福建省南平市光泽二中高三数学一轮复习 第二章第一节 函数概念及其表示课件 文 新人教A版.ppt

第一节 函数概念及其表示 一 函数的概念 1 概念 设a b是非空的数集 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合a中的一个数x 在集合b中都有的数f x 和它对应 那么就称f a b为从集合a到集合b的一个函数 记作y f x x a 其中 x叫做自变量 x的取值范围a叫做函数的定义域 与x相对应的y值叫函数值 函数值的集合 f x x a 叫做函数的值域 值域是集合b的 2 函数相等 两个函数的相同 并且完全一致 称这两个函数相等 任意 唯一确定 子集 定义域 对应关系 二 函数的表示法 三 分段函数 有些在其定义域的不同子集上 分别用不同的式子表示对应关系的函数 它是一类较特殊的函数 四 映射 设a b是两个非空的集合 如果按某一确定的对应关系f 使对于集合a中的任意一个元素x 在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应那么就称对应f a b为从集合a到集合b的一个映射 从a到b的映射与从b到a的映射是不同的 即映射具有方向性 1 函数f a b是特殊的映射 特殊在定义域和值域都是非空数集 2 由函数定义知函数图象与x轴的垂线至多有一个公共点 但与y轴垂线的公共点可能没有 也可能有任意个 3 在求分段函数的值f x0 时 一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集 然后再代入相应的关系式 求分段函数的定义域 先选定所有分段的区间 然后取这些区间的并集所得到的集合就是分段函数的定义域 分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集 1 厦门双十中学2011届高三第一次月考 设f a b是集合a到b的映射 则下列命题中是真命题的是 a a中不同元素必在b中有不同的象b b中每个元素在a中必有原象c a中每一个元素在b中必有象d b中每一个元素在a中的原象唯一 解析 由映射定义知 只有选项c正确 答案 c 2 教材改编题 下列方程对应的图形 其中不是函数图象的是 a x y 0b x2 yc x 1 y x 1 0 x 1 d x y 1 解析 易知a b c选项表示的方程 均可化为函数形式 y f x 而d中 由 x y 1 y 1 x 不符合函数概念 答案 d 3 教材改编题 下列函数中 与函数y x x r 相等的是 答案 c 答案 d 解析 当a 1时 log2a 2 解得a 4 当0 a 1时 a 2 即a 2 0 1 舍去 答案 4 6 已知f x 1 x2 则f x 解析 f x 1 x2 x 1 1 2 x 1 2 2 x 1 1 f x x2 2x 1 答案 x2 2x 1 方法技巧 1 求函数的定义域之前 尽量不要对函数的解析式变形 以免引起定义域的变化 2 求已知函数y f x 定义域的常用方法 1 当函数y f x 用列表法给出时 函数的定义域是指表格中x的集合 2 当函数y f x 用图象法给出时 函数的定义域是图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合 3 当函数y f x 用解析法给出时 常有以下几种情况 若f x 是整式 则函数的定义域是实数集 若 f x 是分式 则函数定义域是使分母不等于零的实数集合 若 f x 是二次根式 则函数的定义域是使根号内式子大于或等于零的实数集合 若f x 是由几个部分的数学式子构成的 则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合 若 f x 是由实际问题抽象出来的函数 则函数的定义域应符合实际问题 3 求函数的定义域 实质就是一个列不等式 组 解不等式 组 的过程 求函数的定义域 思路点拨 函数的定义域就是能使函数解析式有意义的实数的集合 故函数的定义域为 x x4 答案 d 求函数的解析式 思路点拨 1 将x 2看作一个整体 根据函数的定义 将2x2 9x 13表示为x 2的函数 或用换元法 令t x 2 2 由已知可设f x ax b a 0 用待定系数法求解 3 根据已知 再构造一个关于f x f 的等式 解 1 法一 拼凑法 f x 2 2x2 9x 13 2 x 2 2 x 2 3 得对应法则为f x 2x2 x 3 即所求解析式为f x 2x2 x 3 法二 换元法 令x 2 t 则x t 2 代入已知条件等式 得f t 2 t 2 2 9 t 2 13 2t2 t 3 所以f x 的解析式为f x 2x2 x 3 2 设f x ax b a 0 则3f x 1 2f x 1 ax 5a b 即ax 5a b 2x 17对 x r成立 变式探究 2 1 已知f x 是一次函数 且f f x 4x 1 求函数f x 的解析式 2 定义在r上的函数f x 满足f 1 cosx sin2x 求f x 解析式 3 函数f x 满足f x 2f x 2x 1 x r 求f x 解析式 解 1 设f x ax b a 0 则f f x a ax b b a2x ab b 由条件得a2x ab b 4x 1 f x 2x 1 或f x 2x 2 f 1 cosx sin2x 1 cos2x 令1 cosx t 则cosx 1 t f t 1 1 t 2 t2 2t 故f x x2 2x 3 以 x代原条件中的x 得f x 2f x 2x 1 将f x 2f x 2x 1代入已知条件 得f x 4f x 4x 2 2x 1 解得f x 2x 方法技巧 求函数解析式的常见类型及求法 1 若已知函数的类型或结构 可用待定系数法 2 若已知f g x 的解析式 求f x 的解析式 用代换 配凑 法 这里需值得注意的是所求解析式的定义域等价性 即f x 的定义域应是g x 的值域 一般地 已知f x 的定义域为d 求f g x 的定义域 只需由g x d 求x即可 若已知f g x 的定义域为d 求f x 的定义域 只需由 x d 求g x 的值域即可 3 已知f x 满足某个等式 这个等式除f x 是未知量外 还出现其他未知量 如f x f 等 要根据已知等式再构造其他等式组成方程组 通过解方程组求出f x 体现方程思想 分段函数 1 设高峰时间段用电量为x千瓦时 应付的电费为f x 元 低谷时间段用电量为y千瓦时 应付的电费为g y 元 试写出f x g y 的解析式 2 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时 低谷时间段用电量为100千瓦时 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费多少元 用数字作答 思路点拨 1 由题中图表知f x g y 分别是关于x y的分段函数 明确了电价的计算方法 它们的解析式不难求出 对于 2 将x 200 y 100分别代入f x g y 再求和即可 解 1 设高峰时间段用电量为x千瓦时 应付的电费为 f x 元 低谷时间段用电最为y千瓦时 应付的电费为g y 元 根据题意 f x g y 2 一个家庭本月应付的电费应为w f x g y 从而高峰时间段200千瓦时的用电电费为 50 0 568 150 0 598 118 1 元 低谷时间段100千瓦时的用电电费为 50 0 288 50 0 318 30 3 元 故该家庭本月应付电费118 1 30 3 148 4 元 变式探究 3 文 甲 乙两地相距150千米 某货车从甲地运送货物到乙地 以每小时50千米的速度行驶 到达乙地后将货物卸下用了1小时 然后以每小时60千米的速度返回甲地 从货车离开甲地起到货车返回甲地为止 设货车离开甲地的时间和距离分别为x小时和y千米 试写出y与x的函数关系式 解 由题意 可知货车从甲地前往乙地用了3小时 而从乙地返回甲地用了2 5小时 1 当货车从甲地前往乙地时 由题意 可知y 50 x 0 x 3 2 当货车卸货时 y 150 3 x 4 3 当货车从乙地返回甲地时 由题意 知y 150 60 x 4 4 x 6 5 所以y 理 某出版公司为一本畅销书定价如下 这里n表示定购书的数量 c n 是定购n本书所付的钱数 单位 元 若一本书的成本价是5元 现有甲 乙两人来买书 每人至少买1本 两人共买60本 问出版公司最少能赚多少钱 最多能赚多少钱 解 设甲买n本书 则乙买 60 n 本 不妨设甲买的书少于或等于乙买的书 当1 n 11时 302 f n 322 当12 n 24时 372 f n 384 当25 n 30时 f n 360 故出版公司最少能赚302元 最多能赚384元 方法技巧 1 解决分段函数问题的基本思路是分段进行 2 对于实际应用题应根据题意确定好分段点 在每一段上分析 求出其解析式 注意分段定义域的开与闭 3 有时分段函数也可用一个解析式表示 例如 可以表示成f x x 1 x r 4 对于分段函数的最值问题 一般是将每一段上的最值分别求出 其中的最大者就是所求函数的最大值 其中的最小者就是所求函数的最小值 例1 判断下列各组中函数f x 与g x 是否相等 解 1 f x x 1 x 1 与g x 的解析式一致 但定义域不同 得x 1 f x 的定义域为 1 由x x 1 0 x 0 或x 1 g x 的定义域为 0 1 f x g x 的定义域不同 知f x 的定义域为 0 由x x 1 0 知g x 的定义域为 1 0 二者定义域不同 f x g x 的定义域 对应关系均相同 故函数f x 与g x 相等 例2 2010年广东五校模拟改编 若函数f x 的定义域为r 求实数a的取值范围 解 函数f x 的定义域为r 对 x r 都有2x2 2ax a 1 0恒成立 即2x2 2ax a 20 也即x2 2ax a 0 恒成立 2a 2 4 a 0成立 解得 1 a 0 故所求实数a的取值范围是 1 0 类型对函数概念理解不深刻易导致失误 例 设集合a x 2 x 3 函数y 的定义域为b 当b a时 求实数k的取值范围 正解 设g x kx2 4x k 3 则集合b x g x 0 1 当k 0时 b x x a 故应舍去 2 当k 0时 注意到g x 的图象开口向上 显然b a 故应舍去 3 当k 0时 由数形结合知 要使b a 则 故实数k的取值范围是 4 分析 本题在求解过程中 很容易认为上述讨论中 对 3 当k0的情况 忽视了 0即k 4 因为此时 b a 应补上 得k的取值范围是 这样讨论似乎无懈可击 完美无误 其实犯了一个概念性的错误 即函数的定义域集合为非空数集 即b 即不应考虑k 0 0 一 选择题 1 文 函数y 的定义域为 a x x 0 b x x 1 c x x 1 0 d x 0 x 1 解析 要使函数有意义 应有 解得x 1或x 0 故选c 理 2009年江西卷 函数y 的定义域为 a 4 1 b 4 1 c 1 1 d 1 1 答案 c a 3b 4c 7d 9 答案 c 答案 d 4 2010年陕西卷 已知函数f x 若f f 0 4a 则实数a等于 a b c 2d 9 解析 f 0 20 1 2 f f 0 f 2 22 2a 4a a 2 故选c 答案 c 5 下列各组函数是相等函数的是 答案 d 二 填空题 6 已知函数f x g x 分别由下表给出 则f g 1 的值为 满足f g x g f x 的x的值是 解析 g 1 3 f g 1 f 3 1x 1时 f g 1 1 g f 1 3 f g 1 g f x x 3时 f g 3 f 1 1 g f 3 g 1 3 f g x g f x 答案 12 7 设函数f x 若f a a 则实数a的取值范围是 解析 当a 0时 f a a 1 则由f a a 得aa 得a 1 综上 所求a的取值范围是 1 答案 1 8 若f x x a 3对任意x r都有f 1 x f 1 x 则f 2 f 2 解析 令x 0 知f 1 f 1 f 1 0 f 1 1 a 3 0 a 1 f x x 1 3 f 2 f 2 26 答案 26 9 函数y f x 的图象如图所示 则f x 的定义域是 值域是 其中只与x的一个值对应的y值的范围是 解析 由图象知 函数y f x 的图象包括两部分 一部分是以点 3 2 和 0 4 为两个端点的一条曲线段 一部分是以 2 1 3 5 为端点的曲线段 故其定义域为 3 0 2 3 值域为 1 5 只与x的一个值对应的y值的取值范围是 1 2 4 5 答案 3 0 2 3 1 5 1 2 4 5 三 解答题 10 文 某人驱车以52千米 时的速度从a地驶往260千米远处的b地 到达b地并停留1 5小时后 再以65千米 时的速度返回a地 试将此人驱车走过的路程s 千米 表示为时间t时的函数 解 5 当06 5时 s 260 t 6 5 65 又返回a地 此时t 6 5 10 5 理 某种商品在30天内每件的销售价格p 元 与时间t 天 的函数关系如图所示 该商品在30天内日销售量q 件 与时间t 天 之间的关系如表所示 1 根据提供的图象 写出该商品每件的销售价格p与时间t的函数关系式 2 在所给直角坐标系中 根据表中提供的数据描出实数对 t q 的对应点 并确定日销售量q与时间t的一个函数关系式 3 求该商品的日销售金额的最大值 并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天 日销售金额 每件的销售价格 日销售量 解 1 根据图象 每件的销售价格p与时间t的函数关系式为p 2 描出实数对 t q 的对应点如图所示 从图象发现点 5 35 15 25 20 20 30 10 在同一条直线上 为此假设它们共线于直线l q kt b 由点 5 35 30 10 确定出l的解析式为q t 40 通过检验可知 点 15 25 20 20 也在直线l上 日销售量q与时间t的一个函数