福建省南平市光泽二中高三数学一轮复习 第二章第六节 二次函数与幂函数课件 文 新人教A版.ppt

第六节 二次函数与幂函数 一 常用幂函数的图象与性质 二 二次函数的表示形式 1 一般式 y ax2 bx c a 0 2 顶点式 y a x m 2 n 其中 m n 为抛物线的顶点坐标 3 零点式 两根式 y a x x1 x x2 其中x1 x2是抛物线与x轴交点的横坐标 三 二次函数的图象及其性质 1 二次函数 一元二次方程 一元二次不等式即 三个二次 三者之间的关系 2 设函数y ax2 bx c a 0 1 f x 0在r上恒成立的条件是 2 f x 0在r上恒成立的条件是 1 一次函数y ax b与二次函数y ax2 bx c在同一坐标系中的图象大致是 解析 选项a y ax b中 a 0而y ax2 bx c开口向下 矛盾 选项b a 0 b 0 对称轴x 0 矛盾 选项d a 0 b 0 但y ax2 bx c开口向上 矛盾 答案 c 2 若幂函数f x 的图象经过点 3 则其定义域为 a x x r x 0 b x x r x 0 c x x r 且x 0 d r 解析 设f x xa 图象过点 3 3a 即3 2 3a a 2 即f x x 2 定义域为 x r x 0 答案 c 3 教材改编题 已知函数f x 4x2 mx 5在区间 2 上是增函数 则f 1 的取值范围是 a 25 b 25 c 25 d 25 解析 f x 在 2 上是增函数 其图象的对称轴x 2 m 16 f 1 9 m 25 答案 a 4 教材改编题 已知函数f x 则满足f 2x f x 1 的解集为 解析 f x 在 0 上是增函数 f 2x f x 1 得x 1 答案 x x 1 5 文 已知幂函数f x xm2 2m 3的图象过原点 则实数m的取值范围是 解析 由幂函数的性质知m2 2m 3 0 故m3 答案 1 3 理 2009年山东临沂一模 当 1 1 3 时 幂函数y x 的图象不可能经过第 象限 解析 当x 0时 y 0 故不过第四象限 当x 0时 y 0 当 1 1 3时 时 无意义 故不过第二象限 答案 二 四 幂函数定义性质及应用 例1 已知函数 m为何值时 f x 1 是幂函数 2 在 1 的条件下是 0 上的增函数 3 是正比例函数 4 是反比例函数 思路点拨 1 3 4 可根据幂函数 正比例函数 反比例函数的定义列式求解 2 可用幂函数的单调性建立不等式 组 进而求得m的值 或范围 解 1 根据幂函数的定义 有 解得m 1 或m 2 2 根据幂函数的性质 要使y x 在 0 上是增函数 只要 0 由 1 当m 2时 5m 3 130 当m 1时 f x 在 0 上是增函数 3 y kx k为非零常数 为正比例函数 因此要使f x 为正比例函数 只要 k为非零常数 为反比例函数 故应有 变式探究 1 已知函数f x 的定义域是非零实数 且在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 则最小的自然数a等于 a 0b 1c 2d 3 解析 f x 的定义域为 x r x 0 1 又f x 在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 a 1为正偶数 且a 1 2 即a 3时符合题意 答案 d 方法技巧 1 幂函数是指形如y x r 的函数 它的形式非常严格 须同时满足 1 指数为常数 2 底数为自变量 3 幂的系数为1 2 幂函数的单调性 1 当 0时 y x 在 0 上为增函数 2 当 0时 y x 在 0 上为减函数 二次函数的区间最值 例2 文 已知函数 在区间 0 1 上的最大值是2 求实数a的值 思路点拨 二次函数在给定区间的最值问题 勿忘数形结合 注意两 看 一看开口方向 二看对称轴与所给区间的相对位置关系 闭区间上的二次函数必有最值 最值在端点处或顶点处取得 例2 理 已知t为常数 函数y x2 2x t 在区间 0 3 上的最大值为2 则t 思路点拨 涉及y f x 有关的问题 基本思路有二 一是根据绝对值的定义 去掉绝对符号 二是作出函数的图象 用数形结合法求解 该函数图象如图所示 的图象如图所示 可能取到最大值的x可能是x 1或x 3 如当x 1时y取到最大值2 则 1 t 2 解得t 1或 3 舍 此时y x2 2x 1 y 3 2 y 1 所以t 1时满足条件 如当x 3时y取到最大值2 则 3 t 2 解得t 1或5 当t 5时y x 2 2x 5 y 1 6 y 3 2 显然矛盾 综上可知t 1 答案 1 方法技巧 给定区间上二次函数最值问题的解题步骤 1 配方 确定对称轴 2 判断轴与所给区间的相对位置 确定函数在所给区间上的单调性 3 画出草图 4 结合草图 利用单调性得出结论 与二次函数有关的综合问题 变式探究 3 2008年福建卷改编 已知函数f x x3 mx2 nx 2的图象过点 1 6 且函数g x f x 6x的图象关于y轴对称 求m n的值及函数y f x 的单调区间 解 由函数f x 图象过点 1 6 得m n 3 由f x x3 mx2 nx 2 得f x 3x2 2mx n 则g x f x 6x 3x2 2m 6 x n 而g x 图象关于y轴对称 所以 0 所以m 3 代入 得n 0 于是f x 3x2 6x 3x x 2 由f x 0得x 2 或x 0 故f x 的单调递增区间是 0 2 由f x 0得0 x 2 故f x 的单调递减区间是 0 2 例1 2010年天津卷 设函数f x x2 1 对任意x f 4m2f x f x 1 4f m 恒成立 则实数m的取值范围是 解析 原不等式可变形为 例2 2009年山东省名校联考信息优化卷 已知幂函数y xm2 2m 3 m n 的图象关于y轴对称 且在 0 上是减函数 求满足 a 1 3 2a 的a的取值范围 解 幂函数y xm2 2m 3在 0 上是减函数 m2 2m 3 0 1 m 3 又m n m 1 2 当m 1时 y x 4为偶函数 当m 2时 y x 3为奇函数 不合题意 故m 1 类型一忽视对函数类型判断致误 例1 若不等式ax2 ax 1 0对任意x r恒成立 求a的取值范围 正解 令f x ax2 ax 1 不等式对任意x r恒成立 函数f x 的图象恒在x轴上方 1 当a 0时 f x 1显然满足条件 2 当a 0时 a2 4a 0 解得0 a 4 3 当a 0时 显然不合题意 综上 得a的取值范围是 a 0 a 4 分析 本题会误把f x ax2 ax 1作为二次函数求解 忽视了对二次项系数a可以为零的情况 事实上 ax2 bx c 0 a b c为常数 恒成立的充要条件是 类型二对二次函数值域理解不准确 例2 已知函数y 3x2 2m 6 x m 3的值域为非负实数集 求实数m的取值范围 法二 函数y 3x2 2m 6 x m 3的值域为非负实数集 函数的图象与x轴相切 开口向上 从而必有 2m 6 2 4 3 m 3 0 化简 得m2 3m 0 m 3 或m 0 即当m 3 或m 0时 函数y 3x2 2m 6 x m 3的值域为实数集r 分析 若把函数值域为非负实数 理解为y 0恒成立 则会根据判别式 2m 6 2 4 3 m 3 0 得出 3 m 0 这样解是错误的 因值域为非负实数 是指当自变量x在定义域内 取一切值时 所对应的函数值可以取到任一非负数 而y 0则不同 像本题中 若m 2 则y 3 x 2 0 即y 0恒成立 但值域是 而不是非负实数集 一 选择题 1 若函数y x 1 x a 为偶函数 则a等于 a 2b 1c 1d 2 解析 y x2 1 a x a为偶函数 x的系数1 a 0 a 1 答案 c 2 2010年广州模拟 设b 0 二次函数y ax2 bx a2 1的图象为下列之一 则a的值为 a 1b 1 解析 二次函数y ax2 bx a2 1的对称轴为x b 0 x 0 排除图象 由 知 图象过原点 a2 1 0 a 1当a 1时 对称轴x 0 不合图 a 1 答案 b 3 文 2009年广东五校 满足 对任意实数x y f x y f x f y 都成立 的函数可以是 a f x 3xb f x log3xc f x x3d f x 解析 易验证f x x3时 f xy xy 3 x3y3 f x f y 答案 c 理 给出下列三个函数图象 它们对应的函数表达式分别满足下列性质中的至少一条 对任意实数x y都有f xy f x f y 成立 对任意实数x y都有 f y 成立 对任意实数x y都有f x y f x f y 成立 则下列对应关系最恰当的是 a a和 b和 c和 b c和 b和 a和 c c和 a和 b和 d b和 c和 a和 解析 图a直线 对应一次函数f x mx m 0 它满足f x y f x f y 即 式 即a对应 图b可视为指数曲线y f x ax 0 a 1 它满足f x y f x f y 即 式 图b对应 图c可视为幂函数f x x 的图象 它满足f xy f x f y 即 式 c对应 故选b 答案 b 4 已知 0 71 3 m 1 30 7 m 则实数m的取值范围是 a 0 b 1 c 0 1 d 0 解析 0 71 30 答案 a 5 文 2010年山东泰安一模 设函数f x 若f 4 f 0 f 2 0 则关于x的不等式f x 1的解集为 a 3 1 b 3 1 c 3 1 0 d 3 解析 由f 4 f 0 f 2 0 得 解得b c 4 f x 当x 0时 f x 1恒成立 当x 0时 由f x 1得x2 4x 4 1 解得 3 x 1 不等式f x 1的解集为 3 1 0 答案 c 理 已知函数f x ax2 2ax 4 0 a 3 若x1 x2 x1 x2 1 a 则 a f x1 f x2 d f x1 与f x2 的大小不能确定 解析 f x1 f x2 ax 2ax1 4 ax 2ax2 4 a x1 x2 x1 x2 2a x1 x2 a 1 a x1 x2 2a x1 x2 x1 x2 3a a2 a 3 a x1 x2 0 a 3 x1 x2 f x1 f x2 答案 a 二 填空题 6 设函数f1 x f2 x x 1 f3 x x2 则f3 f2 f1 2012 7 三个数60 7 0 76 log0 76的大小顺序是 解析 60 7 60 1 0 0 76 0 70 1 log0 76 log0 71 0 log0 76 0 76 60 7 答案 log0 76 0 76 60 7 8 已知函数f x x2 mx 1的两零点为 且 0 1 2 则实数m的取值范围是 解析 由题意 有 9 文 已知幂函数f x 的部分对应值如下表 则不等式f x 2的解集为 答案 0 4 理 已知二次方程x2 ax 2 0的两根都小于 1 则实数a的取值范围是 解析 令f x x2 ax 2 则f x 的图象与x轴的交点在 1 0 左侧 从而 三 解答题 10 已知幂函数f x xm2 2m 3 m z 是偶函数 且在区间 0 上是减函数 1 求函数f x 的解析式 2 讨论f x a 的奇偶性 其中a b r 解 1 f x 是偶函数 m2 2m 3是偶数 又f x 在 0 上是减函数 m2 2m 3 0 即 1 m 3 m z m 0 1 2 当m 0时 m2 2m 3 3不是偶数 舍去 当m 1时 m2 2m 3 4为偶数 符合题意 当m 2时 m2 2m 3 3不是偶数 舍去 m 1 故f x x 4 2 f x x 4 f x bx3 f x bx3 当a 0 b 0时 f x 为非奇非偶函数 当a 0 b 0时 f x 为奇函数 当a 0 b 0时 f x 为偶函数 当a 0 b 0时 f x 既是奇函数又是偶函数 11 文 设函数f x ax2 2x 2 对于满足10 求实数a的取值范围 理 已知函数f x x2 g x x 1 1 若存在x r使f x b g x 求实数b的取值范围 2 设f x f x mg x 1 m m2 且 f x 在 0 1 上单调递增 求实数m的取值范围 解 1 x r f x 0 b4 2 f x