高中数学《第一章 导数及其应用》归纳整理课件 新人教A版选修22.ppt

本章归纳整合 知识网络 2 曲线的切线方程利用导数求曲线过点p的切线方程时应注意 1 判断p点是否在曲线上 2 如果曲线y f x 在p x0 f x0 处的切线平行于y轴 此时导数不存在 可得方程为x x0 p点坐标适合切线方程 p点处的切线斜率为f x0 3 利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数 熟记基本求导公式 熟练运用法则是关键 有时先化简再求导 会给解题带来方便 因此观察式子的特点 对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键 4 判断函数的单调性 1 在利用导数讨论函数的单调区间时 首先要确定函数的定义域 解决问题的过程中 只能在函数的定义域内 通过讨论导数的符号 来判断函数的单调区间 2 注意在某一区间内f x 0 或f x 0 是函数f x 在该区间上为增 或减 函数的充分条件 5 利用导数研究函数的极值要注意 1 极值是一个局部概念 是仅对某一点的左右两侧领域而言的 2 连续函数f x 在其定义域上的极值点可能不止一个 也可能没有极值点 函数的极大值与极小值没有必然的大小联系 函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小 3 可导函数的极值点一定是导数为零的点 但函数的导数为零的点 不一定是该函数的极值点 因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件 其充要条件是加上这点两侧的导数异号 6 求函数的最大值与最小值 1 函数的最大值与最小值 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 但在开区间 a b 内连续的函数f x 不一定有最大值与最小值 例如 f x x3 x 1 1 2 求函数最值的步骤一般地 求函数y f x 在 a b 上最大值与最小值的步骤如下 求函数y f x 在 a b 内的极值 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 7 应用导数解决实际问题 关键在于建立恰当的数学模型 函数关系 如果函数在区间内只有一个点x0 使f x0 0 则f x0 是函数的最值 5 定积分的应用主要有两个问题 一是能利用定积分求曲边梯形的面积 二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题 其中 应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别 专题一应用导数解决与切线相关的问题根据导数的几何意义 导数就是相应切线的斜率 从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题 例2 点p 2 0 是函数f x x3 ax与g x bx2 c的图象的一个公共点 且两条曲线在点p处有相同的切线 求a b c的值 解因为点p 2 0 是函数f x x3 ax与g x bx2 c的图象的一个公共点 所以23 2a 0 4b c 0 由 得a 4 所以f x x3 4x 又因为两条曲线在点p处有相同的切线 所以f 2 g 2 而由f x 3x2 4得到f 2 8 由g x 2bx得到g 2 4b 所以8 4b 即b 2 代入 得到c 8 综上所述 a 4 b 2 c 8 专题二应用导数求函数的单调区间在区间 a b 内 如果f x 0 那么函数y f x 在区间 a b 内单调递增 在区间 a b 内 如果f x 0 那么函数y f x 在区间 a b 内单调递减 专题三利用导数求函数的极值和最值1 利用导数求函数极值的一般步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 解方程f x 0的根 3 检验f x 0的根的两侧f x 的符号 若左正右负 则f x 在此根处取得极大值 若左负右正 则f x 在此根处取得极小值 否则 此根不是f x 的极值点 2 求函数f x 在闭区间 a b 上的最大值 最小值的方法与步骤 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将 1 求得的极值与f a f b 相比较 其中最大的一个值为最大值 最小的一个值为最小值 特别地 当f x 在 a b 上单调时 其最小值 最大值在区间端点取得 当f x 在 a b 内只有一个极值点时 若在这一点处f x 有极大 或极小 值 则可以断定f x 在该点处取得最大 最小 值 这里 a b 也可以是 例4 已知函数f x x3 ax2 b的图象上一点p 1 0 且在点p处的切线与直线3x y 0平行 1 求函数f x 的解析式 2 求函数f x 在区间 0 t 0 t 3 上的最大值和最小值 3 在 1 的结论下 关于x的方程f x c在区间 1 3 上恰有两个相异的实根 求实数c的取值范围 解 1 因为f x 3x2 2ax 曲线在p 1 0 处的切线斜率为 f 1 3 2a 即3 2a 3 a 3 又函数过 1 0 点 即 2 b 0 b 2 所以a 3 b 2 f x x3 3x2 2 2 由f x x3 3x2 2得 f x 3x2 6x 由f x 0得 x 0或x 2 当0 t 2时 在区间 0 t 上f x 0 f x 在 0 t 上是减函数 所以f x max f 0 2 f x min f t t3 3t2 2 当2 t 3时 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 f x min f 2 2 f x max为f 0 与f t 中较大的一个 f t f 0 t3 3t2 t2 t 3 0 所以f x max f 0 2 3 令g x f x c x3 3x2 2 c g x 3x2 6x 3x x 2 专题四导数与函数 不等式利用导数知识解决不等式问题是我们常见的一个热点问题 其实质就是利用导数研究函数的单调性 通过单调性证明不等式 这类问题在考查综合能力的同时 又充分体现了导数的工具性和导数的灵活性 专题五导数与函数 不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容 也是高考的重点 热点 考题利用导数作为工具 考查求函数的单调区间 函数的极值与最值 参数的取值范围等问题 若以选择题 填空题出现 以中低档题为主 若以解答题形式出现 则难度以中档以上为主 有时也以压轴题的形式出现 考查中常渗透函数 不等式等有关知识 综合性较强 解 1 f x x2 4ax 3a2 x a x 3a 令f x 0 得x a或x 3a 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 f x 在 a 和 3a 上是减函数 在 a 3a 上是增函数 当x a时 f x 取得极小值 f x 极小 f a b a3 当x 3a时 f x 取得极大值 f x 极大 f 3a b 2 f x x2 4ax 3a2 其对称轴为x 2a 因为0 a 1 所以2a a 1 所以f x 在区间 a 1 a 2 上是减函数 当x a 1时 f x 取得最大值 f a 1 2a 1 当x a 2时 f x 取得最小值 f a 2 4a 4 专题六定积分及其应用1 定积分是解决求平面图形 特别是不规则图形的面积 变速直线运动的路程及变力做功等问题的方便而且强有力的工具 2 不规则图形的面积可用定积分求 关键是确定积分上 下限及被积函数 积分的上 下限一般是两曲线交点的横坐标 命题趋势1 导数是研究函数的重要工具 自从导数进入教材之后 给函数问题注入了生机和活力 开辟了许多解题新途径 拓展了高考对函数问题的命题空间 其中导数的概念和运算是导数的基础内容 在高考题中一般以容易题出现 并且在高考中所占的份量不大 2 由近三年的高考试题统计分析可以看出 导数的应用已经成为高考炙手可热的热点问题 每年全国及各省市的自主命题中都有导数应用的解答题出现 因此搞好导数应用的复习非常有必要 常见的考查角度如下 1 对导数与函数的单调性的考查 求导确定函数的单调区间 已知函数的某一单调区间探求参数的范围等 2 对导数与函数的极 最 值的考查 如 求函数的极值及闭区间上的最值 以极值或最值为载体考查参数的范围 解题关键在于准确理解极值 最值 的定义 善于利用分类讨论思想 等价转化思想去解题 3 对导数的综合应用的考查 与函数 方程 不等式 数列等联系进行综合考查 主要考查函数的最值或求参数的值或范围 解题时要善于把复杂的 生疏的 非规范化的问题转化为简单的 熟悉的 规范化的问题来解决 2 2011 山东高考 曲线y x3 11在点p 1 12 处的切线与y轴交点的纵坐标是 a 9b 3c 9d 15解析 y x3 11 y 3x2 y x 1 3 曲线y x3 11在点p 1 12 处的切线方程为y 12 3 x 1 令x 0 得y 9 答案c 7 2011 北京高考 已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 2 求f x 在区