第8章 多元函数微分法及其应用 习题 9- (3).pdf

1 第 三 节 三 重 积 分 的 计 算 习 题 9 3 1 化三重积分 d d dIf x y zx y z 为直角坐标系中的三次积分 其中积分区 域 分别是 1 02 13 02x y zxyz 2 由锥面 22 zxy 与平面1z 围成的闭区域 3 由双曲抛物面 zxy 及平面1xy 0z 围成的闭区域 4 由曲面 22 2zxy 及 2 2zx 围成的闭区域 解 1 易知 232 010 d d ddd df x y zx y zxyf x y zz 2 如图9 40 区域 在xOy面上的投影 区域是圆域 22 1xy 故 d d df x y zx y z 2 222 111 11 dd d x xxy xyf x y zz 3 的顶zxy 和底面0z 的交线为x轴和y轴 故 在xOy面上的投影 区域由x轴 y轴和直线1xy 所围成 于是 可用不等式表示为 0zxy 01yx 01x 因此 d d df x y zx y z 11 000 dd d xxy xyf x y zz 4 如图9 41 由 22 2 2 2 zxy zx 消去z 得 22 1xy 故区域 在xOy面上的投影 区域是圆域 22 1xy 于是 可用不等式表 示为 222 22xyzx 22 11xyx 11x O 1 x y z 1 22 zxy 图9 40 22 2zxy z y O x 2 2zx 图9 41 2 因此 d d df x y zx y z 22 222 112 112 dd d xx xxy xyf x y zz 2 如果三重积分 df x y zv 的被积函数 f x y z是三个函数 1 f x 2 fy 3 fz的乘积 即 123 f x y zf xfyfz 积分区域 是长方体 x y ax b cyd lzm 证明这个三重积分等于三个定积分的乘积 即 123123 d d d d d d bdm acl f x fy fzx y zf xxfyyfzz 证 123 d d df x fy fzx y z 123 d d d bdm acl f x fy fzzyx 123 d d d bdm acl f x fyfzzyx 312 d d d bmd alc fzzf x fyyx 312 d d d mbd lac fzzf xfyyx 321 d d d mdb lca fzzfyyf xx 123 d d d bdm acl f xxfyyfzz 3 计算下列三重积分 1 d d dxy x y z 其中 是由曲面zxy 平面0z 1xy 围成的闭区域 2 2 d 1 v xyz 其中 是由平面1xyz 和三个坐标面所围成的四 面体 3 d d dxyz x y z 其中 是由球面 222 1xyz 与三个坐标面所围成的第 一卦限内的闭区域 4 cos dyxzv 其中 是由抛物柱面yx 及平面0y 0z 和xz 3 2 围成的闭区域 5 dz v 其中 是由圆锥面 2 222 2 h zxy a 与平面zh 围成的闭区域 解 1 由1 3 知 d d dxy x y z 1111 22 00000 ddddd xxyx xyxy zxx yy 23 1 0 1 1 d 3180 xx x 2 01 01 01 x y zzxyyxx 如图9 42 故 111 22 000 dd dd 1 1 xx y vz xy xyzxyz 11 00 11 d d 12 x xy xy 1 0 1 ln2 1 ln 1 d 2 xxx 3 ln2 4 3 区域 222 01 01 01 x y zzxyyxx 故 222 111 000 d d dddd xxy xyz x y zx xy yz z 222 11 00 1 dd 2 x xy x xyy 1 2 2 0 11 1 d 848 xxx 4 0 0 0 22 x y zzxyxx 故 22 000 cos dddcos d xx yxzvxyyxzz 2 22 000 1sin 1 d sin dd 2162 x xx xyyxyx 1 1 1 z y O x 1xyz 图9 42 4 5 法1 不妨设0h 如图9 43所示 由 2 222 2 h zxy a zh 消去z 得 222 xya 故 在xOy面上的投影区域 222 xy Dx y xya 故 22 xy h x y zxyzh x yD a 因此 22 dd dd xy h h xy a D z vx yz z 2 222 2 1 d d 2 xy D h hxyx y a 222 2 2222322 22 00 11 d d d d dd 2242 xyxy a DD hhh hx yxyx yaa h aa 法2 用过点 0 0 z且平行于xOy面的平面截 得平面圆域 z D 其半径为 22 az xy h 面积为 2 2 2 a z h 0 z x y zx yDzh 于是 0 ddd d z h D z vz zx y 2 222 2 0 1 d 4 h a zzza h h 4 设积分区域 是由曲面 22 4zxy 22 zxy 与平面0 x 0y 围成的位于第一卦限内的闭区域 试将三重积分 222 df xyzv 分别表示为直 角坐标 柱面坐标和球面坐标系中的三次积分 解 如图9 44 在直角坐标系中 可表示为 2222 4xyzxy 2 02yx 02x 故 222 df xyzv z y O x 22 4zxy 图9 44 22 zxy z D xy D z y O x 图9 43 2 222 2 h zxy a 5 222 22 224 222 00 dd d xxy xy xyf xyzz 在柱面坐标系下 可表示为 2 4z 02 0 2 于是 2 24 22222 2 00 ddd df xyzvfzz 在球面坐标下 可表示为02r 0 4 0 2 于是 2 22222 24 000 ddd sin df xyzvf rrr 5 利用柱面坐标计算下列三重积分 1 dxyzv 其中 是由圆锥面 22 1zxy 与平面0z 围成的闭 区域 2 22d z xyv 其中 是由柱面 2 2yxx 与平面0z 1z 及0y 围成的闭区域 解 1 可表示为01z 01 02 故 2 11 000 ddd sincos d 12 xyzvzz 2 如图9 45 可表示为01z 02cos 0 2 故 22d z xyv 2cos1 2 000 dd dzz 2 2cos 3 22 000 48 ddcosd 239 6 利用球面坐标计算下列三重积分 1 222 dv xyz 其中 是由 222 2xyzaz 围成的闭区域 0 a 2 3 222 2 sin dxyzv 其中 是由曲面 22 3 zxy z 1 z y O x 2 2yxx 图9 45 6 222 Rxy 所围闭区域 解 1 球面坐标系中 球面 222 2xyzaz 的方程为2 cosra 于是 可表示为 02 cosra 0 2 02 故 2 2 cos 2 2 000222 d1 ddsin d a v rr r xyz 2 22 2 00 d2cossin da 22 2 0 24 d 33 aa 2 如图9 46 在球面坐标系中 可表示为 0rR 0 6 02 故 3 222 2 sin dxyzv 2 32 6 000 ddsinsin d R rrr 2 3 6 00 1 dsin 1cos d 3 R 2 3 0 13 1 1cos d 32 R 3 23 1cos 3 R 7 选用适当的坐标计算下列三重积分 1 23d d d xy zx y z 其中 是由曲面zxy 平面yx 1x 0z 围成的 闭区域 2 22 d 1 v xy 其中 是由圆锥面 222 xyz 与平面1z 围成的闭区域 3 22 dxyv 其中 22222 0 x y z axyzbz 4 2d d d zx y z 其中 是由球面 2222 xyzR 与 222 2xyzRz 0 R 围成的闭区域 z y O x 22 3 zxy 222 zRxy 图9 46 7 5 dy v 其中 是由曲面 22 3zxy 与 22 5zxy 以及平面0 x 0y 围成的位于第一及第五卦限的闭区域 6 dz v 其中 22 14x y z xyzz 7 22d xzv 其中 是由曲面 22 yxz 与平面4y 围城的闭区域 解 1 如图9 47 用直角坐标 23d d d xy zx y z 1 23 000 ddd xxy x xyyzz 11 5612 000 111 ddd 428364 x xxyyxx 2 如图9 48 利用柱面坐标计算 易知 22 d 1 v xy 2 11 2 00 1 ddd 1 z 2 1 22 00 1 d 1 d 11 2 0 1 ln21 d 24 ln22 2 3 如图9 49 在球面坐标系下 可表示为 arb 0 2 02 22 dxyv 2 222 2 00 ddsinsin d b a rrr 2 553 2 00 1 d sind 5 ba 55 4 15 ba z yO x 图9 48 z yO x a b 图9 49 yx x z y 图9 47 O x z y O R 2 R 图9 50 8 4 如图9 50 当0 2 R z 时 平行圆域的半径是 2 2Rzz 面积是 2 2 Rzz 当 2 R zR 时 平行圆域的半径是 22 Rz 面积是 22 Rz 故 2d d d zx y z 2 0 dd d z R D zzx y 22222 0 2 2 d d RR R zRzzzzRzz 5 59 480 R 5 如图9 51 利用柱面坐标 故 dy v 2