方程组-向量和矩阵范数误差分析4,.ppt

范数 是对向量和矩阵的一种度量 实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广 数域 数的集合 对加法和乘法封闭 线性空间 可简化为向量的集合 对向量的加法和数量乘法封闭 二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度 高维向量的 长度 能否定义呢 也称为向量空间 向量和矩阵范数 1向量和矩阵范数 NormsofVectorsandMatrices 为了误差的度量 向量范数 vectornorms 常用向量范数 注 例 求下列向量的各种常用范数 解 定义 可以理解为对任何向量范数都成立 矩阵范数 matrixnorms 4 AB A B 相容 consistent 当m n时 常用矩阵范数 Frobenius范数 向量 2的直接推广 对方阵以及有 利用Cauchy不等式可证 算子范数 operatornorm 由向量范数 p导出关于矩阵A Rn n的p范数 则 矩阵ATA的最大特征根 eigenvalue 例 解 类似于向量的2 范数 不过 例 求矩阵A的各种常用范数 解 由于 特征方程为 容易计算 计算较复杂 对矩阵元素的变化比较敏感 不是算子范数 使用最广泛 性质较好 较少使用 但与向量2范数相容 又较易计算 有时用来估计 我们只关心有相容性的范数 算子范数总是相容的 即使A中元素全为实数 其特征根和相应特征向量 eigenvector 仍可能是复数 将上述定义中绝对值换成复数模均成立 若不然 则必存在某个向量范数 v使得对任意A成立 Counterexample 谱半径 spectralradius A 证明 由算子范数的相容性 得到 将任意一个特征根 所对应的特征向量代入 证明 A对称 若 是A的一个特征根 则 2必是A2的特征根 又 对称矩阵的特征根为实数 即 2 A 为非负实数 故得证 对某个A的特征根 成立 所以2 范数亦称为谱范数 证明 若不然 则有非零解 即存在非零向量使得 7 5线性方程组的误差分析 ErrorAnalysisforLinearsystemofEquations 求解时 A和的误差对解有何影响 设A精确 有误差 得到的解为 即 绝对误差放大因子 又 相对误差放大因子 设精确 A有误差 得到的解为 即 Waitaminute Whosaidthat I A 1 A isinvertible 只要 A充分小 使得 大 cond A 取决于A 与解题方法无关 常用条件数有 cond1 A cond A cond2 A 特别地 若A对称 则 条件数的性质 A可逆 则cond A 1 cond A cond A 1 A可逆 R 且 0 则cond A cond A A正交 则cond2 A 1 A可逆 R正交 则cond2 RA cond2 AR cond2 A 解 考察A的特征根 39206 1 测试病态程度 此时精确解为 2 0102 200 cond H2 27 cond H3 748 cond H6 2 9 106 cond Hn asn 注 一般判断矩阵是否病态 并不计算A 1 而由经验得出 行列式很大或很小 如某些行 列近似相关 元素间相差大数量级 且无规则 主元消去过程中出现小主元 特征值相差大数量级 近似解的误差估计及改善 设的近似解为 则一般有 cond A 改善方法 Step1 近似解 Step2 S