《概率统计教学资料》1-2节(生物、心理、药学、中药)第2章随机变量及其分布.ppt

2020 2 6 1 第一章随机事件及其概率 几个基本概念 样本点 样本空间 随机事件 概率的三种定义 统计定义 公理化定义 古典定义 概率的计算 条件概率 概率乘法公式 全概率公式和贝叶斯公式 独立性 2020 2 6 2 一 随机变量的概念二 离散随机变量 二项分布0 1分布泊松分布 三 连续随机变量 均匀分布 指数分布 正态分布 四 随机变量的分布函数五 随机变量的独立性六 随机变量函数的分布 基本内容 第二章随机变量及其分布 2020 2 6 3 第一节随机变量 2020 2 6 4 2020 2 6 5 1 随机变量的定义 设随机试验E的样本空间为 若对于每 一个样本点 变量X都有唯一确定实数与之对应 则X是定义在 上的单值实函数 即 称 X为随机变量 常用X Y Z等或 等表示 而表示随机变量所取的值时 常用x y z等 定义 注 随机变量是定义在样本空间 上的单值实函数 e 2020 2 6 6 2020 2 6 7 二 随机变量的分类 根据随机变量X的取值情况 它可分为 1 离散随机变量 取值只有有限个或可列无穷多个值 连续随机变量 取值是在某个实数区间 有界或无界 2 非离散随机变量 2020 2 6 8 第二节离散型随机变量及其分布律 一 离散随机变量的分布律 或记 则称为X的概率分布律 简称分布律 其所有可能取值为 且 定义 设X为离散随机变量 要完整地了解一个离散随机变量 不仅要知道它的所有 可能取值 还需要知道它的所有可能取值相应的概率 2020 2 6 9 2 性质 显然 概率分布pk有下面的性质 例1 求a 且P 1 X 2 解 根据概率函数的规范性 有 已知离散随机变量X的分布律为 2020 2 6 10 A表示第一次罚球罚中 B表示第二次罚球罚中 据以往的资料知道 某一篮球运动员罚球有以下规律 若罚球两次 第一次罚中的概率为0 75 若第一次罚中则第二次罚中的概率为0 8 若第一次未罚中则第二次罚中的概率为0 7 以X记罚球两次其中罚中的次数 求X的分布律 例2 解 X的可能取值为0 1 2 P X 0 P X 1 2020 2 6 11 或将分布律表示为 或用线条图 直方图表示 012 012 2020 2 6 12 二 n重伯努利试验 二项分布 设随机试验E只有两种可能的结果 A及A 且P A p 则称E为伯努利试验 将E独立地重复进行n次 则称这一串试验为n重伯努利试验 伯努利试验 考虑一个简单的试验 它只出现 或只考虑 两 种结果 如某批产品抽样检查得到合格或不合格 射击手命中目标或不命中 发报机发出信号0或1 掷一次骰子点数 6 是否出现等 2020 2 6 13 设X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数 则X的所有可能取值为0 1 2 n 共有Cnk种方式 k次 n k次 k 1次 n k 1次 由于各次试验相互独立 每一种方式 发生的概率均为 pk 1 p n k 因此事件A在n次试验中发生k次的概率为 2020 2 6 14 二项分布 Binomialdistribution 定义 设随机变量X具有分布律 其中n为正整数 则称随机变量X服从参数为n p的二项分布 记作X B n p 特别当n 1时 X的分布律为 则称X服从参数为p的 0 1 分布或伯努利分布 2020 2 6 15 2020 2 6 16 经验表明人们患了某种疾病 有30 的人不经治疗会自行痊愈 医药公司推出一种新药 随机地选10个患这种病的患者服用了新药 知道其中有9人很快就痊愈了 设各人自行痊愈与否相互独立 试推断这些患者是自行痊愈的 还是新药起了作用 解 假设新药毫无效用 则一个患者痊愈的概率为P 0 3 以X表示10个患者中痊愈的病人数 例5 P X 9 则X B 10 0 3 概率很小的事件 在一次试验中实际上几乎是不发生 称为实际推断原理 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了 推断新药是有疗效的 2020 2 6 17 若某人做某事的成功率为1 他重复努力400次 则至少成功一次的概率为多少 成功次数服从二项概率 有百分之一的希望 就要做百分之百的努力 爱迪生 天才 1 的灵感 99 的汗水 但那1 的灵感是最重要的 甚至比那99 的汗水都要重要 2020 2 6 18 是单位时间内随机事件的平均发生率 次数 三 泊松分布 Poisson sdistribution 定义 设随机变量X的分布律为 则称随机变量X服从参数为 泊松分布 记作 泊松分布是由法国数学家S D Poisson 1983 提出 它适合于描述单位时间内随机事件发生的次数 而 参数 2020 2 6 19 辆汽车通过的概率 例6 一时段内通过某交叉路口的汽车数X可看作 服从泊松分布的随机变量 汽车通过的概率为0 2 解 由题意知 求在这一时段内多于一 若在该时段内没有 2020 2 6 20 当n充分大 p很小 p 0 1 二项分布B n p 的分布律近似等于泊松分布 的分布律 泊松分布与二项分布的关系 泊松定理 若当n 时 则有 注 即np比较适中时 2020 2 6 21 证明 则 2020 2 6 22 某一地区 一个人患某种疾病的概率为0 01 设各人患病与否相互独立 现随机抽取200人 求其中至少4人患这种病的概率 例7 解 X B 200 0 01 设X表示200人中患此疾病的人数 则 所以二项分布的分布律近似于泊松分布的分布律 2020 2 6 23 例如 3 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目 5 某公路段上在单位时间内发生交通事故的次数 2 一本书一页中的印刷错误的个数 1 某服务设施在一定时间内到达的人数 4 某医院在一天内的急诊病人数 实际问题中若干稠密性问题是服从或近似服从Poisson分布 体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布 都可以看作泊松分布 其参数 可以由观测值的平均值求出 2020 2 6 24 的概率P X x 称为随机变量X的分布函数 随机变量X的分布函数 定义 设X为一随机变量 F x 则事件 X x 记作 注 P X x 任x R 2020 2 6 25 分布函数F x 的性质 1 F x 是非减函数 即若x1 x2 则 3 离散随机变量X F x 是右连续函数 即 事件 X x 当x 时是不可能事件 事件 X x 当x 时是必然事件 2020 2 6 26 例1 设随机变量X 表示出现3点的次数 求 X的分布函数 解 据题意知X B 2 1 6 其分布律为 其中k 0 1 2 掷一颗质量均匀的骰子2次 求P X 1 2 P 1 X 3 2 P 1 X 2 即X的分布律为 2020 2 6 27 P X 0 P X 1 P X 2 1 X的分布函数为 F x 0 x 0 0 6944 0 x 1 0 6944 0 2778 0 9722 1 x 2 0 6944 0 2778 0 0278 1 x 2 P X x 0 x 0 P X 0 0 x 1 P X 0 P X 1 1 x 2 2 x 即 F x X的概率分布 概率函数 2020 2 6 28 P 1 X 3 2 F 3 2 F 1 0 9722 0 0 9722 P X 1 2 P 1 X 2 F 1 2 0 6944 F 2 F 1 P X 1 1 0 9722 0 2778 0 3056 2020 2 6 29 故离散X的分布函数为 其概率函数 则其分布函数为 练习设随机变量X的概率分布为 求X的分布函数 并求P X 1 2 P 3 2 X 5 2 2020 2 6 30 内容小结 1 理解随机变量的概念 了解其分类 2 理解离散随机变量的分布律及其性质 3 熟悉常用离散分布的分布律及其关系 B n p 当n充分大 p很小 p 0 1 即np比较适中时 2020 2 6 31 作业 习题二 P70 1 3 5 6 7 2020 2 6 32 备用题 则a 1 已知离散随机变量X的概率函数为 解 根据概率函数的规范性 有 即 2020 2 6 33 2 设随机变量X B 2 p 随机变量Y B 3 p 若P X 1 5 9 则P Y 1 解 由于X B 2 p P X 1 5 9 于是P X 1 1 P X 0 1 1 p 2 5 9 故p 1 3 又Y B 3 p 于是 P Y 1 1 P Y 0 1 1 p 3 1 8 27 19 27 2020 2 6 34 3 口袋中有7个白球 3个黑球 1 每次从中任取一个不放回 求首次取出白球 的取球次数X的概率函数 2 如果取出的是黑球则不放回 而另外放入一 个白球 求此时X的概率函数 解 X的首次取到白球的取球次数 则X的可能 取值为1 2 3 4