高中数学全程复习方略 6.5 合情推理与演绎推理课件 理.ppt

第五节合情推理与演绎推理 三年20考高考指数 1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 了解合情推理在数学发现中的作用 2 了解演绎推理的重要性 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单推理 3 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 1 归纳推理与数列相结合问题是考查重点 2 类比推理 演绎推理是重点 也是难点 3 以选择题 填空题的形式考查合情推理 以选择题或解答题的形式考查演绎推理 题目难度不大 多以中低档题为主 1 推理 1 定义 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程 2 分类 推理一般分为 与 两类 合情推理 演绎推理 即时应用 1 思考 一个推理是由几部分构成的 提示 从结构上说 推理一般由两部分组成 一部分是已知的事实 或假设 叫做前提 一部分是由已知推出的判断 叫做结论 2 数列2 5 11 20 x 47 中的x等于 解析 5 2 3 11 5 6 20 11 9 推出x 20 12 所以x 32 答案 32 3 已知数列则是第 项 解析 由题可知该数列的第n项由得2n 1 45 n 23 答案 23 2 合情推理 具有这些特征 一般结论 知特征 全部对象都 某些已 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 即时应用 1 判断下列命题是否正确 请在括号中填 或 ab n anbn与 a b n类比 则有 a b n an bn loga xy logax logay与sin 类比 则有sin sin sin a b 2 a2 2ab b2与 a b 2类比 则有 a b 2 a2 2a b b2 2 在平面上 若两个正三角形的边长的比为1 2 则它们的面积的比为1 4 类似地 在空间内 若两个正四面体的棱长的比为1 2 则它们的体积的比为 解析 1 错 a b 2 a2 2ab b2 a2 b2 错 sin sin cos cos sin sin sin 对 a b 2 a b a b a2 2a b b2满足向量数量积的运算 2 两个正四面体的棱长的比为1 2 则其高之比为1 2 底面积之比为1 4 故其体积的比为1 8 答案 1 2 1 8 3 演绎推理 1 定义 从 出发 推出 下的结论 我们把这种推理称为演绎推理 2 特点 演绎推理是由 的推理 一般性的原理 某个特殊情况 一般到特殊 一般原理 特殊情况 m是p s是m 3 模式 三段论 三段论 是演绎推理的一般模式 即时应用 1 命题 有些有理数是无限循环小数 整数是有理数 所以整数是无限循环小数 是假命题 判断下列说法的真假 填 真 假 使用了归纳推理 使用了类比推理 使用了演绎推理 使用了 三段论 但推理形式错误 使用了 三段论 但小前提错误 2 判断下列推理过程是否是演绎推理 请在括号中填 是 或 否 两条直线平行 同旁内角互补 如果 a和 b是两条平行直线的同旁内角 则 a b 180 某校高三 1 班有55人 2 班有54人 3 班有52人 由此得高三所有班级人数超过50人 由平面三角形的性质 推测空间四边形的性质 在数列由此归纳出 an 的通项公式 解析 1 假 不满足归纳推理的定义 假 不满足类比推理的定义 真 满足演绎推理的定义 真 使用了 三段论 但大前提中的 有些有理数 与小前提中的 有理数 不是同一概念 故不符合三段论的推理形式 假 使用了 三段论 但小前提是正确的 2 是 使用了 三段论 不是 使用了归纳推理不是演绎推理 不是 使用了类比推理 不是 使用了归纳推理 答案 1 假 假 真 真 假 2 是 否 否 否 归纳推理 方法点睛 归纳推理的特点 1 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 2 归纳推理所得结论不一定正确 通常归纳的个体数目越多 越具有代表性 推广的一般性结论也会越可靠 其结论的正确性往往通过演绎推理来证明 3 它是一种发现一般性规律的重要方法 例1 1 已知 设f1 x f x fn x fn 1 fn 1 x n 1且n n 则f3 x 的表达式为 猜想fn x n n 的表达式为 2 2012 苏州模拟 观察式子 你可以猜出的一个一般性结论是 3 设先分别求f 0 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 然后归纳猜想一般性结论 并给出证明 解题指南 1 由已知条件及递推关系可推得f2 x f3 x 及fn x 2 由三个等式可推第四 第五个等式 从而得第n个等式即一般结论 3 由0 1 1 1 2 1 2 3 1 以及f 0 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 的值可猜想f x f 1 x 规范解答 1 由得 故猜想答案 2 由前三个等13 15 17 19 64 43 21 23 25 27 29 125 53 所以第n个等式的第一个数应为第 1 2 n 1 1 个奇数 即为共有n个奇数 即第n个等式应为 n n 1 1 n n 1 3 n n 1 5 n n 1 2n 1 n3 即 n2 n 1 n2 n 3 n2 n 1 n3 答案 n2 n 1 n2 n 3 n2 n 1 n3 同理可得 由此猜想证明 互动探究 利用本例第 3 题中的结论计算f 2012 f 2011 f 1 f 0 f 1 f 2013 的值 解析 由本例第 3 题中的结论f x f 1 x 得方法一 f 2012 f 2013 f 2011 f 2012 故f 2012 f 2011 f 1 f 0 f 1 f 2013 2013 方法二 令s f 2012 f 2011 f 2013 则s f 2013 f 2012 f 2012 2s 4026 f 2012 f 2013 4026 反思 感悟 解决与归纳推理有关问题的关键点是找出其中的规律 如第 1 题中通过递推关系得f2 x f3 x f4 x 可观察其分子一样 分母变化的是x的系数 故可推出一般结论 第 2 题中的关键问题是第n个等式的左边第一个数是多少 通过观察可看出是第 1 2 n 1 1 个奇数 从而确定其等式关系 第 3 题中规律是0 1 0 1 0 1 2 1 1 1 2 3 2 1 2 从而得x 1 x 的联想 x 1 x 也可看成 x 1 x 即f x f 1 x 也成立 变式备选 已知函数 1 分别求的值 2 归纳猜想一般性结论 并给出证明 3 求值 解析 同理可得 2 由 1 猜想证明 3 由 2 可得 原式 类比推理 方法点睛 1 类比推理的步骤类比推理是根据两个对象有一部分属性类似 推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法 是由特殊到特殊的推理 其一般步骤为 1 找出两类事物之间的相似性或一致性 2 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 猜想 2 类比的方法类比推理的关键是找到合适的类比对象 平面几何中的一些定理 公式 结论等 可以类比到立体几何中 得到类似的结论 一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比如表所示 例2 2012 安溪模拟 已知命题 若数列 an 是等比数列 且an 0 则数列也是等比数列 类比这一性质 你能得到关于等差数列的一个什么性质 并证明你的结论 解题指南 等差数列中的和类比等比数列中的积 等差数列中的算术平均数类比等比数列中的几何平均数 故本题中的等比数列的几何平均数应与等差数列的算术平均数类比 规范解答 类比等比数列的性质 可以得到等差数列的一个性质是 若数列 an 是等差数列 则数列也是等差数列 证明如下 设等差数列 an 的公差为d 则所以数列 bn 是以a1为首项 为公差的等差数列 反思 感悟 1 在数学中 类比是发现概念 方法 定理和公式的重要手段 数与式 平面与空间 一元与多元 低次与高次 相等与不等 等差与等比之间有不少结论 都是先用类比法猜想 而后加以证明的 2 类比的关键是确定两类对象之间 某些性质的可比性与合理性 变式训练 请用类比推理完成下表 解析 本题由已知前两组类比可得到如下信息 故第三行空格应填 三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一 本题结论可用等体积法 将三棱锥分割成四个小三棱锥去证明 证明略 答案 三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一 变式备选 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个 如一组对边平行且相等 两组对边分别平行等 类似地 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件 充要条件 充要条件 解析 两组对边分别平行类比可得三组对面分别平行 一组对边平行且相等类比可得两组对面分别平行且全等 答案 三组对面分别平行两组对面分别平行且全等 答案不惟一 演绎推理 方法点睛 演绎推理的特点 1 演绎推理的结构演绎推理是由一般到特殊的推理 其最常见的形式是三段论 它是由大前提 小前提 结论三部分组成的 三段论推理中包含三个判断 第一个判断称为大前提 它提供了一个一般的原理 第二个判断叫小前提 它指出了一个特殊情况 这两个判断联合起来 提示了一般原理和特殊情况的内在联系 从而产生了第三个判断 结论 2 演绎推理的理论依据其推理的依据用集合论的观点来讲就是 若集合m的所有元素都具有性质p s是m的子集 那么s中所有元素都具有性质p 提醒 应用三段论时 应当首先明确什么是大前提和小前提 如果前提是显然的 有时可省略 例3 已知函数试确定f x 的单调区间 并说明在每个区间上的增减性 解题指南 证明函数的增减性 其大前提是单调性的定义 若函数满足单调性的定义 则其增减性可得 规范解答 f x 在上是减函数 在上是增函数 证明如下 设0 x1 x2 则当时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 在上是减函数 当时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 在上是增函数 反思 感悟 演绎推理是证明数学问题的基本推理形式 因此在高考中经常出现 三段论推理是演绎推理的一种重要的推理形式 是由一般到特殊的推理 在前提真实并且推理形式正确的前提下 其结论就必然真实 变式训练 已知函数y f x 满足 对任意a b r a b 都有af a bf b af b bf a 1 试证明 f x 为r上的单调增函数 2 若x y为正实数且比较f x y 与f 6 的大小 解析 1 设x1 x2 r 取x1x1f x2 x2f x1 x1 f x1 f x2 x2 f x2 f x1 0 f x2 f x1 x2 x1 0 x10 f x2 f x1 所以y f x 为r上的单调增函数 2 因为x y为正实数 且所以当且仅当即时取等号 因为f x 在r上是增函数 所以f x y f 6 易错误区 归纳推理的解答误区 典例 2011 江西高考 观察下列各式 55 3125 56 15625 57 78125 则52011的末四位数字为 a 3125 b 5625 c 0625 d 8125 解题指南 由55 56 57可继续求58 59 从而寻求末四位数字的变化规律可解 规范解答 选d 由题意可得 58 390625 59 1953125 510 9765625 经观察易知 每个数的末四位数呈周期变化 周期为4 又因为2011 4 502 3 所以52011的末四位数字为8125 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 山东高考 设函数观察 根据以上事实 由归纳推理可得 当n n 且n 2时 fn x f fn 1 x 解析 由已知 猜想 答案 2 2012 江门模拟 观察下列各式 x3 3x2 sinx cosx 2x 2 x 2xln2 2 xln2 xcosx cosx xsinx 根据其中函数f x 及其导函数f x 的奇偶性 运用归纳推理可得到的一个命题是 解析 y1 x3 y2 sinx y3 2x 2 x y4 x cosx都是奇函数 y1 3x2 y2 cosx y3 2xln2 2 xln2 y4 cosx x sinx 都是偶函数 奇函数的导函数是偶函数 答案 奇函数的导函数是偶函数 3 2012 清远模拟 在平面几何中 有勾股定理 设 abc的两边ab ac互相垂直 则ab2 ac2 bc2 拓展到空间 类比平面几何的勾股定理 研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系 可以得出的正确结论是 设三棱锥a bcd的三个侧面abc acd adb两两相互垂直 则 解析 类比条件 两边