高考数学第1轮总复习 9.8空间的距离课件 理（广西专版）.ppt

第九章直线 平面 简单几何体 空间的距离 第讲 8 1 两点间的距离 连结两点的 的长度 2 点到直线的距离 从直线外一点向直线引垂线 的长度 3 点到平面的距离 从点向平面引垂线 的长度 4 平行直线间的距离 从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线 的长度 线段 点与垂足的连线段 点与垂足的连线段 点与垂足的连线段 5 异面直线间的距离 两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的 的长度 6 直线与平面间的距离 如果一条直线和一个平面平行 从直线上任意一点向平面引垂线 的长度 7 两平行平面间的距离 夹在两个平面之间的 的长度 点与垂足的连线段 线段 公垂线段 8 若线段ab 平面 则两端点a b到平面 的距离 若线段ab的中点在平面 内 则两端点a b到平面 的距离 9 设pa为平面 的一条斜线段 a为斜足 n为平面 的一个法向量 点p到平面 的距离为d 则d 相等 相等 10 如图 ab为异面直线a b的公垂线 ac m bd n cd l a b所成的角为 则ab 1 abcd是边长为2的正方形 以bd为棱把它折成直二面角a bd c e是cd的中点 则异面直线ae bc的距离为 a b c d 1解 易证ce是异面直线ae与bc的公垂线段 其长为所求 易得ce 1 所以选d d 2 在 abc中 ab 15 bca 120 若 abc所在平面 外一点p到a b c的距离都是14 则p到 的距离是 a 13b 11c 9d 7解 作po 于点o 连结oa ob oc 因为pa pb pc 所以oa ob oc 所以o是 abc的外心 所以所以 所以选b b 1 已知正四棱柱abcd a1b1c1d1的底面边长为1 侧棱长为2 点e为cc1的中点 求点d1到平面bde的距离 解法1 连结b1d1 则b1d1 bd 所以b1d1 平面bde 分别取bd b1d1的中点m n 题型1求点到平面的距离 连结mn me mc 因为bd mc bd cc1 所以bd 平面mnc1c 所以平面bde 平面mnc1c 且me为它们的交线 过点n作nh me 垂足为h 则nh 平面bde 所以nh等于点d1到平面bde的距离 由已知可得mn 2 mc ce 1 从而me 在rt mhn中 nh mnsin nmh mncos emc mn 故点d1到平面bde的距离是 解法2 设点d1到平面bed的距离为d 因为vd1 bde vb dd1e bc 平面cc1d1d 所以s bde d s dd1e bc 取bd的中点m 连结em 则em bd 由已知可得 bd 所以s bde bd me 又s dd1e 2 1 1 bc 1 所以d 1 则d 故点d1到平面bde的距离是 解法3 如图所示建立空间直角坐标系 则b 1 1 0 e 0 1 1 d1 0 0 2 设n x y z 为平面bde的一个法向量 因为n n 所以 即 取x 1 则y 1 z 1 所以n 1 1 1 所以n 2 n 所以点d1到平面bde的距离 点评 求点到平面的距离 一般是先找到点在平面内的射影 然后转化为求这两点连线段的长度 利用解三角形知识可求得 若用向量法来解 先求得平面的一个法向量 然后求此点与平面内任意一点连线的向量在法向量上的投影长度即为所求的距离 2 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab 2 ad aa1 1 e f分别为ab cd的中点 求直线af到平面cd1e的距离 解法1 连结de 交af于点m 在矩形abcd中 因为ab 2 ad 1 e为ab的中点所以ce de 又d1d ce 所以ce 平面d1de 题型2求平行线面间的距离 所以平面cd1e 平面d1de 且它们的交线是d1e 过点m作mn d1e 垂足为n 则mn 平面cd1e 所以mn的长即为点m到平面cd1e的距离 由已知 de dd1 1 所以d1e 又f是cd的中点 所以m是de的中点 故me 由 enm edd1 得 所以mn 因为af 平面cd1e 所以点m到平面cd1e的距离即为直线af到平面cd1e的距离 故直线af到平面cd1e的距离为 解法2 如图所示建立空间直角坐标系 则e 1 1 0 c 0 2 0 d1 0 0 1 a 1 0 0 所以 0 1 0 1 1 0 0 2 1 设n x y z 为平面cd1e的法向量 由得取y 1 则x 1 z 2 所以n 1 1 2 所以n 1 n 所以点a到平面cd1e的距离 因为af 平面cd1e 所以点a到平面cd1e的距离即为直线af到平面cd1e的距离 故直线af到平面cd1e的距离为 点评 求平行线面间的距离 也就是转化为求该线上某点到平面的距离 然后求得的点面距离即为线面距离 在棱长为4的正方体abcd a1b1c1d1中 m n e f分别是a1d1 a1b1 c1d1 b1c1的中点 求平面amn与平面bdef间的距离 解 如图所示建立空间直角坐标系 则e 0 2 4 b 4 4 0 a 4 0 0 所以 0 2 4 4 4 0 0 4 0 设n x y z 为平面bdef的法向量 由得取y 2 则x 2 z 1 所以n 2 2 1 所以n 8 n 3 所以点a到平面bdef的距离故平面amn与平面bdef间的距离为 1 四棱锥p abcd的底面是边长为a的正方形 pa 底面abcd pa a 求异面直线pc和ab的距离 解法1 分别取ab pc的中点m n 连结pm cm mn 由已知可得 pam cbm 所以pm cm 从而mn pc 连结ac 取ac的中点e 连结me ne 则me bc ne pa 题型异面直线间的距离 因为ab bc ab pa 所以ab me ab ne 从而ab 平面mne 所以ab mn 所以mn为异面直线pc和ab的公垂线 因为pa 平面abcd 所以ne 平面abcd 在rt men中 所以故异面直线pc和ab的距离是 解法2 如图所示建立空间直角坐标系 由已知可得 p 0 0 a b a 0 0 c a a 0 所以 0 0 a a 0 0 a a a 设n x y z 为异面直线pc和ab的公垂线的一个方向向量 由得 取z 1 则x 0 y 1 所以n 0 1 1 从而n a n 因为向量在n方向上的投影长故异面直线pc和ab的距离为 2 在四棱锥p abcd中 底面abcd为矩形 侧棱pa 平面abcd ab bc 1 pa 2 e为pd的中点 过点e作平面pac的垂线 交平面pab于点n 求点n到直线ab和ap的距离 解法1 在平面abcd内过d作ac的垂线 交ab于f 则 adf 题型点到直线的距离 连结pf 则在rt adf中 因为df ac df pa 所以df 平面pac 又因为ne 平面pac 且点e在侧面pab内 所以ne df且n为pf的中点 所以点n到ab的距离为ap 1 故点n到ap的距离为 解法2 如图所示建立空间直角坐标系 则a 0 0 0 b 0 0 c 1 0 d 0 1 0 p 0 0 2 e 0 1 由于点n在侧面pab内 故可设点n的坐标为 x 0 z 则 x 1 z 由ne 平面pac 可得即 化简得所以所以点n的坐标为 0 1 从而点n到ab ap的距离分别为1 1 求点到平面的距离大致有四种方法 一是直接法 即过这个点作平面的垂线 通过解三角形求垂线段长 如果点在平面内的射影位置能够确定在某条直线上 则用此法求解较适宜 二是体积法 即将点到平面的距离看作是某个三棱锥的高 再由体积相等建立方程求解 如果点在平面内的射影位置难以确定 则可用此法求解 三是转移法 即过这个点找一条或作一条与这个平面平行的直线 从而将这个点到平面的距离转化为这条直线上另一个点到平面的距离 也可以过这个点找一条