高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质课件 湘教版选修21.ppt

2 3 2抛物线的简单几何性质 2 3 2 课堂互动讲练 知能优化训练 课前自主学案 学习目标 1 通过图形理解抛物线的对称性 范围 顶点等简单性质 2 掌握抛物线的四种位置及相应的焦点坐标和准线方程 3 能够运用一元二次方程的根的性质解决直线与抛物线的位置关系等问题 课前自主学案 y2 2px p 0 x2 2py p 0 mf dm l 焦点 点到准线的 距离 四种标准形式的抛物线几何性质的比较 x 0 y 0 x轴 y轴 0 0 1 向右 向上 思考感悟从几何性质上看 抛物线与双曲线有何区别与联系 提示 1 抛物线的几何性质和双曲线几何性质比较起来 差别较大 它的离心率为1 只有一个焦点 一个顶点 一条对称轴 一条准线 它没有对称中心 2 抛物线与双曲线的一支 尽管它们都是不封闭的有开口的光滑曲线 但是它们的图象性质是完全不同的 事实上 从开口的变化规律来看 双曲线的开口是越来越阔 而抛物线开口越来越趋于扁平 课堂互动讲练 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用 但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件 名师点评 本题首先根据两条直线互相垂直的位置关系 求出了抛物线的内接直角三角形两条直角边所在的直线的方程 然后分别与抛物线的方程联立方程组 进一步求出点a b的坐标 最后由斜边长建立关于参数p的方程而求解 自我挑战已知抛物线的焦点f在x轴上 直线l过f且垂直于x轴 l与抛物线交于a b两点 o为坐标原点 若 oab的面积等于4 求此抛物线的标准方程 思路点拨 将直线ab的方程表示出来 再与抛物线的方程联立 消去x后得到关于y的一元二次方程 最后利用根与系数的关系集中条件进行证明 涉及到直线与抛物线位置关系问题 通常联立方程构成方程组 消元得到x 或y 的二次方程 然后利用 或根与系数的关系或弦长公式求解 如图所示 过点p 2 0 且斜率为k的直线l交抛物线y2 2x于m x1 y1 n x2 y2 两点 1 写出直线l的方程 2 求x1x2与y1y2的值 3 求证 om on 方法小结 直线与抛物线的位置关系有三种 1 直线与抛物线没有公共点即相离 2 直线与抛物线有且只有一个公共点 即相切或相交于一点 3 直线与抛物线有两个公共点即相交于两点 以上位置关系 通常运用一元二次方程的根的判别式进行判断 设直线l ax by c 0 a2 b2 0 抛物线y2 2px p 0 由此联立方程组 通常消去x并整理得到形如ay2 by c 0 当a 0时 b2 4ac 其位置关系与根的判别式的关系对应如下 l与c相交 0 方程有两个不等实数根 l与c相切 0 方程有两个相等实数根 l与c相离 0 方程没有实数根 需要注意的是 当a 0时 根的判别式法不再适用 当直线与抛物线的对称轴平行时 直线与抛物线只有一个公共点 此时对应的方程是一元一次方程 所以解题时要结合几何图形 不要漏掉这种情形 1 对抛物线中的定点 定值问题 往往采用设而不求的方法 即方程中含有参数 不论怎样变化 某直线过定点 代数式恒为某常数 2 解决有关抛物线的最值问题 一种思路是合理转化 用几何法求解 另一种思路是代数法 转化为二次函数求最值 如图 已知 aob的一个顶点为抛物线y2 2x的顶点o a b两点都在抛物线上 且 aob 90 证明 直线ab必过一定点 思路点拨 由 aob 90 知oa ob 两直线oa和ob斜率用k统一表示 利用k表示a b两点坐标 名师点评 在直线和抛物线的综合题中 经常遇到求定值 过定点的问题 解决这类问题的方法有很多 例如斜率法 方程法 向量法 参数法等 解决这类问题的关键是代换和转化 有时利用数形结合思想可以达到避繁就简 化难为易 事半功倍的效果 1 抛物线的性质与椭圆 双曲线相比较 差别较大 它的离心率等于1 它只有一个焦点 一个顶点 一条对称轴 一条准线 它不是中心对称图形 因而没有中心 是无心曲线 2 抛物线上一点与焦点f的连线的线段叫作焦半径 设抛物线上任一点a x0 y0 则四种标准方程