淮海工学院参加2014省高等数学竞赛模拟试卷二参考答案及评分标准.doc

第页 共4页淮海工学院2014省高等数学竞赛模拟试卷二参考答案及评分标准题号一二三四五六七八九总分核分人分值328888881010100得分一、填充题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1、（）2、设可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为，则提示：3、设可微，则由确定的隐函数之所示曲面在处的切平面所平行的向量可选为（二级做）提示：易证，则3、设由确定，可微，则 （三级做）4、5、 6、的最小值为（二级做）到面的距离之和最短6、的最小值为（三级做）提示：该题相当于求到直线的距离之和最短，思考：的最小值为到两点的距离之和最短7、圆柱面夹在与面之间的侧面积（二级做）提示：7、及轴所围成的平面区域绕轴旋转一周所成旋转体的侧面积为（三级做）8、设为由曲面与平面所围成的封闭曲面的外侧，则 （二级做）提示：设是所围的空间区域，是位于第1卦限的部分,8、设由所围，则 （三级做）提示： 二、计算题（本大题8分）若，求 解：-2-2将其代入原式，得-2于是有-2三、问答题（本大题10分）设数列满足 ，（1）若,请问数列收敛吗？若收敛，求；（2）若，求.答：（1）因，假设，则-1由数学归纳法知， ，则数列有界-1于是，,有-1故数列单调递增且有界，由单调有界定理知，数列收敛-1令，则，取极限得，有，-2（2）若，假设，则-1由数学归纳法知， ，-1于是，.-2四、计算题（本大题8分）设其中二阶偏导数连续， 求解：将原方程组各方程两端对求导得-2将原方程组各方程两端对求导得-2则， 故-4五、计算题（本大题8分）（本科二级做）设在内连续，且， 求； 计算，其中L是从原点O到点M（1,3）的任意一条光滑弧解： 将原等式两边对x求导，得到，-2所以令，于是有-1 因为，所以-2于是可知I与积分路径无关，从而-1令：，当x = 0,y = 0时，t = 1；x = 1,y = 3时，t = 12，-1故-1五、计算题（本大题8分）（本科三级做）如图，是的拐点，、分别是该曲线在与处的切线，其交点为，设具有三阶连续导数，求 2 0 2 3 4 解： 由题设图形知， ；-2则原式-2 -4六、计算题（本大题8分）求使得不等式对所有的正整数都成立的最小的数 解：由 解得-2令，-2记，由得，于是从而，单调减-2注意到，有，则， 而，故最小值为-2七、计算题（本大题8分）若具有二阶连续偏导数，且，其中，计算解：因，则，-2故-2-2-2八、证明题（本大题8分）已知二阶可导，且，（1）证明 ， ；（2）若，证明证明：（1）记 -1 则 ， ，则为凹-2 即 -1（2）-2 -1即-1九、应用题（本大题10分）（二级做）点在平面 ：的两侧，过点 做球面使其在平面 上截得的圆最小，（1）求球面的球心坐标与该球半径；（2）证明：直线 AB 与平面 的交点是圆的圆心。解（1）向量，线段 AB 的中点是，于是线段 AB 的垂直平分面的方程是因球心在上，可设球心为，则其球半径的平方而球心 到平面 的距离为设圆的 半径为，则由，解得，因驻点惟一，故最小值存在，则球心为，球半径（2）将 AB参数方程：代入方程，得则直线 AB 与平面 的交点的坐标为因向量，平面 的法向量为，则有，故点 M 是圆 T的圆心。九、应用题（本大题10分）（三级做）设圆含于椭圆的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线)，（1）求满足的等式；（2） 求的值, 使椭圆的面积最小解：（1） 由题意，圆与椭圆的公切点不在轴上，则，-1 同时，即-1因，有-1将上述两式消，得；-1（2