【创新课堂】高考数学总复习 专题061 第4节 数列求和课件 文.ppt

第四节数列求和 一 公式法1 如果一个数列是等差数列或等比数列 则求和时直接利用等差 等比数列的前n项和公式 注意等比数列公比q的取值情况要分q 1或q 1 知识汇合 2 一些常见数列的前n项和公式 1 1 2 3 4 n 2 1 3 5 7 2n 1 3 2 4 6 8 2n n2 n2 n 二 非等差 等比数列求和的常用方法1 倒序相加法如果一个数列 an 首末两端等 距离 的两项的和相等或等于同一常数 那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法 如等差数列的前n项和即是用此法推导的 2 分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成 则求和时可用分组转化法 分别求和而后相加减 3 错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 那么这个数列的前n项和即可用此法来求 如等比数列的前n项和就是用此法推导的 4 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差 在求和时中间的一些项可以相互抵消 从而求得其和 题型一利用错位相减法求和 例1 在数列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 1 设bn 证明 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 的前n项和sn 分析 1 求bn 1 观察bn与bn 1的关系 2 由an n 2n 1的特点可知 运用错位相减法求sn 典例分析 1 证明 由已知an 1 2an 2n 得bn 1 又 b1 a1 1 bn 是首项为1 公差为1的等差数列 2 由 1 知 n 即an n 2n 1 sn 1 2 21 3 22 n 2n 1 两边乘以2得 2sn 2 2 22 n 2n 两式相减得sn 1 21 22 2n 1 n 2n 2n 1 n 2n n 1 2n 1 例2 2011 重庆南开中学月考 已知公差不为零的等差数列 an 的前6项和为60 且a6是a1和a21的等比中项 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足 bn 1 bn an n n 且b1 3 求数列的前n项和为tn 题型二利用裂项相消法求和 分析 设出基本量 利用累加法求出bn 然后写出tn 解 1 设 an 的公差为d 则 an 2n 3 n n 2 bn 1 bn 2n 3 b2 b1 2 1 3 b3 b2 2 2 3 bn bn 1 2 n 1 3 叠加得bn n n 2 例3 设函数f x 图象上有两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 若p为p1p2的中点 且p点的横坐标为 1 求证 p点的纵坐标为定值 并求出这个值 2 求f f f 题型三利用倒序相加法求和 分析 1 由已知函数图象上两点p1 p2可得设p x y 根据中点坐标公式去求y 2 根据 1 的结论 若x1 x2 1 则由f x1 f x2 1可以得到f f 1 利用倒序相加法进行求解 解 1 证明 p为p1p2的中点 x1 x2 1 yp 又 yp 题型四利用分组法求和 2 由x1 x2 1 得y1 y2 f x1 f x2 1 f 1 设又 即 例4 已知数列 an 的首项a1 an 1 n 1 2 1 求证 数列是等比数列 2 求数列的前n项和sn 高考体验 1 2011 威海模拟 设f n 2 24 27 23n 1 n n 则f n 等于 a 8n 1 b 8n 1 1 c 8n 2 1 d 8n 3 1 解析 由题意发现 f n 是一个以2为首项 公比q 23 8 项数为n 1的等比数列的和 由公式可得f n sn 1 8n 1 1 练习巩固 2 数列 an 的前n项和为sn 若an 则s5等于 a 1b c d 解析 an s5 1 1 3 数列 an 的通项公式是an n n 若前n项的和为10 则项数n为 a 11b 99c 120d 121 解析 an a1 1 a2 an sn 1 10 n 120 解 该数列的前n项和sn a1 a2 an 而an 1 2 22 2n 1 sn 21 1 22 1 23 1 2n 1 2 22 2n n 解 1 设 an 的公比为q bn 的公差为d 则由已知条件得 解得d 2 q 2或q 2 舍去 an 2n 1 bn 1 2 n 1 2n 1 6 已知等比数列 an 中 a1 2 公比q 2 又等差数列 bn 中 b2 a1 b8 a3 1 求数列 bn 的通项公式bn及前n项和sn 2 若cn 求数列 cn 的前n项和tn 解 1 由已知a3 a1 q2 8 则设 bn 的首项为b1 公差为d 则解得b1 1 d 1 故bn 1 n 1 1 n sn n 1 1 2 由 1 知cn tn c1 c2 cn 1 设等比数列 an 的公比为q a2是a1和a3 1的等差中项 2a2 a1 a3 1 a3 q 2 an a1qn 1 2n 1 n n 2 bn 2n 1 an sn 1 1 3 2 5 22 2n 1 2n 1 1 3 5 2n 1 1 2 22 2n 1 7 2011 海淀区期中考试 已知在等比数列 an 中 a1 1 且a2是a1和a3 1的等差中项 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足bn 2n 1 an n n 求 bn 的前n项和sn 解析 1 当x 1且y 1时 2 当x 1且y 1时 3