湖南省高中数学 11.7离散型随机变量及其分布列配套课件 理 新人教A版 .ppt

第七节离散型随机变量及其分布列 三年16考高考指数 1 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念 了解分布列对于刻画随机现象的重要性 2 理解超几何分布及其导出过程 并能进行简单的应用 1 离散型随机变量的分布列及其性质是高考的重点 2 古典概型以及互斥事件的概率问题是解决离散型随机变量及其分布列的基础 3 题型以选择题和填空题为主 与期望及方差结合则以解答题为主 1 随机变量有关概念 1 随机变量 随着试验结果 的变量 常用字母x y 表示 2 离散型随机变量 所有取值可以 的随机变量 变化而变化 一一列出 即时应用 1 判断下列事件中的x是否为离散型随机变量 请在括号中填写 是 或 否 某机场候机室中一天游客的数量为x 某人一天收到的短信息的条数x 某水文站观察到一天中长江的水位x 某立交桥一天经过的车辆数为x 2 有一批产品共12件 其中次品3件 每次从中任取一件 在取得合格品之前取出的次品数 的所有可能取值是 解析 1 中的随机变量x可能取的值 可以按一定次序一一列出 因此 它们都是离散型随机变量 中的x可以取某一区间内的一切值 无法按一定次序一一列出 故x不是离散型随机变量 2 可能第一次就取得合格品 也能取完次品后才取得合格品 所以 的所有可能取值为0 1 2 3 答案 1 是 是 否 是 2 0 1 2 3 2 离散型随机变量的分布列的概念及性质 1 概念 若离散型随机变量x可能取的不同值为x1 x2 xi xn x取每一个值xi i 1 2 n 的概率p x xi pi 则表称为离散型随机变量x的 简称为x的分布列 有时也用等式 表示x的分布列 2 性质 x x1 x2 xi xn p p1 p2 pi pn p x xi pi i 1 2 n pi 0 i 1 2 n 概率分布列 即时应用 1 设x是一个离散型随机变量 判断下列各组是否为x的分布列 请在括号中填写 是 或 否 a为实数 p x xi i 2 i n 2 已知随机变量x的分布列为p x k k 1 2 则p 2 x 4 等于 3 设随机变量x的概率分布为p x xi ai 1 2 3 则a 解析 1 符合分布列的性质 中a 0时 不满足分布列的性质 2 p 2 x 4 p x 3 p x 4 3 由分布列的性质 得答案 1 是 是 否 是 2 3 3 常见离散型随机变量的分布列 1 两点分布 若随机变量x服从两点分布 即其分布列为 其中p 称为成功概率 p x 1 x p 0 1 1 p p 2 超几何分布 在含有m件次品的n件产品中 任取n件 其中恰有x件次品 则事件 x k 发生的概率为p x k k 0 1 2 m 其中m 且n n m n n m n n 如果随机变量x的分布列具有下表形式则称随机变量x服从超几何分布 min m n x p 0 1 m 即时应用 1 思考 如果随机变量x的分布列由表给出 它服从两点分布吗 提示 不服从 因为随机变量x的取值不是0和1 2 一盒中有12个乒乓球 其中9个新的 3个旧的 从盒中任取3个球来用 用完后装回盒中 此时盒中旧球个数x是一个随机变量 其分布列为p x 则p x 4 的值为 解析 由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球 故p x 4 答案 离散型随机变量分布列的性质 方法点睛 1 分布列性质的作用 1 利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值 2 随机变量 所取的值分别对应的事件是两两互斥的 利用这一点可以求相关事件的概率 2 随机变量组合的分布列问题 1 随机变量 是关于试验结果的函数 即每一个试验结果对应着一个实数 随机变量 的线性组合 a b a b r 也是随机变量 2 求 a b的分布列可先求出相应随机变量的值 再根据对应的概率写出分布列 提醒 求分布列中参数的值时应保证每个概率值均为非负数 例1 1 2012 长沙模拟 设随机变量x的概率分布列为则p x 3 1 2 已知随机变量 的分布列为求 1 的分布列 解题指南 1 可先由分布列的性质求出m 再找出满足 x 3 1的x的值即可求得 2 根据 1与 的对应关系求出 1的值及相应概率 规范解答 1 m p x 3 1 p x 2 p x 4 答案 2 由于对于不同的 有不同的取值所以有所以 1的分布列为 互动探究 在本例 2 中条件不变 求 2 2的分布列 解析 2 2对于 的不同取值 2 2及 1 1 2分别取相同的值4与1 即 2取4这个值的概率应是 取 2与2值的概率与合并的结果 2取1这个值的概率就是 取 1与1值的概率与合并的结果 故 2的分布列为 反思 感悟 由于 的不同的值 f 会取到相应的值 这时要考虑所有使f 成立的 1 2 i的值 则p p f p 1 p 2 p i 变式备选 设 是一个离散型随机变量 其分布列为 1 求q的值 2 求p 0 解析 1 由分布列的性质得 q 1 2 p 0 p 0 p 1 1 p 1 1 0 5 0 5 离散型随机变量的分布列 方法点睛 1 分布列的表示方法分布列可由三种形式 即表格 等式和图象表示 在分布列的表格表示中 结构为2行n 1列 第1行表示随机变量的取值 第2行是对应的变量的概率 2 求分布列的步骤第一步 明确随机变量的取值范围 第二步 求出每一个随机变量取值的概率 第三步 列成表格 例2 2012 宁波模拟 袋中装着标有数字1 2 3 4 5的小球各2个 从袋中任取3个小球 按3个小球上最大数字的9倍计分 每个小球被取出的可能性都相等 用x表示取出的3个小球上的最大数字 求 1 取出的3个小球上的数字互不相同的概率 2 随机变量x的分布列 3 计分介于20分到40分之间的概率 解题指南 1 可根据古典概型直接求解 也可利用对立事件求解 2 应分清事件所代表的意义 如 x 5表示取出的3个球中至少有一个球标有数字5 而剩下的球 应从标有1 2 3 4的球中任意选 3 分解为几个互斥事件的和来求概率 规范解答 1 方法一 一次取出的3个小球上的数字互不相同 的事件记为a 则p a 方法二 一次取出的3个小球上的数字互不相同 的事件记为a 一次取出的3个小球上有两个数字相同 的事件记为b 则事件a和事件b是对立事件 因为p b 所以p a 1 p b 2 由题意 x所有可能的取值为2 3 4 5 p x 2 p x 3 p x 4 p x 5 所以随机变量x的分布列为 3 一次取球所得计分介于20分到40分之间 记为事件c 则p c p x 3或x 4 p x 3 p x 4 反思 感悟 分布列求解的注意点 1 搞清随机变量每个取值对应的随机事件 2 计算必须准确无误 3 注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确 变式训练 某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查 若生活习惯符合低碳观念的称为 低碳族 否则称为 非低碳族 这两族人数占各自小区总人数的比例如下 1 从a b c三个小区中各选一人 求恰好有2人是低碳族的概率 2 在b小区中随机选择20户 从中抽取的3户中 非低碳族 的数量为x 求随机变量x的分布列 解析 1 3人中恰好有2人是 低碳族 的概率为 2 在b小区中随机选择的20户中 非低碳族 有20 4 户 p x k k 0 1 2 3 p x 0 p x 1 p x 2 p x 3 故x的分布列为 变式备选 甲乙两个奥运会主办城市之间有7条网线并联 这7条网线能通过的信息量分别为1 1 2 2 2 3 3 现从中任选三条网线 设可通过的信息量为x 当可通过的信息量x 6 则可保证信息通畅 1 求线路信息通畅的概率 2 求线路可通过的信息量x的分布列 解析 1 p x 8 p x 7 p x 6 p x 6 p x 6 p x 7 p x 8 所以线路信息通畅的概率为 2 p x 5 p x 4 x的分布列为 超几何分布的概率问题 方法点睛 1 超几何分布的特点 1 超几何分布是不放回抽样问题 2 随机变量为抽到的某类个体的个数 2 超几何分布的应用超几何分布是一个重要分布 其理论基础是古典概型 主要应用于抽查产品 摸不同类别的小球等概率模型 例3 有10件产品 其中3件次品 7件正品 现从中抽取5件 求抽得次品数x的分布列 解题指南 在取出的5件产品中 次品数x服从超几何分布 只要代入公式就可求出相应的概率 关键是明确随机变量的所有取值 规范解答 x的所有可能取值为0 1 2 3 x 0表示取出的5件产品全是正品 p x 0 x 1表示取出的5件产品有1件次品4件正品 p x 1 x 2表示取出的5件产品有2件次品3件正品 p x 2 x 3表示取出的5件产品有3件次品2件正品 p x 3 所以x的分布列为 反思 感悟 1 处理概率分布问题首先应该明确分布类型 若是熟悉的分布问题 可直接运用相关公式或结论求解 2 超几何分布列给出了求解问题的方法 可以通过公式直接运用求解 但不能机械地记忆公式 要在理解的前提下记忆 在超几何分布中 只需知道n m和n就可以根据公式 求出x取不同m值时的概率p x m 从而列出x的分布列 变式训练 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生 4名女生 从中选出4人参加数学竞赛 用x表示其中的男生人数 求x的分布列 解析 依题意 随机变量x服从超几何分布 所以p x k k 0 1 2 3 4 p x 0 p x 1 p x 2 p x 3 p x 4 x的分布列为 满分指导 离散型随机变量分布列主观题的规范解答 典例 12分 2011 江西高考 某饮料公司招聘了一名员工 现对其进行一项测试 以便确定工资级别 公司准备了两种不同的饮料共8杯 其颜色完全相同 并且其中4杯为a饮料 另外4杯为b饮料 公司要求此员工一一品尝后 从8杯饮料中选出4杯a饮料 若4杯都选对 则月工资定为3500元 若4 杯选对3杯 则月工资定为2800元 否则月工资定为2100元 令x表示此人选对a饮料的杯数 假设此人对a和b两种饮料没有鉴别能力 1 求x的分布列 2 求此员工月工资的期望 解题指南 1 根据超几何分布的概率模型 易得x的分布列 2 结合第一问月工资为3500的概率对应x 4的概率 2800对应x 3的概率 2100对应x 2的概率 易得月工资的期望 规范解答 1 x的所有可能取值为 0 1 2 3 4 p x i i 0 1 2 3 4 3分x的分布列为 6分 2 令y表示此员工的月工资 则y的所有可能取值为2100 2800 3500则p y 3500 p x 4 p y 2800 p x 3 p y 2100 p x 2 9分e y 3500 2800 2100 2280 所以此员工月工资的期望为2280元 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 杭州模拟 在15个村庄中有7个村庄交通不方便 现从中任意选10个村庄 用x表示这10个村庄中交通不方便的村庄数 下列概率中等于的是 a p x 2 b p x 2