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1 3导数在研究函数中的应用1 3 1函数的单调性与导数 第一章导数及其应用 学习导航学习目标重点难点重点 利用导数判断函数的单调性及求函数的单调区间 难点 利用导数求函数的单调区间 函数在区间 a b 上的单调性与其导函数的正负有如下关系 递增 递减 想一想在区间 a b 内 若f x 0 则f x 在此区间上单调递增 反之也成立吗 提示 不一定成立 比如y x3在r上为增函数 但其在x 0处的导数等于零 做一做函数y 2x sinx在定义域内是 函数 增 或 减 答案 增 题型一判断 或证明 函数的单调性证明 函数y lnx x在其定义域内为单调递增函数 名师点评 1 利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性 实质上就是判断或证明不等式f x 0 f x 0 在给定区间上恒成立 一般步骤为 求导数f x 判断f x 的符号 给出单调性结论 2 如果出现个别点使f x 0 不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性 互动探究1 把本例中lnx改为ex 其他条件不变 判断函数的单调性 解 f x ex x 显然定义域为r 由f x ex x ex 1 且当x r时 f x 1 0 故函数在其定义域内是单调递增函数 题型二求函数的单调区间求下列函数的单调区间 1 y 2x lnx 2 y x3 x 名师点评 利用导数求函数f x 的单调区间的一般步骤为 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 3 在函数f x 的定义域内解不等式f x 0和f x 0 4 根据 3 的结果确定函数f x 的单调区间 变式训练2 求下列函数的单调区间 1 y x3 2x2 x 2 y ln 2x 3 x2 题型三已知函数单调性求参数范围 本题满分10分 若函数f x ax3 x2 x 5在r上单调递增 求实数a的取值范围 思路点拨由f x 在r上单调递增知 f x 0对x r恒成立 从而转化为一元二次不等式恒成立问题求解 解 因为f x 3ax2 2x 1 由题意可知f x 在r上单调递增 所以f x 0对x r恒成立 名师点评 已知f x 在区间d上单调 求f x 中参数的取值范围的方法为分离参数法 通常将f x 0 或f x 0 的参数分离 转化为求最值问题 从而求出参数的取值范围 特别地 若f x 为二次函数 可以由f x 0 或f x 0 恒成立求出参数的取值范围 变式训练3 已知函数y ax3 bx2 6x 1的单调递增区间为 2 3 求a b的值 方法技巧1 在利用导数来讨论函数的单调区间时 首先要确定函数的定义域 解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 2 利用函数的单调性求参数的取值范围 常转化为不等式恒成立问题 一般地 函数f x 在区间i上单调递增 递减 等价于不等式f x 0 f x 0 在区间i上恒成立 然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围 失误防范如果一个函
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