江苏省邳州市第二中学高二数学 期末复习专题（解斜三角形）课件.ppt

解斜三角形 1 正弦定理及变式 1 2r 2 a 2rsina b c 2rsinc 3 sina sinb sinc 4 sina sinb sinc a b c 5 在下列条件下 应用正弦定理求解 已知两角和一边 求其他边和角 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角及其他边和角 2rsinb 2 余弦定理及变式 1 a2 b2 c2 2bccosa b2 c2 a2 b2 2abcosc 2 cosa cosb cosc a2 c2 2accosb 3 在下列条件下 应运用余弦定理求解 已知三边 求三个角 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两个角 已知两边和其中一边的对角 求第三边和其他两个角 此类问题需要讨论 3 三角形的面积公式s absinc bcsina acsinb 4 应用解三角形知识解决实际问题的步骤 1 根据题意画出示意图 2 确定实际问题所涉及的三角形 并搞清该三角形的已知条件和未知条件 3 选用正 余弦定理进行求解 并注意运算的正确性 4 给出答案 5 判断三角形的形状特征必须从研究三角形的边与边的关系 或角的关系入手 充分利用正弦定理与余弦定理进行转化 即化边为角或化角为边 边角统一 三角形形状的判断依据 1 等腰三角形 a b或a b 2 直角三角形 b2 c2 a2或a 90 3 钝角三角形 a2 b2 c2 或90 a 180 4 锐角三角形 若a为最大边 且满足a2 b2 c2或a为最大角 且0 a 90 6 在 abc中常用的一些基本关系式 1 a b c 2 sin b c cos b c tan b c 3 sin 4 cos 5 tana tanb tanc sina cosa tana tanatanbtanc 7 解斜三角形知识在生产实践中有着极为广泛的应用 如测量 航海 几何 物理等方面都要用到解三角形的知识 解斜三角形有关的实际问题的思维过程可以用下图表示 8 解斜三角形应用题的一般步骤是 分析 准确理解题意 分清已知与所求 尤其要理解应用题中的有关名词术语 如坡度 仰角 俯角 视角 方向角 方位角等 必要时 画出示意图 化实际问题为数学问题 建模 根据已知条件与求解目标 把已知量与求解量尽量集中在有关三角形中 建立一个解斜三角形的数学模型 求解 利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形 求得数学模型的解 检验 检验上述所求的解是否符合实际意义 从而得出实际问题的解 9 解斜三角形应用题常有以下几种情形 实际问题经抽象概括后 已知与未知量全部集中在一个三角形中 一次可用正弦定理或余弦定理解之 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形 这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解 实际问题经抽象概括后 涉及的三角形只有一个 但由题目已知条件解此三角形 需连续使用正弦定理或余弦定理 运用正弦定理和余弦定理解决几何计算问题 要抓住条件和待求式子的特点 恰当地选择定理 运用正弦定理一般是将边转化为角 而条件中给出三边关系的往往考虑用余弦定理求和 1 在 abc中 已知bc 12 a 60 b 45 则ac d a 3b 3c 4d 4 由正弦定理得 所以ac 4 课堂练习 2 在 abc中 若a b c成等比数列 且c 2a 则cosb d a b c d 因为a b c成等比数列 所以b2 ac 又c 2a 所以b2 2a2 所以cosb 3 在 abc中 sina sinb sinc 2 1 则三角形的最小内角是 a 60 b 45 c 30 d 以上答案都错 由正弦定理 2r 得a 2rsina b 2rsinb c 2rsinc 所以a b c sina sinb sinc 2 1 因为a为最小值 所以a为最小内角 因为cosa 且a 0 60 所以a 45 故选b b 4 某人向正东方向走了xkm 他向右转150 然后朝新方向走了 km 结果他离出发点恰好为千米 那么x的值是 c a b 2c 2或d 3 先根据已知条件画出草图 再用余弦定理或正弦定理列方程 解方程即可 选c 5 已知 abc的三个内角a b c成等差数列 且ab 1 bc 4 则边bc上的中线ad的长为 s acd 由已知 b 60 ab 1 bd 2 由余弦定理知ad 又cos adb 又0 adb 180 所以 adb 30 所以 adc 150 所以s acd ad dc sin adc 正 余弦定理体现了三角形中角与边存在一种内在联系 其主要作用是将已知边 角互化或统一 一般的 利用公式a 2rsina等 r为外接圆半径 可将边转化角的三角函数关系 然后利用三角函数知识进行化简 其中往往用到三角形内角和定理 利用公式cosa 等 可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系 然后充分利用代数知识求边 6 abc中 已知sina 2sinbcosc sin2a sin2b sin2c 则三角形的形状是 d a 等边三角形b 等腰三角形c 直角三角形d 等腰直角三角形 由sin2a sin2b sin2c 得a2 b2 c2 所以 abc为直角三角形 a 90 由sina 2sinbcosc 得2sin2b 1 因为b为锐角 所以sinb 从而b 45 c 45 所以 abc为等腰直角三角形 故选d 7 在锐角 abc中 已知cosa sinb 则cosc的值是 b a b c 或d 因为cosa sinb 所以sina cosb 所以cosc cos a b cos a b cosacosb sinasinb 8 在 abc中 设命题p 命题q abc是等边三角形 则命题p是命题q的 c a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 p 由正弦定理 所以sina sinb sinc 所以a b c a b c 故选c 9 在 abc中 三个内角满足2a b c 且最大边与最小边分别是方程x2 12x 32 0的两根 则 abc外接圆的面积为 a a 16 b 64 c 124 d 156 由方程x2 12x 32 0 解得x 4或x 8 不妨设b 8 c 4 因为2a b c 所以a b c 3a 180 a 60 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos60 64 16 2 8 4 48 所以a 4 由正弦定理 得2r asina 8 r 4 所以s圆 r2 16 故选a 10 abc中 已知a x b 2 b 45 若解此三角形有两解 则x的取值范围是 2 2 sina x x 因三角形有两解 所以45 2 且x 1 解得2 x 2 1 解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理以及三角变换 解题时角度的选取是关键 并关注角的取值范围 如已知两边及其中一边的对角解三角形 要注意解的情况 2 对于解斜三角形的实际应用问题 要理解题意 分清已知与所求 根据题意画出示意图 抽象或构造出三角形 把实际问题转化为解三角形 要明确先用哪个公式或定理 先求哪些量 确定解三角形的方法 在演算过程中 要算法简练 算式工整 计算正确 还要注意近似计算的要求 对于实际应用问题中的有关名词 术语 要理解清楚 如坡度 俯角 仰角 方向角 方位角等 正确画出图形是解题的关键 3 利用正 余弦定理可以进行边角互化 有利于判断三角形的形状 4 解决三角形中的问题 要从统一着手 或统一成角的关系 或统一成边的关系 要视情况灵活处理 在解三角形时 要注意解题的完整性 谨防失根 11 若p在q的北偏东44 则q在p的 c a 东偏北45 b 东偏北44 c 南偏西44 d 西偏南44 由方位角的定义可知 q应在p的南偏西44 12 如图 单摆从某点开始来回摆动 离开平衡位置o的距离scm和时间ts的函数关系式为s 6sin 2 t 那么单摆来回摆动一次所需的时间为 d a 2 sb sc 0 5sd 1s t 1 故选d 13 在200米高的山顶上 测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是30 60 则塔高为 a 米b 米c 米d 米 画出示意图 如图 由题意可知 dac 60 oac dab 30 在 aoc中 ao 200 所以oc 而ad oc 在 abd中 bd 因此塔高为200 米 故选a 14 有一长为100米的斜坡 它的倾斜角为45 现要把倾斜角改为30 则坡底需伸长米 50 坡的倾斜角即为坡度 依题意知 该坡的高度不变 即仍为50 当坡的倾斜角变为30 时 坡底的长度为50 所以坡度改后 坡底伸长了50 米 15 如图 为了测量河的宽度 在一岸边选定两点a b望对岸的标记物c 测得 cab 30 cba 75 ab 120m 则这条河的宽度为m 60 如图 在 abc中 过c作cd ab于d点 则cd为所求宽度 在 abc中 因为 cab 30 cba 75 所以 acb 75 所以ac ab 120m 在rt acd中 cd acsin cad 120sin30 60 m 因此 这条河宽60m 面对实际问题时 能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能 这个过程并不神秘 就像前面的几个例题 在读题时把问题提供的 条件 逐条地 翻译 成 数学语言 这个过程就是数学建模的过程 在高考中 将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有 求出三角函数的解析式 画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题 2009 湖南卷 在锐角 abc中 bc 1 b 2a 则的值等于 ac的取值范围为 2 设a b 2 由正弦定理得 所以 1 2 由锐角 abc得0 2 90 0 45 又0 180 3 90 30 60 故30 45 cos 所以ac 2cos 2009 全国卷 在 abc中 内角a b c的对边长分别为a b c 已知a2 c2 2b 且sinacosc 3cosasinc 求b 方法一 在 abc中 因为sinacosc 3cosasinc 则由正弦定理及余弦定理有 a 3 c 化简并整理得2 a2 c2 b2 又由已知a2 c2 2b 所以4b b2 解得b 4或b 0 舍 方法二 由余弦定理得a2 c2 b2 2bccosa 又a2 c2 2b b 0 所以b 2ccosa 2 又sinacosc 3cosasinc 所以sinacosc cosasinc 4cosasinc 即sin a c 4cosasinc 即sinb 4cosasinc 由正弦定理得sinb sinc 故b 4ccosa 由 解得b 4 2009 宁夏 海南卷 如图 为了测量两山顶m n间的距离 飞机沿水平方向在a b两点进行测量 a b m n在同一个铅垂平面内 如图所示 飞机能够测量的数据有俯角和a b间的距离 请设计一个方案 包括 指出需要测量的数据 用字母表示 并在图中标出 用文字和公式