【导学教程】高考数学专题复习 专题四第3讲 空间向量与立体几何课件 .ppt

第3讲空间向量与立体几何 真题感悟 自主学习导引 答案a 2 2012 辽宁 如图 直三棱柱abc a b c bac 90 ab ac aa 点m n分别为a b和b c 的中点 1 证明 mn 平面a acc 2 若二面角a mn c为直二面角 求 的值 解析 1 证明证法一连接ab ac 由已知 bac 90 ab ac 三棱柱abc a b c 为直三棱柱 所以m为ab 的中点 又因为n为b c 的中点 所以mn ac 又mn 平面a acc ac 平面a acc 因此mn 平面a acc 证法二取a b 的中点p 连接mp np 而m n分别为ab 与b c 的中点 所以mp aa pn a c 所以mp 平面a acc pn 平面a acc 又mp np p 因此平面mpn 平面a acc 而mn 平面mpn 所以mn 平面a acc 2 以a为坐标原点 分别以直线ab ac aa 为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系o xyz 如图所示 设aa 1 则ab ac 应用空间向量解决立体几何问题是高考的必考考点 空间向量的工具性主要体现在平行与垂直的判定 求空间的角的大小 解题时要特别注意避免计算失误 考题分析 网络构建 高频考点突破 考点一 利用向量证明平行与垂直 例1 如图所示 在底面是矩形的四棱锥p abcd中 pa 底面abcd e f分别是pc pd的中点 pa ab 1 bc 2 求证 1 ef 平面pab 2 平面pad 平面pdc 审题导引 建立空间直角坐标系后 使用向量的共线定理证明 即可证明第 1 问 第 2 问根据向量的垂直关系证明线线垂直 进而证明线面垂直 得出面面垂直 规律总结 用空间向量证明位置关系的方法 1 线线平行 欲证直线与直线平行 只要证明它们的方向向量平行即可 2 线面平行 用线面平行的判定定理 证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行 用共面向量定理 证明平面外直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量共面 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 3 面面平行 平面与平面的平行 除了用线面平行的判定定理转化为线面平行外 只要证明两平面的法向量平行即可 4 线线垂直 直线与直线的垂直 只要证明两直线的方向向量垂直 5 线面垂直 用线面垂直的定义 证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直 用线面垂直的判定定理 证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量平行 6 面面垂直 平面与平面的垂直 除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外 只要证明两平面的法向量垂直即可 变式训练 1 如图所示 在底面是正方形的四棱锥p abcd中 pa 平面abcd bd交ac于点e f是pc的中点 g为ac上一点 1 求证 bd fg 2 确定点g在线段ac上的位置 使fg 平面pbd 并说明理由 解析 1 证明以a为原点 ab bd pa所在的直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系a xyz 如图所示 设正方形abcd的边长为1 则a 0 0 0 b 1 0 0 c 1 1 0 d 0 1 0 考点二 利用向量求线线角 线面角 例2 如图所示 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 pa 平面abcd pa ad 2 ab 1 bm pd于点m 1 求证 am pd 2 求直线cd与平面acm所成角的余弦值 审题导引 建立坐标系 求出平面acm的法向量 利用向量法求直线cd与平面acm所成角的余弦值 规范解答 1 证明 pa 平面abcd ab 平面abcd pa ab ab ad ad pa a ad 平面pad pa 平面pad ab 平面pad pd 平面pad ab pd bm pd ab bm b ab 平面abm bm 平面abm pd 平面abm am 平面abm am pd 规律总结 向量法求线线角 线面角的注意事项 1 建立适当的直角坐标系 根据对称性原则 使尽可能多的点在坐标轴 易于求各点的坐标 2 求直线与平面所成的角 主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角 求得 即sin cos 变式训练 考点三 利用向量求二面角 例3 2012 泉州模拟 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 底面 abc为等腰直角三角形 b 90 d为棱bb1上一点 且面da1c 面aa1c1c 审题导引 1 取ac的中点f a1c的中点e 利用bd綊ef证明 2 以d为原点建系 设出相关点的坐标 利用公式求解 规范解答 1 证明过点d作de a1c于e点 取ac的中点f 连bf ef 2 建立如图所示的直角坐标系 设aa1 2b ab bc a 规律总结 利用向量求二面角的注意事项 1 两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角 有可能两法向量夹角的补角为所求 2 求平面的法向量的方法 待定系数法 设出法向量坐标 利用垂直关系建立坐标的方程解之 先确定平面的垂线 然后取相关线段对应的向量 即确定了平面的法向量 当平面的垂线较易确定时 常考虑此方法 变式训练 3 2012 北京东城二模 如图 矩形amnd所在的平面与直角梯形mbcn所在的平面互相垂直 mb nc mn mb 且mc cb bc 2 mb 4 dn 3 1 求证 ab 平面dnc 2 求二面角d bc n的余弦值 解析 1 证明因为mb nc mb 平面dnc nc 平面dnc 所以mb 平面dnc 因为amnd为矩形 所以ma dn 又ma 平面dnc dn 平面dnc 所以ma 平面dnc 又ma mb m 且ma mb 平面amb 所以平面amb 平面dnc 又ab 平面amb 所以ab 平面dnc 2 由已知平面amnd 平面mbcn 且平面amnd 平面mbcn mn dn mn 所以dn 平面mbcn 又mn nc 故以点n为坐标原点 建立空间直角坐标系n xyz 名师押题高考 押题1 如图 已知三棱柱abc a1b1c1的各条棱长都相等 且cc1 底面abc m是侧棱cc1的中点 则异面直线ab1和bm所成的角为 答案a 押题依据 空间向量与立体几何相结合是高考的一个热点问题 空间向量在高考试题中的出现主要体现其工具性 独立命题的可能性很小 一般用以解决立体几何中的线面位置关系的证明 求空间角的大小及空间的距离 解析 1 证明因为侧面pcd 底面abcd pd cd 所以pd 底面abcd 所以pd ad 又因为 adc 90 即ad cd 以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系 押题依据 高考对立体