高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例课件 文.ppt

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例 总纲目录 教材研读 1 平面向量的数量积 考点突破 2 向量的数量积的性质 3 向量的数量积的运算律 考点二平面向量数量积的应用 考点一平面向量数量积的运算 4 平面向量的数量积的坐标表示 考点三平面向量与三角函数的综合问题 1 平面向量的数量积 1 向量a与b的夹角 已知两个非零向量a b 过o点作 a b 则 aob 0 180 叫做向量a与b的夹角 当 90 时 a与b垂直 记作a b 当 0 时 a与b同向 当 180 时 a与b反向 2 a与b的数量积已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 则把数量 a b cos 叫做a和b 教材研读 的数量积 或内积 记作a b a b cos 3 规定0 a 0 4 一个向量在另一个向量方向上的投影设 是a与b的夹角 则 a cos 叫做a在b的方向上的投影 b cos 叫做b在a的方向上的投影 b在a的方向上的投影是一个实数 而不是向量 5 a b的几何意义a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 2 向量的数量积的性质设a b都是非零向量 e是与b方向相同的单位向量 是a与e的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a a 2 4 cos 5 a b a b 3 向量的数量积的运算律 1 a b b a 2 a b a b a b r 3 a b c a c b c 4 平面向量的数量积的坐标表示 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 2 若a x y 则a a a2 a 2 x2 y2 a 3 若a x1 y1 b x2 y2 则 这就是平面内两点间的距离公式 4 若a x1 y1 b x2 y2 a b为非零向量 则a b x1x2 y1y2 0 1 2016北京海淀二模 已知向量a 1 2 b 2 t 且a b 0 则 b a b 2c 2d 5 答案a a 1 2 b 2 t 且a b 0 2 2t 0 t 1 b 2 1 故 b a 2 2017北京西城二模 设向量a 2 1 b 0 2 则与a 2b垂直的向量可以是 a 3 2 b 3 2 c 4 6 d 4 6 答案a由题意 可知a 2b 2 3 利用两非零向量数量积为0可推出两向量垂直 检验四个选项 只有a符合题意 a 3 若非零向量a b满足 a b 2a b b 0 则a与b的夹角为 a 30 b 60 c 120 d 150 答案c设a与b的夹角为 2a b b 0 2a b b2 0 2 a b cos b2 0 又 a b 2 a 2cos a 2 0 cos 又 0 180 120 故选c c 4 2018北京西城高三期末 向量a b在正方形网格中的位置如图所示 如果小正方形网格的边长为1 那么a b 4 2018北京西城高三期末 向量a b在正方形网格中的位置如图所示 如果小正方形网格的边长为1 那么a b 答案4 4 解析以a的起点为坐标原点 a的方向为x轴的正方向 建平面直角坐标系 则a 2 0 b 2 1 a b 4 5 2016北京 9 5分 已知向量a 1 b 1 则a与b夹角的大小为 答案解析 cos a与b夹角的大小为 考点一平面向量数量积的运算 考点突破 典例1 1 2017北京朝阳期中 已知三角形abc外接圆的半径为1 o为圆心 且 0 2 则 等于 a b c d 2 2017北京丰台一模 如图 在直角梯形abcd中 ad bc adc 90 ad 2 bc cd 1 p是ab的中点 则 答案 1 a 2 1 解析 1 三角形abc外接圆的半径为1 o为圆心 且 0 o为bc的中点 bc为圆o的直径 故 abc是直角三角形 bac为直角 oa oc 1 又 2 2 cosc cosc 2 故选a 2 如图 以d为原点 da所在直线为x轴 dc所在直线为y轴建立平面直角 方法技巧 1 求两个向量的数量积有三种方法 利用定义 利用向量的坐标运算 利用数量积的几何意义 2 解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时 可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算 但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补 另外 解决此类问题时 可建立坐标系 利用向量的坐标表示求解 1 1 2016北京朝阳期中 在 abc中 已知 4 3 m n分别是bc边上的三等分点 则 的值是 a 5b c 6d 8 c 答案c如图 设bc的中点为o 连接ao 由 4 3 可得 4 6 故选c 1 2 2016北京石景山一模 如图所示 已知正方形abcd的边长为1 点e从d点出发 按字母顺序d a b c沿线段da ab bc运动到c点 在此过程中 的最大值是 a 0b c 1d 1 a 答案a建系如图 则b 0 0 c 1 0 d 1 1 a 0 1 设e x y 0 x 1 0 y 1 x 1 y 1 0 1 y 1 0 y 1 当y 1时 有最大值 为0 典例2 1 已知 a 1 b 2 a与b的夹角为 那么 4a b a 2b 6c 2d 12 2 2015北京西城一模 已知平面向量a b满足a 1 1 a b a b 那么 b 考点二平面向量数量积的应用命题角度一模的问题 答案 1 c 2 解析 1 4a b 2 16a2 b2 8a b 16 1 4 8 1 2 cos 12 4a b 2 2 a b a b a b a b 0 即a2 b2 0 所以 b a 命题角度二垂直问题典例3 2016北京朝阳二模 已知向量a 1 2 向量b 2 m 若a b与a垂直 则实数m的值为 答案 解析 a 1 2 b 2 m a b 3 2 m a b与a垂直 a b a 0 3 2 2 m 0 m 答案 1 a 2 b 3 解析 1 cos abc 所以 abc 30 故选a 2 a 1 b 3 m a 2 b a b 3 m 又a b的夹角为 cos 即 m 解得m 3 a b 2a b 2 a 2 a b b 2 4 则a b 4 2 a 2 b 2 4 设a与b的夹角为 0 cos 方法技巧平面向量数量积求解问题的策略 1 求两向量的夹角 cos 要注意 0 2 两向量垂直的应用 a b a b 0 a b a b 3 求向量的模 利用数量积求解长度问题的处理方法有 a2 a a a 2或 a a b 若a x y 则 a 2 1 2015北京西城期末 在平面直角坐标系xoy中 点a 1 3 b 2 k 若向量 则实数k a 4b 3c 2d 1 2 1 2015北京西城期末 在平面直角坐标系xoy中 点a 1 3 b 2 k 若向量 则实数k a 4b 3c 2d 1 解析a易知 1 3 3 k 3 0 即1 3 3 k 3 0 解得k 4 故选a a 2 2 2015北京朝阳一模 已知和是平面内的两个单位向量 它们的夹角为60 则2 与的夹角是 a 30 b 60 c 90 d 120 答案c设2 与的夹角为 则cos 因为与是平面内的两个单位向量 所以 1 1 则 2 2 2 2 cos60 2 0 所以cos 0 又0 180 所以 90 故选c c 2 3 2015北京海淀一模 已知单位向量a与向量b 1 1 的夹角为 则 a b 答案1 解析 b 1 1 b 又 a 1 a与b的夹角为 a b 1 1 解析 1 因为b sinx cosx c cosx sinx 所以b c sinx cosx sinx cosx 又a sinx cosx 所以f x a b c sinx sinx cosx cosx sinx cosx 则f x sin2x 2sinxcosx cos2x sin2x cos2x sin 则当2k 2x 2k k z 即k x k k z时 函数f x 为减函数 所以函数f x 的单调递减区间是 k z 2 由 1 知f x sin 因为f 所以sin sin 因为sin2 cos2 1 所以cos sin sin sincos cossin 所以当cos 时 sin 当cos 时 sin 方法技巧平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 1 题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时 先运用向量共线或垂直或等式成立等 得到三角函数的关系式 然后求解 2 当给出用三角函数表示的向量坐标 要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时 其解题思路是经过向量的运算 利用三角函数在定义域内的有界性 求得值域等 3 1已知向量a b