连续时间系统的响应问题.doc

连续时间系统的响应问题颜优美 （200808054012）摘要：求系统微分方程的解，实际上就是求系统的全响应y(t)。系统微分方程的劝解分为齐次解和特解，线性系统的全响应y(t)，可分解为零输入响应yzi(t)与零状态响应yzs(t)。根据激励的作用可分为自由响应和强迫，另一方面根据响应的形态课分为瞬态响应和稳态响应。各响应相互独立，也相互具有关系。关键词：解 响应 齐次解 特解 自由响应 强迫响应 零输入响应 零状态响应 暂态响应 稳态响应正文：时域分析里面可以讨论系统微分方程的齐次解，特解，全解，以及线性系统的全响应，零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应，瞬态响应和稳态响应。一 齐次解 特解 全解用微分方程的经典求解法求解：(一)齐次解定义：微分方程y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t) （1）当f(t)=0时，其其次微分方程的解就是齐次解。表1-1特征根齐次解单实根et重实根(Cr-1tr-1+Cr-2tr-2+C1t+C0)et一对共轭复根1，2=+或，其中重共轭复根例子1：求微分方程的齐次解。解：特征方程为 特征根为 ，齐次解为 （二）特解定义：特解的函数形式与激励函数形式有关。将激励函数f(t)代入微分方程式（1）的右端，代入后右端的函数式称为“自由项”。通常，由观察自由项在表1-2中选特解函数式，并代入方程，然后求得特解函数式中的特定系数，即可得特解。表1-2激励分f（t）特解yp(t)tm 所有的特征根均不等于0 有r重等于0的特征根 不等于特征根 等于特征根 等于r重特征根或 所有的特征根均不等于或 其中 例子2：给定微分方程式若已知，求此方程的特解B(t)。 解 将e(t)代入方程右端的自由项为 由表2选函数式为 将此式代入方程得 根据等式两端各相同幂次项的系数应相等的原则，可得 联立解得到 所以特解为 （三）全解 定义：全解=齐次解+特解 例子3：描述某系统的微分方程为 （2_1） 求输入，时的全响应。 解 特征方程为 (2_2) 特征根为 方程的齐次解为 可设方程的特解为 其一，二阶导数分别为 将和f(t)代入式(2_1)得 因上式岁所有的成立，故有 由以上三式可解得P=Q=1，得特解 于是得方程的全解，即系统的全响应为 （2_3） 其一阶导数为 令t=0，并代入初始条件，得 由上式可解得.将它们代入式（2_3），最后得该系统的全解 2 零输入响应 零状态响应 全响应 在对这两个响应进行讨论时，要考虑其初始状态和起始状态。可用冲击匹配法进行求解。冲击匹配法的步骤：（1） 将输入f(t)代入微分方程。如等号右端含有及其各阶导数，根据微分方程等号两端各奇异函数的系数相等的原理，判断方程右端y(t)的最高阶导数所含导数的最高阶次。（2） 令，对于进行积分（从-到t），逐次求得和（3） 将，和代入微分方程，根据方程等号两端个奇异函数的系数相等，从而求得中的个待定系数。 (4) 分别对和等号两端从0-到0+进行积分，一次求得各0+值y(0+)和y(0-)。（一）零输入响应定义：没有外加激励信号的作用，只由起始状态（t=0-）所产生的响应。例子4： 起始状态 ,求系统的零输入响应。解：此系统的特征方程为：其特征根为：，根据表1-1可得 它的导数为 将t=0代入以上二式，并考虑到起始条件，可得 对以上二式联立求解得，于是零输入响应为 （二）零状态响应定义：不考虑起始时刻（t=0-）系统储能的作用，仅由系统的外加激励信号所产生的响应。例子5：描述某系统的微分方程和初始状态为，系统输入，求该系统的零状态响应。解：该系统的零状态响应满足方程 （2）及初始状态 。由于输入，代入式（2）后等号右端将含有冲击函数，故零状态响应在t=0时将产生突变，其0+值不等于0-。为此，首先求得响应的0+值。将f(t)代入式（2）得 （3）按冲击匹配法可求得0+的值的方法，令 （4a）对上式积分（从-到），得 (4b) (4c)式中r0(t),r1(t)和r2(t)均不含及其导数。将式(4)的各式代入式（3），不难求得a=2。对式（4）等号两端积分（从0-到0+），得 又因为，得到 对于t0，式（3）可写为 不难求得其齐次解为 ，其特解yp(t)=-1.于是有 -1将上面求得的两个起始条件代入上式及其导数得 由上式可解得Czs1=2,Czs2=-1.最后，得系统的零状态响应 ，t0（三）全响应定义：全响应=零输入响应+零状态响应例子6：描述某LIT系统的微分方程 （3）已知，求该系统的零输入响应，零状态响应和全响应。解：（1） 零输入响应满足方程其特征根为，故零输入响应为 （3_1）将其初始值代入上式及其导数，得 由上式解得，将它们代入式（3_1），得系统的零输入响应为 （2） 零状态响应是初始状态为0，且时，式（3）的解，即满足方程 （3_2）及初始状态。先求和，由于上式等号右端含有，令 积分得 将代入式（3_2）可求得a=2，将等号两端从0-到0+积分，并考虑到，可求得 解上式，得 ，。对于t0，式（3_2）可写为 不难求得其齐次解为，其特解为常数3，于是有 （3_3）将初始值代入上式及其导数，得 由上式可求得将它们代入式（3_3）,得系统的零状态响应为 （3） 全响应由零输入响应和零状态响应可求得全响应： 三.自由响应 强迫响应 （一）自由响应 定义:LTI系统的数学模型常系数线性微分方程的全解由齐次解和特解组成，其次解的函数形式仅仅依赖于系统本身的特性，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的自由响应。 （二）强迫响应 定义：特解的形式由激励信号确定，称为强迫响应。如例子6：4 瞬态响应 稳态响应 （一）瞬态响应 定义：指激励接入以后，全响应中，随t的增大而逐渐消失，称为瞬态响应。（二）稳态响应 定义：指激励接入以后，全响应中，后一项随t的增大，呈现等幅震荡，称为稳态响应。如例子6： 5 关系 6 参考文献（1） 管致中，夏恭格，孟桥.信号与线性系统.第四版.北京：高等教育出版社，2004（2） 朱钟霖，周宝珀编.信号与线性系统分析.北京