高中数学 （学习导航+题型探究+备选例题+方法感悟） 2.3函数的单调性精品课件 北师大版必修1.ppt

3函数的单调性 学习导航学习目标重点难点重点 函数单调性定义及应用 难点 证明函数的单调性求单调区间和最值 1 函数单调性的定义一般地 对于函数y f x 的定义域内的一个区间a上 如果对于任意两数x1 x2 a 当x1 x2时 都有 就称函数y f x 在区间a上是增加的 f x1 f x2 类似地 在函数y f x 的定义域内的一个区间a上 如果对于任意两数x1 x2 a 当x1 x2时 都有 就称函数y f x 在区间a上是减少的 如果函数y f x 在定义域的某个子集上是增加的或是减少的 那么就称函数y f x 在这个子集上具有单调性 相应的子集叫作 f x1 f x2 单调区间 如果函数y f x 在整个定义域内是增加或减少的 我们分别称这个函数为单调增函数或减函数 统称为单调函数 想一想如果函数y f x 对于任意x1 x2 a x1 x2都有 x1 x2 f x1 f x2 0 能说f x 在a上是增函数吗 提示 f x 在a上是增函数 x1 x2时 f x1 f x2 0 f x1 f x2 符合增函数的定义 做一做1 下列命题正确的是 a 定义在 a b 上的函数f x 如果存在x1 x2 a b 使得x1 x2时 有f x1 f x2 那么f x 在 a b 上为增函数b 定义在 a b 上的函数f x 如果有无穷多对x1 x2 a b 使得x1 x2时 有f x1 f x2 那么f x 在 a b 上为增函数 c 如果f x 在区间i1上为增函数 在区间i2上也为增函数 那么f x 在i1 i2上也一定为增函数d 如果f x 在区间i上为增函数且f x1 f x2 x1 x2 i 那么x1 x2解析 选d a b项中的x1 x2不具有任意性 c项中f x 在i1和i2上均为增函数 但在i1 i2上的单调性无法判定 2 函数f x 在r上是减函数 则有 a f 3 f 5 d f 3 f 5 答案 c3 已知函数y f x 的图像如图所示 则它的单调减区间为 2 最大值一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 1 对于任意的x i 都有f x m 2 存在x0 i 使得f x0 m 那么 我们称m是函数y f x 的最大值 maximumvalue 3 最小值一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 1 对于任意的x i 都有f x m 2 存在x0 i 使得f x0 m 那么 我们称m是函数y f x 的最小值 minimumvalue 做一做4 函数f x x 1在区间 3 6 上的最大值和最小值分别是 a 6 3b 5 2c 9 3d 7 4解析 选b 函数f x x 1在区间 3 6 上是增函数 则当3 x 6时 f 3 f x f 6 即2 f x 5 所以最大值和最小值分别是5 2 题型一函数单调性的判断与证明证明函数f x x3在r上为增函数 名师点睛 有的同学认为直接由x1 x2得x x即可 其实这种证明方法是不正确的 因为我们没有这样的性质作依据 而且这种证明方法正是利用了函数y x3的单调性 而函数y x3的单调性我们还没有证明 不能直接使用 另外 在作差变形的过程中 我们要尽量化成几个最简因式的乘积 要注意写出详细的解题步骤 这是很有必要的 变式训练 题型二已知函数单调性求参数设函数f x 2a 1 x b是r上的减函数 求a的取值范围 解 任取x1 x2 r 且x1 x2 则f x1 f x2 2a 1 x1 b 2a 1 x2 b 2a 1 x1 x2 因为x1 x2 所以x1 x2 0 又函数f x 2a 1 x b是r上的减函数 所以f x1 f x2 0 即 2a 1 x1 x2 0 思维总结 已知函数的单调性求参数取值范围的方法是 视参数为已知数 参照单调性的定义或图像求出f x1 f x2 的符号 结合已知条件建立不等式 然后从中分析参数的取值范围 变式训练 题型三利用单调性求函数最值 规律小结 若函数在闭区间 a b 上是减函数 则f x 在 a b 上的最大值为f a 最小值为f b 若函数在闭区间 a b 上是增函数 则f x 在 a b 上的最大值为f b 最小值为f a 变式训练 题型四利用单调性比较大小或解不等式 本题满分10分 已知f x 是定义在 0 上的减函数 实数a满足f a 1 f 4a 1 求实数a的取值范围 思路点拨 把a 1 4a 1分别看成一个整体 结合减函数的定义 剥掉 符号 f 转化为关于a的不等式 名师微博这是求a的前提 满足定义域 易漏掉 名师点评 本题实质是解不等式组 由于函数f x 的解析式不明确 增加了本题的难度 常用的技巧是借助于函数的单调性 剥掉外衣 即去掉符号 f 转化为解不等式组 变式训练4 设函数f x 满足 对任意的x1 x2 r 且x1 x2 都有 x1 x2 f x1 f x2 0 试比较f 3 f 的大小 解 法一 由题意可知 3 f 3 f 0 又 3 0 所以f 3 f 0 f 3 f 法二 由题意可知x1 x2的大小关系与相应函数值f x1 f x2 的大小关系一致 则函数f x 是定义在r上的增函数 又 3 所以f 3 f 2 设函数f x 是实数集r上的增函数 令f x f x f 2 x 求证f x 在r上是增函数 证明 任取x1 x2 r 且x12 x2 f x 是r上的增函数 f x1 f 2 x2 即f x1 f x2 0 f 2 x2 f 2 x1 0 f x1 f x2 f x1 f 2 x1 f x2 f 2 x2 f x1 f x2 f 2 x2 f 2 x1 0 即f x1 f x2 f x 在r上是增函数 方法技巧1 函数单调性证明的一般步骤为 1 任取所给区间内两个值x1 x2 且x1 x2 2 作差 f x1 f x2 3 变形 4 定号 5 结论 在上述几步中 关键一步是变形 变形的目的是判断符号 2 判断函数单调性的方法有定义法 图像法 复合函数法 两个函数和 差 的单调性的判断 增 增 增 减 减 减 增 减 增 减 增 减 3 单调性定义的等价形式