 题型5期望在实际问题中的决策作用 解 1 不采取预防措施时 总费用即损失期望值为400 0 3 120 万元 2 若单独采取措施甲 则预防措施费用为45万元 发生突发事件的概率为1 0 9 0 1 损失期望值为400 0 1 40 万元 所以总费用为45 40 85 万元 3 若单独采取预防措施乙 则预防措施费用为30万元 发生突发事件的概率为1 0 85 0 15 损失期望值为400 0 15 60 万元 所以总费用为30 60 90 万元 4 若联合采取甲 乙两种预防措施 则预防措施费用为45 30 75 万元 发生突发事件的概率为 1 0 9 1 0 85 0 015 损失期望值为400 0 015 6 万元 所以总费用为75 6 81 万元 综上分析 选择联合采用甲 乙两种预防措施 可使总费用最少 点评 从两种 或多种 随机实验事件方案中进行优选或决策 一般是比较它们的期望值 期望值大就是平均值大 春节期间 某鲜花店购进某种鲜花的进货价为每束2 5元 销售价为每束5元 若在春节期间没有售完 则节后以每束1 5元的价格处理 据往年有关资料统计 春节期间这种鲜花的需求量 单位 束 服从下列分布 问该鲜花店在春节前应进货多少束鲜花为宜 解 依据题意 售出一束鲜花获利润2 5元 处理一束鲜花亏损1元 1 若进货20束 因为p 20 1 所以利润的期望值e1 1 20 2 5 50 元 2 若进货30束 如果只能售出20束 则利润为20 2 5 10 1 40 元 如果能售出30束 则利润为30 2 5 75 元 因为p 20 0 2 p 30 0 8 所以利润的期望值e2 0 2 40 0 8 75 68 元 3 若进货40束 则同理可得利润的期望值e3 0 2 20 2 5 20 1 0 35 30 2 5 10 1 0 45 40 2 5 73 75 元 4 若进货50束 则利润的期望值e4 0 2 20 2 5 30 1 0 35 30 2 5 20 1 0 3 40 2 5 10 1 0 15 50 2 5 69 元 因为e3最大 故该鲜花店春节前进货40束鲜花为宜 3 某企业准备投产一批特殊型号的产品 已知该种产品的成本c与产量q的函数关系式为该种产品的市场前景无法确定 有三种可能出现的情形 各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示 题型6期望与函数的综合应用 设l1 l2 l3分别表示市场情形好 中 差时的利润 随机变量 q表示当产量为q而市场前景无法确定时的利润 1 分别求利润l1 l2 l3与产量q的函数关系式 2 当产量q确定时 求期望e q 3 试问产量q取何值时 e q取得最大值 解 1 由题意可得同理可得 2 由期望的定义可知 3 由 2 可知 e q是产量q的函数 设 得f q q2 100 令f q 0 解得q 10或q 10 舍去 由题意及问题的实际意义 当0 q 10时 f q 0 当q 10时 f q 0可知 当q 10时 f q 取得最大值 即e q最大时的产量q为10 点评 若随机变量中的概率含有参数 则其期望值可转化为含参变量的函数 利用函数的一些性质可进一步讨论期望的有关问题 小张有一只放有a个红球 b个黄球 c个白球的箱子 且a b c 6 a b c n 小刘有一只放有3个红球 2个黄球 1个白球的箱子 两人各自从自己的箱子中任取一球 规定 当两球同色时小张胜 异色时小刘胜 1 用a b c表示小张胜的概率 2 若又规定当小张取红 黄 白球而胜的得分分别为1分 2分 3分 否则得0分 求小张得分的期望的最大值及此时a b c的值 解 1 p 小张胜 p 两人均取红球 p 两人均取黄球 p 两人均取白球 2 设小张的得分为随机变量 则 所以因为a b c n a b c 6 所以b 6 a c 当a c 0 b 6时 e 最大 为 有甲 乙两种钢筋 从中各抽取等量样品检查其抗拉强度指标 得如下分布列 甲 乙 题型产品质量的比较 其中 分别表示甲 乙的抗拉强度 试比较甲 乙两种钢筋哪一种质量较好 解 因为e 110 0 1 120 0 2 125 0 4 130 0 1 135 0 2 125 e 100 0 1 115 0 2 125 0 4 130 0 1 145 0 2 125 又d 110 125 2 0 1 120 125 2 0 2 125 125 2 0 4 130 125 2 0 1 135 125 2 0 2 50 d 100 125 2 0 1 115 125 2 0 2 125 125 2 0 4 130 125 2 0 1 145 125 2 0 2 165 所以e e d d 这表明甲 乙两种钢筋的抗拉强度的平均水平一致 但甲的稳定性较乙的要好 故甲种钢筋的质量比乙种钢筋好 1 对离散型随机变量的方差应注意 1 d 表示随机变量 对e 的平均偏离程度 d 越大 表明平均偏离程度越大 说明 的取值越分散 反之d 越小 的取值越集中 在e 附近 统计中常用d 来描述 的分散程度 2 d 与e 一样也是一个实数 由 的分布列唯一确定 2 分布列 期望 方差常与应用问题结合 对此首先必须对实际问题进行具体分析 一般要将问题中的随机变量设出来 再进行分析 求出分布列 然后按定义求