高考数学 专题辅导与训练 5.1《空间几何体的三视图、表面积及体积》课件 文.ppt

热点考向1空间几何体的三视图 例1 1 2011 山东高考 右图是长和宽分别相等的两个矩形 给出下列三个命题 存在三棱柱 其正 主 视图 俯视图如右图 存在四棱柱 其正 主 视图 俯视图如右图 存在圆柱 其正 主 视图 俯视图如右图 其中真命题的个数是 a 3 b 2 c 1 d 0 2 2011 新课标全国卷 在一个几何体的三视图中 正视图和俯视图如图所示 则相应的侧视图可以为 解题指导 由所给的三视图想象出该几何体的结构特征及直观图是解决此类问题的关键 在解决问题 2 时还要注意实线与虚线在三视图中的意义 规范解答 1 选a 可以是放倒的三棱柱 其中底面为等腰直角三角形 可以是正方体 可以是放倒的圆柱 其中底面圆的直径等于母线长 故 都是真命题 2 选d 由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体 如图所示 且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心 可知侧视图为等腰三角形 且轮廓线为实线 故选d 识与画三视图的关键点 1 要牢记三视图的观察方向和长 宽 高的关系 三视图的正视图 侧视图 俯视图分别是从物体的正前方 正左方 正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形 反映了 一个几何体各个侧面的特点 正视图反映物体的主要形状特征 是三视图中最重要的视图 俯视图要和正视图对正 画在正视图的正下方 侧视图要画在正视图的正右方 高度要与正视图平齐 2 要熟悉各种基本几何体的三视图 要注意识与画三视图时 能看到的轮廓线画成实线 看不到的轮廓线画成虚线 1 将图所示的一个直角三角形abc c 90 绕斜边ab旋转一周 所得到的几何体的正 主 视图是下面四个图形中的 解析 选b 由旋转过程可知 该几何体为底面重合的两个圆锥 且上面圆锥的高度大于下面圆锥的高度 由三视图的画法可知 b选项正确 2 如图 水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2 且侧棱aa1 底面a1b1c1 正 主 视图是边长为2的正方形 则该三棱柱的侧 左 视图的面积为 解析 由题意知该三棱柱的侧 左 视图为矩形 该矩形的长为2 宽为底面正三角形的高 其值为所以其侧 左 视图的面积是 答案 热点考向2几何体的表面积与体积的计算 例2 1 2011 陕西高考 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 a b c 8 2 d 2 2011 黄浦模拟 四棱锥s abcd的底面是矩形 锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点 且四棱锥及其三视图如下 ab平行于主 正 视图投影平面 则四棱锥s abcd的侧面积是 a b 20 c d 解题指导 1 通过几何体的三视图还原几何体 发现该几何体是一个正方体中间挖掉一个圆锥后得到的组合体 然后根据相关公式求解即可 2 通过该几何体的三视图可知该几何体的底面边长和棱锥的高 要求其侧面积 应先求其斜高 规范解答 1 选a 由几何体的三视图可知该几何体为一个组合体 即一个棱长为2的正方体中间挖掉一个底面直径为2 高为2的圆锥 所以它的体积是 2 选c 如图 作so 底面abcd 垂足为o 在平面abcd内作oe ab of bc 垂足分别为e f 连结se sf 由三视图可知 oe 2 of 3 so 2 几何体的表面积及体积问题求解技巧 1 求几何体的表面积及体积问题 可以多角度 多方位地考虑 熟记公式是关键所在 求三棱锥的体积 等体积转化是常用的方法 转换原则是其高易求 底面放在已知几何体的某一面上 2 求不规则几何体的体积 常用分割或补形的思想 将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解 1 如图在棱长为5的正方体abcd a1b1c1d1中 ef是棱ab上的一条线段 且ef 2 q是a1d1的中点 点p是棱c1d1上的动点 则四面体pqef的体积 a 是变量且有最大值 b 是变量且有最小值 c 是变量且有最大值和最小值 d 是常量 解析 选d 因为点q到直线ef的距离为定值 qa 且ef的长度为定值 所以 qef的面积为定值 又因为d1c1 ab 故d1c1 平面qef p点到qef的距离也为定值 综上 四面体pqef的体积为定值 2 设某几何体及其三视图如图所示 单位 m 其中o为ac的中点 则该几何体的体积为 解析 过p点在平面pac内作pe ac交ac于e 由几何体的三视图可知 ce 1 ae 3 ac 4 abc的高为3 由侧 左 视图可知 p点到平面abc的距离为2 答案 4m3 热点考向3多面体与球 例3 1 2011 宁波模拟 若某多面体的三视图 单位 cm 如图所示 则此多面体外接球的表面积是 a 4 cm2 b 3 cm2 c 2 cm2 d cm2 2 2011 邵阳模拟 如图 已知球o是棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1的内切球 则平面acd1截球o的截面面积为 a b c d 解题指导 1 由三视图可知 该多面体的外接球与棱长为1的正方体的外接球是一致的 2 关键是确定截面的形状 规范解答 1 选b 由多面体的三视图可知 该多面体如图所示 为棱长为1的正方体的一部分 故可将该多面体补形为正方体 则球的半径故球的表面积为 2 选c 平面acd1截球o的截面为 acd1的内切圆 正方体的棱长为1 内切圆的半径r 多面体与球接 切问题求解方法 1 涉及球与棱柱 棱锥的切 接问题时 一般过球心及多面体中的特殊点 一般为接 切点 或线作截面 把空间问题转化为平面问题 再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系 或只画内切 外接的几何体的直观图 确定球心的位置 弄清球的半径 直径 与该几何体已知量的关系 列方程 组 求解 2 若球面上四点p a b c构成的三条线段pa pb pc两两互相垂直 且pa a pb b pc c 一般把有关元素 补形 成为一个球内接长方体 则4r2 a2 b2 c2求解 1 已知一个空间几何体的三视图如图所示 其中正 主 视图 侧 左 视图都是由半圆和矩形组成 根据图中标出的尺寸 可得这个几何体的表面积是 a 3 b c 6 d 5 解析 选d 由三视图可知 该几何体是由半球 圆柱 它们的直径都为2 圆柱的高为1 组成的组合体 所以其表面积为故选d 2 如图所示 在等腰梯形abcd中 ab 2dc 2 dab 60 e为ab的中点 将 ade与 bec分别沿ed ec向上折起 使a b重合 则形成的三棱锥的外接球的体积为 解析 由已知条件知 平面图形中ae eb bc cd da de ec 1 折叠后得到一个正四面体 方法一 作af 平面dec 垂足为f f即为 dec的中心 取ec的中点g 连结dg ag 过球心o作oh 平面aec 则垂足h为 aec的中心 外接球半径可利用 oha gfa求得 在 afg和 aho中 根据三角形相似可知 外接球体积为 方法二 如图所示 把正四面体放在正方体中 显然 正四面体的外接球就是正方体的外接球 正四面体的棱长为1 正方体的棱长为 外接球直径 体积为 该三棱锥外接球的体积为答案 转化与化归思想 求空间几何体的体积1 利用转化与化归思想求空间几何体的体积主要包括割补法和等体积法 主要适用于以下类型 1 不规则几何体的体积的求解 2 较复杂几何体的体积的求解 2 求解时应注意以下几个问题 1 补法是指把不规则 不熟悉或复杂的 几何体延伸或补成规则的 熟悉的或简单的 几何体 把不完整的图形补成完整的图形 2 割法是把复杂的 不规则的 几何体切割成简单的 规则的 几何体 3 等积法的前提是几何图形 或几何体 的面积 或体积 通过已知条件转化为易求的面积 体积 问题 典例 2011 广州模拟 一个几何体是由圆柱add1a1和三棱锥e abc组合而成 点a b c在圆o的圆周上 其正 主 视图 侧 左 视图的面积分别为10和12 如图所示 其中ea 平面abc ab ac ab ac ae 2 1 求证 ac bd 2 求三棱锥e bcd的体积 解题指导 1 证明线线垂直可证明线面垂直 即证ac 平面ebd 2 可将三棱锥e bcd分割为e abc和d abc两个三棱锥求解 也可利用等体积转换ve bcd vc ebd求解 规范解答 1 因为ea 平面abc ac 平面abc 所以ea ac 即ed ac 又因为ac ab ab ed a 所以ac 平面ebd 因为bd 平面ebd 所以ac bd 2 因为点a b c在圆o的圆周上 且ab ac 所以bc为圆o的直径 设圆o的半径为r 圆柱高为h 根据正 主 视图 侧