《高等数学教学课件汇编》第五章4 初等函数的幂级数展开.ppt_第1页
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第四节 初等函数的幂级数展开 机动目录上页下页返回结束 第五章 一 泰勒级数和麦克劳林级数 其中 在x与x0之间 称为拉格朗日余项 则在 若函数 的某邻域内具有n 1阶导数 此式称为f x 的n阶泰勒公式 该邻域内有 机动目录上页下页返回结束 为f x 的泰勒级数 则称 当x0 0时 泰勒级数又称为麦克劳林级数 1 对此级数 它的收敛域是什么 2 在收敛域上 和函数是否为f x 待解决的问题 若函数 的某邻域内具有任意阶导数 机动目录上页下页返回结束 定理1 各阶导数 则f x 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f x 的泰勒公式中的余项满足 证明 令 设函数f x 在点x0的某一邻域 内具有 机动目录上页下页返回结束 定理2 若f x 能展成x的幂级数 则这种展开式是 唯一的 且与它的麦克劳林级数相同 证 设f x 所展成的幂级数为 则 显然结论成立 机动目录上页下页返回结束 二 初等函数的幂级数展开式 1 直接展开法 由泰勒级数理论可知 第一步求函数及其各阶导数在x 0处的值 第二步写出麦克劳林级数 并求出其收敛半径R 第三步判别在收敛区间 R R 内 是否为 骤如下 展开方法 直接展开法 利用泰勒公式 间接展开法 利用已知其级数展开式 0 的函数展开 机动目录上页下页返回结束 例1 将函数 展开成x的幂级数 解 其收敛半径为 对任何有限数x 其余项满足 故 在0与x之间 故得级数 机动目录上页下页返回结束 例2 将 展开成x的幂级数 解 得级数 其收敛半径为 对任何有限数x 其余项满足 机动目录上页下页返回结束 类似可推出 机动目录上页下页返回结束 2 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质 例3 将函数 展开成x的幂级数 解 因为 把x换成 得 将所给函数展开成幂级数 机动目录上页下页返回结束 例4 将函数 展开成x的幂级数 解 从0到x积分 得 定义且连续 区间为 利用此题可得 上式右端的幂级数在x 1收敛 所以展开式对x 1也是成立的 于是收敛 机动目录上页下页返回结束 例5 将 展成x 1的幂级数 解 机动目录上页下页返回结束 例6 将 在x 0处展为幂级数 解 因此 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 函数的幂级数展开法 1 直接展开法 利用泰勒公式 2 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开
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