三：曲面论基本定理PPT课件.ppt

5 曲面论的基本定理 1 通过上面几节的讨论 我们知道 给定曲面 我们就可以得到它的两个基本形式 式决定 因为曲率是用来描述曲面的形状的 所 以如果我们知道了曲面的第一第二基本形式后 也 就基本上知道了曲面的形状 现在提出这样的问 形式完全确定 说得详细一点 如果给出了u v的 题 曲面在空间的形状是否由第一第二基本形式 两个二次微分形式 我们能否确定一个 所给出的两个微分形式 2 一般说来 这个反问题不可能有解 因为确定一个曲 面需要三个函数x u v y u v z u v 而曲面的第一第二基 本形式是由这三个函数确定的 也即第一第二基本形式中 的六个函数E u v F u v N u v 有联系 反过来说 如果这六个函数之间没有联系 就不可能确定一个曲面 y u v z u v 所以这六个函数只有三个是独立的 也就 是说这六个函数之间有三个关系式 这一节的目的就是要 寻找这三个关系式 称为高斯 科达齐 迈因纳尔迪公式 并将证明定理 给出两个二次微分形式 如果它们满足 它的第一第二基本形式正好就是给定的两个二次微分形式 高斯 科达齐 迈因纳尔迪条件 则存在一个曲面 3 为了把一些式子表达的更有规律些 本节将 采用以下一些新的记号 以后将同时采用这一套 符号和以前采用的记号 记 4 5 1曲面的基本定理和克里斯托菲耳 Christoffer 符号 在曲线论中 曲线的三个基本向量的导向量可以用三 个基本向量来表出 即有伏雷内 Frenet 公式 它确定了向量 那么这三个向量的导向量能否由这三个向量表出呢 表出的系数是什么呢 这式称为曲面的基本方 程 第一式称为高斯方程 第二是称为魏因加尔吞方程 5 叫做第一类克里斯托菲耳符号 而 证明我们设 下面我们确定这些式子的系数 将 的第一式点乘 6 两边左乘 得 即 下面确定 中第二式的 7 I j 1 2 将 1 2 带入 即得所证关系式 并且 注 采用过去的记号 8 于是得六个系数如下 对于正交网来说 F 0 这时 而 9 在正交网下 F 0 可有下面的统一表达式 10 5 2曲面的黎曼 Riemann 曲率张量和高斯 科达齐 迈因纳尔迪 Gauss Codazzi Mainardi 公式 11 2020 2 6 12 第一类黎曼曲率张量定义为 一 黎曼 Riemann 曲率张量 容易验证黎曼曲率张量满足下列恒等式 注I j k取值为1 2 后一等式中 下角码总有两个相等 所以由第一式可推出第二式 再推出第三式 第一类黎曼曲率张量定义为 m I j k 1 2 13 二 Gauss Codazzi Mainardi公式 命题 1 高斯公式 2 科达齐 迈因纳尔迪公式 证明对基本方程中的高斯方程求导数得 再把基本方程带入上式得 14 类似的 所以 是线性无关的向量 比较的系数得 因为曲面是类的 所以 15 比较的系数得 命题得证 推论第一黎曼曲率张量满足以下恒等式 说明 1 由推论知 这16个分量中只有一个是独立的 事实上 由 独立的还有再由知 独立的只有 2 科达齐 迈因纳尔迪公式中 j k是恒等式 而j k对调方程不变 故可令j 1 k 2 于是再依次令I 1 2即可知该公式中只包含两个独立式 即I 1 j 1 k 2和I 2 j 1 k 2时的两个 16 因此 命题中一共包含三个独立关系式 也就是说 曲面的第一 第二基本形式中的系数应满足三个关式 即 命题中的三个关系式 4 科达齐 迈因纳尔迪公式用基本量表示是 3 由两种黎曼曲率张量的定义 两曲率张量都仅与第一基本形式的系数及其关于变量的导数有关 因为仅与第一基本量有关 所以它们都是曲面的内在量 17 正交坐标网 F 0 下 即 18 三 高斯定理 高斯定理曲面的高斯曲率是内蕴量 即曲的高斯曲率K被曲面的第一基本形式完全确定 证明由高斯公式 中的独立关系式 故 因都是内蕴量 故K是内蕴量 推论1两个曲面可以建立等距对应 则对应点的高斯曲率相等 换言之 高斯曲率经等距变换不变 证明等距对应下 第一基本量不变 仅与第一基本量有关 故不变 故不变 19 推论2曲面可与平面建立等距对应充分必要条件是该曲面为可展曲面 证明充分性 即可展曲面中的命题5 必要性 曲面与平面建立等距对应 则由高斯定理曲 面与平面的高斯曲率相等 都为零 而高斯曲率为零的曲 面为可展曲面 推论得证 四 高斯曲率的另一计算公式 用第一基本量表示的 特别对曲面的正交网 F 0 所以 这再一次证明高斯曲率是内蕴量 20 5 3曲面论的基本定理 基本定理 设 是给定的 两个二次形式 其中是正定的 若和的系数 和对称且满足高斯 科达齐 迈因纳尔迪公式 则除了 别为此曲面的第一和第二基本形式 空间的具体位置外 唯一的存在一个曲面 以和分 21 曲面论的基本定理及其证明解决了以下三个问题 1 曲面的形状由第一 第二基本形式唯一确定 2 给出某一区域上的六个连续的二元函数 满足高斯 高斯 科达齐 迈因纳