电工电子技术(少学时) 第二章正弦交流电路 林平勇 高嵩.ppt

第二章正弦交流电路 2 1正弦量三要素2 2正弦量的相量表示法2 3电阻 电感 电容元件的电压电流关系2 4电阻 电感 电容元件的串联电路2 5阻抗的串联与并联2 6正弦交流电路的功率2 7电路中的谐振 2 1正弦量的三要素 电 1 直流电2 非直流电1 非交流电2 交流电 交流电alternatingcurrent 简称为AC 发明者是尼古拉 特斯拉 NikolaTesla 1856 1943 交流电也称 交变电流 简称 交流 一般指大小和方向随时间作周期性变化的电压或电流 它的波形在一个周期内平均值为零 它的最基本的形式是正弦电流 在正弦电路中 电压和电流的大小随时间按正弦规律变化 正弦量的解析式 用数学中的正弦函数表示 波形图 0 2 T T i t t s 2 t T T i Im Im 最大值 幅值 角频率 其值等于正弦量的幅角在单位时间内的增长值 单位 弧度 秒 i 初相位 初相 即t 0时的位相 三要素 一 表示交流电变化快慢的要素1 周期 T表示交流电变化一周所需时间2 频率 每秒钟内 变化的周数 3 频率用f表示 频率的单位是 Hz 频率和周期的关系 或4 电角频率 2 f 2 T 角频率的单位是 弧度 秒 5 工频中频率 周期和角频率的关系 T 0 02秒 f 50Hz 314弧度 秒 二 表示交流电变化幅度的要素1 最大值 UM2 有效值 U交流电的有效值的概念 设一个正弦交流电i和一个直流电I分别通过同一电阻R 经过相同的时间t 产生同样的热量 则这个直流电流I就定义为正弦电流i的有效值 有效值和最大值的关系 IM 2I同理 UM 2U3 瞬时值u t u注意 电流表 电压表所测出的电流和电压值均为有效值 三 表示交流电初始值的要素 式中 t 称为相位角 称为初相 同频率正弦量相位的比较 相位差 相位差也是在主值范围内取值 0 称u超前i 0 称u落后i 0 称u i同相 2 称u i正交 称u i反相 i t 表达式 紧紧抓住三要素 Im 10A T 0 02s i 30 i t Imsin t i A 10sin 314t 30 A 例 i 10sin 314t 30 Au 5cos 314t 150 V求电压和电流的相位差 i 10sin 314t 30 10cos 314t 30 90 10cos 314t 60 2 2正弦量的相量表示法 毕达哥拉斯 约公元前560 480年 数 是万物的本源 支配整个自然界和人类社会 世间一切事物都可归结为数或数的比例 这是世界所以美好和谐的源泉 预备知识 复数 计数的需要 正整数 零 自然数 中国是世界上最早认识应用负数的国家 早在2000多年前的 九章算术 中 就有正数和负数的记载 在古代人民生活中 以收入钱为正 以支出钱为负 在粮食生产中 以产量增加为正 以产量减少为负 古代的人们为区别正 负数 常用红色算筹表示正 黑色算筹表示负 小贴士 珠穆朗玛峰大约比海平面高8844米 吐鲁番盆地大约比海平面低155米 8844 155 自然数集 整数 负整数 自然数 正整数 零 整数集 整数 负整数 自然数 正整数 零 分数 有理数 有理数集 1 1 问题 边长为1的正方形的对角线长度为多少 无理数 实数 实数集 问题1 在有理数集中方程有解吗 没有实数根 现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决这个问题 怎么解决 讨论 你能给出一个解决问题的方案吗 问题6 1545年 卡尔丹在 大衍术 中写道 要把10分成两部分 使二者乘积为40 这是不可能的 不过我却用下列方式解决了 能作为 数 吗 它表示什么意义 历史回顾 1637年 法国数学家笛卡尔把这样的数叫做 虚数 R Descartes 1596 1661 笛卡尔 虚数 1 形如a bi a b R 的数叫做复数 通常用字母z表示 2 复数的概念 实部 虚部 其中称为虚数单位 2 i叫做虚数单位 并规定 1 i2 1 2 在电子中i通常用来表示一个很重要的物理量 就是电流 所以在电子中 我们用j来代替i作为虚数单位 一 复数的形式1 代数形式F a jb 为虚单位 复数F的实部 Re F a 复数F的虚部 Im F b 复数F在复平面上可以用一条从原点O指向F对应坐标点的有向线段表示 F a b 2 三角形式 模 辐角 5 53 3 指数形式 根据欧拉公式 4 极坐标形式 F F 3 j4 5 53 3 j4 5 127 10 30 10 cos30 jsin30 8 66 j5 二 复数的运算 1 加法用代数形式进行 设 几何意义 2 减法 用代数形式进行 设 几何意义 3 乘法 用极坐标形式比较方便设 4 除法 三 旋转因子 是一个模等于1 辐角为 的复数 等于把复数A逆时针旋转一个角度 而A的模值不变 j j 1 因此 j 和 1 都可以看成旋转因子 任意复数A乘以ej 一个复数乘以j 等于把该复数逆时针旋转 2 一个复数除以j 等于把该复数乘以 j 等于把它顺时针旋转 2 虚轴等于把实轴 1乘以j而得到的 例如 例 设F1 3 j4 F2 10 135 求 F1 F2和F1 F2 解 求复数的代数和用代数形式 F2 10 135 10 cos135 jsin135 7 07 j7 07 F1 F2 3 j4 7 07 j7 07 4 07 j3 07 5 1 143 3 j4 10 135 5 53 10 135 0 5 188 0 5 172 辐角应在主值范围内 2 2正弦量的相量表示法 正弦量的表示法 解析式 波形图 相量表示法 所谓相量表示法就是用复数表示正弦量的有效值 或振幅 和初相 它是将数学中复数概念和理论引入到正弦电流电路计算的一种方法 正弦量相应符号的正确表示 瞬时值表达式i 10cos 314t 30 A 变量 小写字母 有效值 I 常数 大写字母加下标m 最大值 常数 大写字母 最大值相量 有效值相量 常数 大写字母加下标m再加点 常数 大写字母加点 Im 10A 电路定律的相量形式 一 基尔霍夫定律正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都是同频正弦量 所以可以用相量法将KCL和KVL转换为相量形式 1 基尔霍夫电流定律对电路中任一点 根据KCL有 i 0 其相量形式为 2 基尔霍夫电压定律对电路任一回路 根据KVL有 u 0 其相量形式为 1 电阻元件瞬时值表达式 相量形式 相量图 2 3电阻 电感和电容元件的VCR 2 电感元件 L 相量形式 L 相量图 瞬时值表达式 感抗XL L欧姆 3 电容元件 瞬时值表达式 C 相量形式 C 相量图 感抗Xc 1 c欧姆 相量法的三个基本公式 以上公式是在电压 电流关联参考方向的条件下得到的 如果为非关联参考方向 则以上各式要变号 以上公式既包含电压和电流的大小关系 又包含电压和电流的相位关系 R L C对应的复阻抗分别为 总结 感抗和容抗 感抗 容抗 反映电感对电流的阻碍作用 反映电容对电流的阻碍作用 2 4R L C串联电路 复习导入 问题 在纯电阻电路 纯电感电路 纯电容电路中 电路两端的电压和电流的大小 相位关系分别是怎样的 设i Imsinwt 答 大小关系 纯电阻电路 UR IR纯电感电路 UL IXL纯电容电路 UC IXC 由电阻 电感 电容相串联所组成的电路 叫R L C串联电路 一 R L C串联电路的电压与电流的大小关系 设电路中电流为i Imsin t uR RImsin t uL XLImsin t 90 uC XCImsin t 90 根据基尔霍夫电压定律 KVL 在任一时刻A B两端的总电压u的瞬时值为u uR uL uC 作出相量图 设UL UC 由相量图可得各电压间的大小关系为 电压三角形 在上式中 Z 称为电路的阻抗 单位为欧姆 其中X XL XC叫做电抗 阻抗三角形 由电压三角形 阻抗三角形可以看出总电压与电流的相位差为 二 R L C串联电路的电压与电流的相位关系 上式中 叫做阻抗角 体现了总电压与总电流之间的相位关系 即总电压 超前或滞后或同相或反相 于总电流 例题1 在R L C串联电路中 交流电源电压U 220V 频率f 50Hz R 30 L 445mH C 32 F 试求 1 电路中的电流大小I 2 总电压与电流的相位差 3 各元件上的电压UR UL Uc 分析 要求I UR UL UC可以利用前面的公式来解答 即 解 1 XL 2 fL 2 50 445 10 3 140 讲解例题 总电压比电流超前53 1 3 UR RI 30 4 4 132VUL XLI 140 4 4 616VUC XCI 100 4 4 440V 本例题中电感电压 电容电压都比电源电压大 这说明在交流电路中各元件上的电压可以比总电压大 这是交流电路与直流电路特性不同之处 由上题也可得出在交流电路中总电压大小不等于各元件电压之和 即 在R L C串联电路中 已知电阻R 40 电感L 191mH 电容C 106 F 外加频率为f 50Hz U 200V的交流电压源 试求 1 电路中的电流I 2 各元件电压UR UL UC 3 总电压与电流的相位差 解 1 先求XL XC XL 2 fL 2 50 191 10 3 60 随堂练习 2 UR RI 40 4 160VUL XLI 60 4 24VUC XCI 30 4 120V 如上二题总电压超前电流一定相位角的电路 我们称它为电感性质的电路 例题2 已知某负载的电压u 120sin 314t 30o v 通过的电流i 10sin 314t 30o A 试计算该电路中的电阻及电抗分别为多少 并判断该负载的性质 分析 根据已知条件可知 要求电阻 电抗 可以利用欧姆定律先求阻抗值 再根据阻抗三角形求出电阻与电抗 解 依题得 因为 u i 60o 0 所以电路的总电压超前电流60o 即该电路的性质为电感性电路 1 电感性电路当XL XC时 则UL UC 阻抗角 0 电路呈电感性 电压超前电流 角 2 电容性电路当XL XC时 则UL UC 阻抗角 0 电路呈电容性 电压滞后电流 角 3 电阻性电路当XL XC时 则UL UC 阻抗角 0 电路呈电阻性 且总阻抗最小 电压和电流同相 电感和电容的无功功率恰好相互补偿 电路的这种状态称为串联谐振 三 R L C串联电路的电感性 电容性和电阻性 2 5复阻抗的串联和并联 一 复阻抗的串联对于n个阻抗串联而成的电路 其等效阻抗 各个阻抗的电压分配为 k 1 2 n 二 复阻抗的并联 对n个导纳并联而成的电路 其等效导纳 各个导纳的电流分配为 k 1 2 n 2 6功率及功率因数 一 瞬时功率 u i 一端口内部不含独立电源 仅含电阻 电感和电容等无源元件 它吸收的瞬时功率p等于电压u和电流i的乘积 p ui 二 平均功率 又称有功功率 是指瞬时功率在一个周期内的平均值 功率因数 单位 瓦 W 电阻R 1 电感L 0 电容C 0 定义 三 无功功率 反映了内部与外部往返交换能量的情况 单位 乏 Var 电阻R 电感L 电容C 四 视在功率 电机和变压器的容量是由视在功率来表示的 单位 伏安 VA 有功功率P 无功功率Q和视在功率S存在下列关系 例 测量电感线圈R L的实验电路 已知电压表的读数为50V 电流表的读数为1A 功率表读数为30W 电源的频率f 50Hz 试求R L之值 解 可先求得线圈的阻抗 50 解得 30 j40 R 30 127mH 另一种解法 R 30 而 故可求得 40 2 f 314rad s 可以证明 正弦电流电路中总的有功功率是电路各部分有功功率之和 总的无功功率是电路各部分无功功率之和 即有功功率和无功功率分别守恒 但视在功率不守恒 五 功率因数 是电路的功率因数 电压与电流间的相位差或电路的功率因数决定于电路 负载 的参数 只有在电阻负载的情况下 电压和电流才同相 其功率因数为1 对于其他负载来说 其功率因数均介于0与1之间 功率因数不等于1时 电路中发生能量互换 出现无功功率 这样引起下面两个问题 1 发电设备的容量不能充分利用2 增加线路和发电机绕组的功率损耗 提高功率因数的意义 与电感性负载并联静电电容器 提高功率因数的常用方法 提高功率因数 是指提高电源或电网的功率因数 而不是指提高某个电感性负载的功率因数 并联电容后并不改变原负载的工作状况 所以电路的有功功率并没有改变 只是改变了电路的无功功率 从而使功率因数得到提高 提高功率因数的含义 单一参数正弦交流电路的分析计算小结 电路参数 电路图 正方向 复数阻抗 电压 电流关系 瞬时值 有效值 相量图 相量式 功率 有功功率 无功功率 R i u 设 则 u i同相 0 L i u C i u 设 则 设 则 u领先i90 u落后i90 0 0 基本关系 2 7电路中的谐振2 7 1串联电路的谐振 一 RLC串联电路 二 串联谐振的定义 由于串联电路中的感抗和容抗有相互抵消作用 所以 当 0时 出现X 0 0 这时端口上的电压与电流同相 工程上将电路的这种工作状况称为谐振 由于是在RLC串联电路中发生的 故称为串联谐振 三 串联谐振的条件 Im Z j 0 四 谐振频率 角频率 频率 谐振频率又称为电路的固有频率 是由电路的结构和参数决定的 串联谐振频率只有一个 是由串联电路中的L C参数决定的 而与串联电阻R无关 五 串联谐振的特征 1 阻抗 R 谐振时阻抗为最小值 2 电流 在输入电压有效值U不变的情况下 电流为最大 3 电阻电压 实验时可根据此特点判别串联谐振电路发生谐振与否 六 品质因数 谐振时有 所以串联谐振又称为电压谐振 串联谐振电路的品质因数 如果Q 1 则有 当Q 1 表