方程组-Gauss消去法.ppt

引言 高斯消去法 选主元素的高斯消去法 矩阵的三角分解 解三对角方程组的追赶法 第六章方程组的数值解法 解对称正定方程组的平方根法 解线性方程组的迭代法 病态方程组和迭代改善法 向量和矩阵的范数 第一节引言 实际问题中的线性方程组分类 按系数矩阵中零元素的个数 稠密线性方程组 稀疏线性方程组 按未知量的个数 高阶线性方程组 低阶线性方程组 如1000 80 按系数矩阵的形状 对称正定方程组 三角形方程组 三对角占优方程组 1 消元与回代计算 对线性方程组 对其增广矩阵施行行初等变换 1 Gauss消去法 直接法 定义行乘数 且 定义行乘数 上述过程的求解过程叫做回代过程 定理1 如果A为n阶非奇异矩阵 则可通过Gauss消去法将方程组的系数阵化为三角型系数阵 定理2 如果n阶矩阵A的所有顺序主子式均不为零 则可通过Gauss消去法 将方程组的系数阵化为三角型系数阵 直接法是将原方程组化为一个或若干个三角形方程组的方法 共有若干种 对于线性方程组 系数矩阵 未知量向量 常数项 2 矩阵的三角分解 直接法 根据Cramer 克莱姆 法则 若 若用初等变换法求解 则对其增广矩阵作行初等变换 同解 即 以上求解线性方程组的方法称为Gauss消去法 则 都是三角形方程组 上述方法称为直接三角形分解法 2 Gauss消元过程与系数矩阵的分解 Gauss消去法消元过程的矩阵描述 行变换相当于左乘初等矩阵 由于 令 则 显然若令 故 因此 从而 即 且 顺序主元 定义1 不带行交换的Gauss消去法的消元过程 产生一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U 即该过程称之为 由上述分析不难得到 Gauss消去法可以执行 定理1 在定理中 可能注意到 可能存在 不论是Gauss消去法还是直接三角形分解法 最都归结为解三角形方程组 2 三角形线性方程组的解法 若记 下三角形线性方程组 上三角形线性方程组 其解为 其解为 3 Gauss消去法的运算量 计算机作乘除运算所耗时间要远远多于加减运算 且在一个算法中 加减运算和乘除运算次数大体相当 故在衡量一个算法的运算量时只需统计乘除的运算次数 乘法次数 除法次数 全部回代过程需作乘除法的总次数为 于是Gauss消去法的乘除法运算总的次数为 数级 Gauss消去法乘除法约为2700次 而如果用Cramer法则的乘除法运算次数约为 或 用行列式定义 用行列式性质 例1 用Gauss消去法解线性方程组 用3位十进制浮点数计算 解 本方程组的精度较高的解为 用Gauss消去法求解 用3位十进制浮点数计算 1 Gauss列主元消去法的引入 3选主元素的Gauss消去法 9999 回代后得到 与精确解相比 该结果相当糟糕 究其原因 在求行乘数时用了很小的数0 0001作除数 主元 如果在求解时将1 2行交换 即 0 9999 回代后得到 这是一个相当不错的结果 例2 解线性方程组 用8位十进制尾数的浮点数计算 解 这个方程组和例1一样 若用Gauss消去法计算会有小数作除数的现象 若采用换行的技巧 则可避免 经过回代后可得 事实上 方程组的准确解为 例2所用的方法是在Gauss消去法的基础上 利用换行避免