2017中考复习 三角形综合题.doc

三角形综合题1已知，如图，RtABC中，ACB=90，BC=8，cotBAC=，点D在边BC上（不与点B、C重合），点E在边BC的延长线上，DAE=BAC，点F在线段AE上，ACF=B设BD=x（1）若点F恰好是AE的中点，求线段BD的长；（2）若y=，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当ADE是以AD为腰的等腰三角形时，求线段BD的长2如图，ABC边AB上点D、E（不与点A、B重合），满足DCE=ABC，ACB=90，AC=3，BC=4；（1）当CDAB时，求线段BE的长；（2）当CDE是等腰三角形时，求线段AD的长；（3）设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域3如图，已知ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DEBC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P设BD=x，AP=y（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当PQE是等腰三角形时，求BD的长；（3）连接CQ，当CQB和CBD互补时，求x的值4如图，在RtABC中，ACB=90，=，CDAB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FDED，交直线BC于点F（1）探究发现：如图1，若m=n，点E在线段AC上，则=；（2）数学思考：如图2，若点E在线段AC上，则=（用含m，n的代数式表示）；当点E在直线AC上运动时，中的结论是否任然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC=，BC=2，DF=4，请直接写出CE的长5如图1，在ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为（0180）（1）当BAC=60时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上若CDP=120，则ACDABD（填“”、“=”、“”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是；（2）当BAC=120时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若CDP=60，求证：BDCD=AD；（3）将图3中的BP继续旋转，当30180时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若CDP=120，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）6已知，在ABC中，ACB=90，CA=CD，CGAD于点H，交AB于点G，E为AB上一点，连接CE交AD于点F（1）如图1，若CEAB于点E，HG=1，CH=5，求CF的长；（2）如图2，若AC=AE，GEH=ECH，求证：CE=HE；（3）如图3，若E为AB的中点，作A关于CE的对称点A，连接CA，EA，DA，请直接写出CEH，ACD，EAD之间的等量关系7（1）问题发现如图1，在RtABC中，A=90，=1，点P是边BC上一动点（不与点B重合），PAD=90，APD=B，连接CD填空：=；ACD的度数为（2）拓展探究如图2，在RtABC中，A=90，=k点P是边BC上一动点（不与点B重合），PAD=90，APD=B，连接CD，请判断ACD与B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由（3）解决问题如图3，在ABC中，B=45，AB=4，BC=12，P是边BC上一动点（不与点B重合），PAD=BAC，APD=B，连接CD若PA=5，请直接写出CD的长8RtABC与RtDEF的位置如图所示，其中AC=2，BC=6，DE=3，D=30，其中，RtDEF沿射线CB以每秒1个单位长度的速度向右运动，射线DE、DF与射线AB分别交于N、M两点，运动时间为t，当点E运动到与点B重合时停止运动（1）当RtDEF在起始时，求AMF的度数；（2）设BC的中点的为P，当PBM为等腰三角形时，求t的值；（3）若两个三角形重叠部分的面积为S，写出S与t的函数关系式和相应的自变量的取值范围9如图，已知等腰ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，连接FE、ED，BF的延长线交ED的延长线于点G，连接GC（1）求证：EFCG；（2）若AC=AB，求证：AC=CG；（3）如图2，若CG=EG，则=10在RtABC中，CAB=90，AC=AB=6，D，E分别是AB，AC的中点，若等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到RtAD1E1，设旋转角为（0180），记直线BD1与CE1的交点为P（1）如图1，当=90时，线段BD1的长等于，线段CE1的长等于；（2）如图2，当=135时，设直线BD1与CA的交点为F，求证：BD1=CE1，且BD1CE1；（3）点P到AB所在直线的距离的最大值是11如图，在RtABC中，ACB=90，点D为边BC上任意一点，以直线AD为对称轴，作RtABC的轴对称图形RtAEF，点M、点N、点P、点Q分别为AB、BC、EF、EA的中点（1）求证：MN=PQ；（2）如图2，当BD=时，判断点M、点N、点P、点Q围成的四边形的形状，并说明理由；（3）若BC=6，请你直接写出当BD=3；BD=6时，点M、点N、点P、点Q围成图形的形状12在RtABC中，ACB=90，点D在AB边上，AD=BD，过点D作射线DH，交BC边于点M（1）如图1，若B=30，求证：ACD是等边三角形；（2）如图2，若AC=10，AD=13，CDH=A求线段DM的长；点P是射线DH上一点，连接AP交CD于点N，当DMN是等腰三角形时，求线段MP的长13等腰三角形ABC中，AB=CB，BOAC，点P为射线BC上的动点（不与点B重合），在射线CA上截取CD=CB，作PFBD，分别交射线BO，BD于点E，F设ABC=（1）令ABC=90如图1，当点P与点C重合时，求证：BODPOE；如图2，当点P在点C的左边时，求的值；猜想：当点P在点C的右边时，的值又是多少？请直接写出（2）设点P在点C的右边，请在图3（ABC90）或图4（ABC90）中继续探究的值（用含的式子表示），并说明理由14如图1，ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC于点D，点E在AC边上，连接BE（1）若AF是ABE的中线，且AF=5，AE=6，连接DF，求DF的长；（2）若AF是ABE的高，延长AF交BC于点G如图2，若点E是AC的中点，连接EG，求证：AG+EG=BE；如图3，若点E是AC边上的动点，连接DF当点E在AC边上（不含端点）运动时，DFG的大小是否改变，如果不变，请求出DFG的度数；如果要变，请说明理由15在ABC中，AD、AE分别是ABC的内、外角平分线（1）如图，CGAD于G，BG的延长线交AE于H，求证：AH=EH；（2）如图，在（1）的条件下，若AE=2AD，BE=5BC，则tanAHB=；（3）如图，点M是DE的中点，BE=5BC=10，求MD的长16如图，ABC是等边三角形，AB=2，D是边BC的中点，点P从点A出发，沿ABBD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动同时点Q从点C出发，沿CAAC以每秒1个单位长度的速度运动当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t（秒），PQD的面积为S（1）求线段PB的长（用含t的代数式）（2）当PQD是等边三角形时，求t的值（3）当S0时，求S与t的函数关系式（4）若点D关于直线PQ的对称点为点D，且S0，直接写出点D落在ABC的边上时t的值17在RtAOB中，OA=3，sinB=，P、M、分别是BA、BO边上的两个动点点M从点B出发，沿BO以1单位/秒的速度向点O运动；点P从点B出发，沿BA以a单位/秒的速度向点A运动；P、M两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点停止运动设运动的时间为t（1）线段AP的长度为（用含a、t的代数式表示）；（2）如图，连结PO、PM，若a=1，PMO的面积为S，试求S的最大值；（3）如图，连结PM、AM，试探究：在点P、M运动的过程中，是否存在某个时刻，使得PMB为直角三角形且PMA是等腰三角形？若存在，求出此时a和t的取值，若不存在，请说明理由18在直角ABC中，ACB=90，点E在AC边上，连结BE，作ACF=CBE交AB于点F，同时点D在BE上，且CDAB（1）已知：如图，求证：ACFBCD求的值（2）若，则的值是多少（直接写出结果）19已知，AB=5，tanABM=，点C、D、E为动点，其中点C、D在射线BM上（点C在点D的左侧），点E和点D分别在射线BA的两侧，且AC=AD，AB=AE，CAD=BAE（1）当点C与点B重合时（如图1），联结ED，求ED的长；（2）当EABM时（如图2），求四边形AEBD的面积；（3）联结CE，当ACE是等腰三角形时，求点B、C间的距离20在ABC中，D、E、F分别为BC、AB、AC上的点（1）如图1，若EFBC、DFAB，连CE、AD分别交DF、EF于N、M，且E为AB的中点，求证：EM=MF；（2）如图2，在（1）中，若E不是AB的中点，请写出与MN平行的直线，并证明；（3）若BD=DC，B=90，且AE：AB：BC=1：3：2，AD与CE相交于点Q，直接写出tanCQD的值21我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”例如图1，图2，图3中，AF，BE是ABC的中线，AFBE，垂足为P像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”设BC=a，AC=b，AB=c特例探索（1）如图1，当ABE=45，时，a=，b=；如图2，当ABE=30，c=4时，求a和b的值归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式22如图，一个直角三角形纸片的锐角顶点A在MCN的边OM上移动，移动过程中始终有ABON于点B，ACOM于点A，MON的平分线OP分别交AB，AC于点D、E（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系？（不必证明）（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并证明以A、D、F、E为顶点的四边形是什么特殊四边形？（3）若MON=45，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系？请证明你的猜想23如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，EAC=90，点M为射线AE上任意一点（不与点A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F、D（1）问题发现：直接写出NDE=度；（2）拓展探究：试判断，如图当EAC为钝角时，其他条件不变，NDE的大小有无变化？请给出证明（3）如图，若EAC=15，BD=，直线CM与AB交于点G，其他条件不变，请直接写出AC的长24在ABC中，ABC=2ACB，延长AB至点D，使BD=BC，点E是直线BC上一点，点F是直线AC上一点，连接DE连接EF，且DEF=DBC（1）如图1，若D=EFC=15，AB=，求AC的长（2）如图2，当BAC=45，点E为线段BC的延长线上，点F在线段AC的延长线上时，求证：CF=BE（3）如图3，当BAC=90，点E为线段CB的延长线上，点F在线段CA的延长线上时，猜想线段CF与线段BE的数量关系，并证明猜想的结论25中点、平行线、等腰直角三角形、等边三角形都是常见的几何图形！（1）如图1，若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且EDF=90，连接AD、EF，当BC=5，FC=2时，求EF的长度；（2）如图2，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且EDF=90；M为EF的中点，连接CM，当DFAB时，证明：3ED=2MC；（3）如图3，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且EDF=90；当BE=6，CF=0.8时，直接写出EF的长度26已知，ABC为直角三角形，ACB=90，点P是射线CB上一点（点P不与点B、C重合），线段AP绕点A顺时针旋转90得到线段AQ，连接QB交射线AC于点M（1）如图，当AC=BC，点P在线段CB上时，线段PB、CM的数量关系是；（2）如图，当AC=BC，点P在线段CB的延长线时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由（3）如图，若，点P在线段CB的延长线上，CM=2，AP=13，求ABP的面积27在RtABC中，C=90，RtABC绕点A顺时针旋转到RtADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DFAC于点F（1）如图1，若点F与点A重合，求证：AC=BC；（2）若DAF=DBA，如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；当点F在线段CA上时，设BE=x，请用含x的代数式表示线段AF28如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE（1）求证：DEAG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角（0360）得到正方形OEFG，如图2在旋转过程中，当OAG是直角时，求的度数；若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由29在ABC中，AB=AC，A=60，点D是线段BC的中点，EDF=120，DE与线段AB相交于点EDF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F（1）如图1，若DFAC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DNAC于点N，若DNAC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BECF）30如图1所示，在菱形ABCD和菱形AEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段CF的中点，连接PD，PG（1）若BAD=AEF=120，请直接写出DPG的度数及的值（2）若BAD=AEF=120，将菱形ABCD绕点A顺时针旋转，使菱形ABCD的对角线AC恰好与菱形AEFG的边AE在同一直线上，如图2，此时，（1）中的两个结论是否发生改变？写出你的猜想并加以说明（3）若BAD=AEF=1802（090），将菱形ABCD绕点A顺时针旋转到图3的位置，求出的值三角形综合题答案1已知，如图，RtABC中，ACB=90，BC=8，cotBAC=，点D在边BC上（不与点B、C重合），点E在边BC的延长线上，DAE=BAC，点F在线段AE上，ACF=B设BD=x（1）若点F恰好是AE的中点，求线段BD的长；（2）若y=，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当ADE是以AD为腰的等腰三角形时，求线段BD的长解：（1）在RtABC中，ACB=90，BC=8， cotBAC=， AC=6，AB=10，DAE=BAC，FAC=DAB，ACF=B，ABDACF，在RtABC中，点F恰好是AE的中点，CF=AE=AF，AD=BD，在RtACD中，AC=6，CD=BCBD=BCAD=8AD，根据勾股定理得，AC2+CD2=AD2，36+（8AD）2=AD2，AD=，BD=AD=，（2）如图1，过点F作FMAC于M，由（1）知，=，CF=x=x，由（1）ABDACF，B=ACF，tanACF=tanB=，MC=x，y=（0x8）（3）ADE是以AD为腰的等腰三角形，当AD=AE时，AED=ADE，ACD=90，EAC=DAC=DAB，AD是BAC的平分线，AC=6，AB=10，CD=8BD，BD=5，当AD=DE时，DAE=DEA=BAC，ADE=2B，B=DAB，AD=BD=（是（1）的那种情况）即：BD=5或BD=时，ADE是以AD为腰的等腰三角形2如图，ABC边AB上点D、E（不与点A、B重合），满足DCE=ABC，ACB=90，AC=3，BC=4；（1）当CDAB时，求线段BE的长；（2）当CDE是等腰三角形时，求线段AD的长；（3）设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域（1）在ABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，AB=5，sinA=，tanB=，如图，当CDAB时，ACD为直角三角形，CD=ACsinA=，AD=，又DCE=ABC，在RtCDE中，DE=CDtanDCE=，BE=ABADDE=5=；（2）当CDE时等腰三角形时，可知CDEAB=DCE，CEDB=DCE，唯有CED=CDE，又B=DCE，CDE=BDC，BCD=CED=CDE=BDC，BD=BC=4，AD=54=1；（3）如图所示，作CHAB于H，BCAC=ABCH，CH=，RtACH中，AH=，在RtCDH中，CD2=CH2+DH2=（）2+（x）2=x2x+9，又CDE=BDC，DCE=B，BDCCDE，CD2=DEDB，即x2x+9=（5xy）（5x），解得3 如图，已知ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DEBC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P设BD=x，AP=y（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当PQE是等腰三角形时，求BD的长；（3）连接CQ，当CQB和CBD互补时，求x的值解：（1）如图所示，过点D作DFAC，交BP于F，则根据QE=2DQ，可得=，又DEBC，=1，EC=BD=x，PE=3xy，DF=，DFAC，=，即=，y=，定义域为：0x3；（2）DEBC，PEQPBC，当PEQ为等腰三角形时，PBC也为等腰三角形，当PB=BC时，ABCBPC，BC2=CPAC，即4=3（3y），解得y=，=，解得x=BD；当PC=BC=2时，AP=y=1，=1，解得x=BD；当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意；（3）DEBC，BDQ+CBD=180，又CQB和CBD互补，CQB+CBD=180，CQB=BDQ，BD=CE，四边形BCED是等腰梯形，BDE=CED，CQB=CED，又DQB+CQB=ECQ+CED，DQB=ECQ，BDQQEC，=，即2DQ2=x2，DQ=，DE=，DEBC，=，即=，解得x=4如图，在RtABC中，ACB=90，=，CDAB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FDED，交直线BC于点F（1）探究发现：如图1，若m=n，点E在线段AC上，则=1；（2）数学思考：如图2，若点E在线段AC上，则=（用含m，n的代数式表示）；当点E在直线AC上运动时，中的结论是否任然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC=，BC=2，DF=4，请直接写出CE的长解：（1）当m=n时，即：BC=AC，ACB=90，A+ABC=90，CDAB，DCB+ABC=90，A=DCB，FDE=ADC=90，FDECDE=ADCCDE，即ADE=CDF，ADECDF，A=DCB，ADC=BDC=90，ADCCDB，=1，=1（2）ACB=90，A+ABC=90，CDAB，DCB+ABC=90，A=DCB，FDE=ADC=90，FDECDE=ADCCDE，即ADE=CDF，ADECDF，A=DCB，ADC=BDC=90，ADCCDB，成立如图，ACB=90，A+ABC=90，又CDAB，DCB+ABC=90，A=DCB，FDE=ADC=90，FDE+CDE=ADC+CDE，即ADE=CDF，ADECDF，A=DCB，ADC=BDC=90，ADCCDB，（3）由（2）有，ADECDF，=，=，CF=2AE，在RtDEF中，DE=2，DF=4，EF=2，在RtCEF中，CF=2AE=2（ACCE）=2（CE），EF=2，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，CE2+2（CE）2=40CE=2，或CE=（舍）在RtCEF中，CF=2AE=2（AC+CE）=2（+CE），EF=2，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，CE2+2（+CE）2=40，CE=，或CE=2（舍），即：CE=2或CE=5如图1，在ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为（0180）（1）当BAC=60时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上若CDP=120，则ACD=ABD（填“”、“=”、“”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是BD=CD+AD；（2）当BAC=120时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若CDP=60，求证：BDCD=AD；（3）将图3中的BP继续旋转，当30180时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若CDP=120，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）解：（1）如图2，CDP=120，CDB=60，BAC=60，CDB=BAC=60，A、B、C、D四点共圆，ACD=ABD在BP上截取BE=CD，连接AE在DCA与EBA中，DCAEBA（SAS），AD=AE，DAC=EAB，CAB=CAE+EAB=60，DAE=60，ADE是等边三角形，DE=ADBD=BE+DE，BD=CD+AD故答案为=，BD=CD+AD；（2）如图3，设AC与BD相交于点O，在BP上截取BE=CD，连接AE，过A作AFBD于FCDP=60，CDB=120CAB=120，CDB=CAB，DOC=AOB，DOCAOB，DCA=EBA在DCA与EBA中，DCAEBA（SAS），AD=AE，DAC=EABCAB=CAE+EAB=120，DAE=120，ADE=AED=30在RtADF中，ADF=30，DF=AD，DE=2DF=AD，BD=DE+BE=AD+CD，BDCD=AD；（3）线段BD、CD与AD之间的数量关系为BD+CD=AD或CDBD=AD6已知，在ABC中，ACB=90，CA=CD，CGAD于点H，交AB于点G，E为AB上一点，连接CE交AD于点F（1）如图1，若CEAB于点E，HG=1，CH=5，求CF的长；（2）如图2，若AC=AE，GEH=ECH，求证：CE=HE；（3）如图3，若E为AB的中点，作A关于CE的对称点A，连接CA，EA，DA，请直接写出CEH，ACD，EAD之间的等量关系解：（1）ACB=90，CA=CD，ACD是等腰直角三角形，CAD=CDA=45，CGAD，CHF=AHG=90，ACH=DCH=ACB=90=45，AH=DH=CH=5，GAH+AGC=90，CEAB，CEG=90，GCE+AGC=90，GCE=GAH，在CHF与AHG中，CHFAHG，HF=HG=1，CF=；（2）如图2，过H作MHEH，交CE于M，连接AM，AC=AE，AEC=ACE，GEH=ECG，MHEH，EHM为等腰直角三角形，EHM=90，EH=MH，EM=HE，AHM=AHC+CHM=90+CHM=EHM+CHM=CHE，在AHM与CHE中，AHMCHE，MAF=ECH，MAF+AFC=ECH+AFC=180，CHD=18090，AMCE，AC=AE，ACE是等腰三角形，CM=EM=HE，CE=2EM=2HE；（3）H为AD的中点，E我AB的中点，EH是ABD的中位线，EHBC，CEH=BCE，ACE=ACBBCE=90BCE=90CEH，EC=AE，CAE=ACE=90CEH，CAE=ACE=90CEH，A关于CE的对称点A，CAE=CAE=90CEH，CA=CA，CA=CD，CA=CD，CDA=CAD=CAE+EAD=90CEH+EAD，ACD+CDA+CAD=180，ACD+90CEH+EAD+90CEH+EAD=180，化简得：ACD+2EAD=2CEH，7（1）问题发现如图1，在RtABC中，A=90，=1，点P是边BC上一动点（不与点B重合），PAD=90，APD=B，连接CD填空：=1；ACD的度数为45（2）拓展探究如图2，在RtABC中，A=90，=k点P是边BC上一动点（不与点B重合），PAD=90，APD=B，连接CD，请判断ACD与B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由（3）解决问题如图3，在ABC中，B=45，AB=4，BC=12，P是边BC上一动点（不与点B重合），PAD=BAC，APD=B，连接CD若PA=5，请直接写出CD的长解：（1）A=90，=1，AB=AC，B=45，PAD=90，APD=B=45，AP=AD，BAP=CAD，在ABP与ACD中，ABPACD，PB=CD，ACD=B=45，=1，故答案为：1，45；（2）ACD=B，=k；BAC=PAD=90，B=APD，ABCAPD，=k，BAP+PAC=PAC+CAD=90，BAP=CAD，ABPCAD，ACD=B，=k；（3）过A作AHBC于H，B=45，ABH是等腰直角三角形，AB=4，AH=BH=4，BC=12，CH=8，AC=4，PH=3，PB=1，BAC=PAD=，B=APD，ABCAPD，BAP+PAC=PAC+CAD，BAP=CAD，ABPCAD，=，即，CD=8RtABC与RtDEF的位置如图所示，其中AC=2，BC=6，DE=3，D=30，其中，RtDEF沿射线CB以每秒1个单位长度的速度向右运动，射线DE、DF与射线AB分别交于N、M两点，运动时间为t，当点E运动到与点B重合时停止运动（1）当RtDEF在起始时，求AMF的度数；（2）设BC的中点的为P，当PBM为等腰三角形时，求t的值；（3）若两个三角形重叠部分的面积为S，写出S与t的函数关系式和相应的自变量的取值范围解：（1）在RtABC中，tanB=，B=30，在RtDEF中，D=30，DFC=60，FMB=DFCB=30，AMF=180FMB=150；（2）BC=6，点P为线段BC的中点，BP=3，（）若点M在线段AB上，当PB=PM时，PB=PM=3，DE=3，D=30，EF=DEtan30=3，此时t=0；如右图（1）所示当BP=BM时，BP=BM=3，B=30，DFE=60，FMB=30，BMF为等腰三角形过点F作FHMB于H，则BH=BM=， 在RtBHF中，B=30，BF=，t=3；如右图（2）所示，当MP=MB时，MPB=B=30MFP=60，PMMF，BMF=30FB=FM，设FB=x，则FM=x，PF=2x3x=3，x=1t=2；（）若点M在射线AB上，如右图（3）所示，PBM=150当PBM为等腰三角形时，有BP=BM=3BFM为等腰三角形，过点F作FHBM于H，则BH=BM=，在RtBHF中，FBH=30BF=，t=3+，综上所述，t的值为0，3，2，3+（3）当0t3时，BE=6t，NE=（6t），=，过点F作FHMB于H，如右图（1）所示，FB=3tHF=（3t），HB=（3t），MB=（3t），=，S=SBENSBMF=，当3t6时，BE=6t，NE=（6t），如右图（4）所示，S=，由上可得，当0t3时，S=，当3t6时，S=，即S=9如图，已知等腰ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，连接FE、ED，BF的延长线交ED的延长线于点G，连接GC（1）求证：EFCG；（2）若AC=AB，求证：AC=CG；（3）如图2，若CG=EG，则=（1）证明：点D、E分别是线段AC、BC的中点，DE为ABC的中位线，DEAB，CDE=ACDE=FDG，FDG=A点F为线段AD的中点，AF=DF在ABF和DGF中，ABFDGF（ASA），BF=GF，点F为线段BG的中点，点E为线段BC的中点，EF为BCG的中位线，EFCG（2）证明：在图1中，过点C作CMAB于点MAC=BC，AM=BM=ABAC=AB，=AF=AD=AC=AB，=，BAFCAM，AFB=AMC=90，CFBG点F为线段BG的中点，BC=CG，又AC=BC，AC=CG（3） 解：DE为ABC的中位线，DE=AB，CE=BC=AC，DG=AB，EG=DE+DG，EG=ABDEAB，GEC=CBA，AC=BC，CG=EG，GECCBA，既，=，故答案为：10在RtABC中，CAB=90，AC=AB=6，D，E分别是AB，AC的中点，若等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到RtAD1E1，设旋转角为（0180），记直线BD1与CE1的交点为P（1）如图1，当=90时，线段BD1的长等于3，线段CE1的长等于3；（2）如图2，当=135时，设直线BD1与CA的交点为F，求证：BD1=CE1，且BD1CE1；（3）点P到AB所在直线的距离的最大值是解：（1）CAB=90，AC=AB=6，D，E分别是边AB，AC的中点，AE=AD=3，等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtAD1E1，设旋转角为（0180），当=90时，AE1=3，E1AE=90，BD1=3，E1C=3；故答案为：3，3；（2）证明：当=135时，如图2，连接CE1，RtAD1E是由RtADE绕点A逆时针旋转135得到，AD1=AE1，D1AB=E1AC=135，在D1AB和E1AC中，D1ABE1AC（SAS），BD1=CE1，且D1BA=E1CA，记直线BD1与AC交于点F，BFA=CFP，CPF=FAB=90，BD1CE1；（3）解：如图3，作PGAB，交AB所在直线于点G，D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=3，则BD1=3，故ABP=30，则PB=3+3，故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=，故答案为：11如图，在RtABC中，ACB=90，点D为边BC上任意一点，以直线AD为对称轴，作RtABC的轴对称图形RtAEF，点M、点N、点P、点Q分别为AB、BC、EF、EA的中点（1）求证：MN=PQ；（2）如图2，当BD=时，判断点M、点N、点P、点Q围成的四边形的形状，并说明理由；（3）若BC=6，请你直接写出当BD=3；BD=6时，点M、点N、点P、点Q围成图形的形状解：（1）ABC与AEF关于直线AD对称，如图1，ABCAEF，AC=AF，点M、N、P、Q分别是AB、BC、EF、EA的中点，MN、PQ分别是ABC和AEF的中位线，MN=AC，PQ=AF，MN=PQ；（2）当BD=BC时，点M、点N、点P、点Q围成的四边形是矩形连结BE、MN、PQ，如图2，点M、点Q是AB、AE的中点MQBE且MQ=BE，点N是BC中点，BN=BC，又BD=BC，DN=BNBD=BCBC=BC，点B与点E关于直线AD对称，BEAD，同理PNAD，BEPN，PDNEDB，PNBE，PN=BE，MQPN且MQ=PN，四边形MQNP是平行四边形，MN=PQ，四边形MQNP是矩形（3）当BD=3时，围成等腰三角形；当BD=6时，围成矩形12在RtABC中，ACB=90，点D在AB边上，AD=BD，过点D作射线DH，交BC边于点M（1）如图1，若B=30，求证：ACD是等边三角形；（2）如图2，若AC=10，AD=13，CDH=A求线段DM的长；点P是射线DH上一点，连接AP交CD于点N，当DMN是等腰三角形时，求线段MP的长（1）证明：B=30，ACB=90，A=60，由题意可得D是直角三角形斜边A边上的中点，CD=AD，ACD=A=60，ADC=60，ACD为等边三角形；（2）解：点D是直角三角形斜边AB上的中点，AC=CD=AD，ACD=A，CDH=A，ACD=CDH，DHAC，DM为ABC的中位线，DM=AC=5；分三种情况考虑：（i）当MN=DN时，如图1所示，由得：AD=CD，A=ACD=CDH，DM=5，MN=DN，CDN=DMN=A=ACD，ADCDNM，=，即=，解得：DN=CD，CN=DN，DHAC，ACNPDN，PD=AC=10，MP=PDDM=105=5；（ii）当MN=DM=5时，如图2所示，则有MND=MDN=ACD=A，ADCMDN，=，即=，解得：DN=，CN=13=，ACNPDN，=，即=，解得：PD=，则MP=DMPD=5=；（iii）当DN=DM时，如图2所示，则有DN=5，CN=135=8，ACNPDN，=，即=，解得：PD=，则MP=PDDM=13等腰三角形ABC中，AB=CB，BOAC，点P为射线BC上的动点（不与点B重合），在射线CA上截取CD=CB，作PFBD，分别交射线BO，BD于点E，F设ABC=（1）令ABC=90如图1，当点P与点C重合时，求证：BODPOE；如图2，当点P在点C的左边时，求的值；猜想：当点P在点C的右边时，的值又是多少？请直接写出（2）设点P在点C的右边，请在图3（ABC90）或图4（ABC90）中继续探究的值（用含的式子表示），并说明理由解：（1）如图1中，AB=BC，ABC=90，BOAC，OA=OC=OB，BOC=90，CFBD，CFD=90，CDF+DCF=90，DCF+CEO=90，CEO=BDO，在