有限字长滤波器设计.ppt

8 1引言1 引起有限字长的误差源 A D变换的量化误差 用有限精度的数表示系统各系数引起的量化误差 在运算时为限制数位扩展而进行的尾数处理 舍入或截尾 及防止溢出而压缩信号电平所产生的量化误差 溢出振荡产生的误差 固定信号输入时产生的极限环振荡带来的误差 第8章数字系统的有限字长效应 2 与误差有关的因素 系统中数的表示方式原码补码反码 数的处理方式 相加时的上溢舍入相乘时的下溢截尾 滤波器的实现方式 IIR FIR FFT的各种不同实现方式 信号形式 规则信号 随机信号3 分析方法 非线性模型统计分析模型 二进制表数 浮点定点 快速 经济 常用于专用机 8 2二进制数的表示及量化误差1 定点及浮点表数x 2c M 定点表数 c 常数特点 运算方便 实现简单 快速 经济 动态范围小 浮点表数 c随时调整 而且把尾数M的最高位调整为1 称为规格化表示 1特点 动态范围大 但运算复杂 设备量大 速度慢 IEEE754 1985标准定义的单精度浮点格式313023220 8bit 23bit 成组浮点 按运算要求把数分成若干组 例如FFT中 每级作为一组 每组数中最大数的阶码c 作为该组数的共同阶码 用这单一阶码做运算 特点 运算简单 同时有一定的精度 2 补码表数 又称 二的求补 补码定义 其真值为b0 0 x 0b0 1x 0 0 x 1 1 x 0 Xm x Xm b0符号位 bi为0或1 Xm 确定x表数范围 若系统用纯小数运算 则 Xm 1 有限位寄存储器数的表示 寄存储器为B 1位 经量化3 补码相加运算及其特性 补码加法 f x x1 x2 x1 2 x2 2 x1 x2 2 若符号位有进位 则舍弃 1 2 B 其中最小量化间隔 q 2 B 1 补码加法的两个重要特性 f x 是x的周期性函数 周期为2 如果补码运算总和不溢出 则中间结果有溢出 不会影响结果的正确性 表示为 f f f f f x1 x2 xN f x1 x2 xN 相加溢出处理 上溢 overflow 饱和 saturation 处理 环绕 wrap 处理4 补码相乘运算 相乘由于字长加长引起下溢 处理方法 截尾 Truncation 舍入 Round off 5 定点补码表数下溢处理量化误差分析 量化误差定义 e x Q x1 定点表数 截尾处理量化误差 eT x Q x 正数x 0情况 x 0 b1b2 bBbB 1bB 2 bB1若 bB 1 bB 2 bB 3 0 则有 x Q x eT eT min x Q x 0bB 1 bB 2 bB 3 1 则有eT eT max x Q x 0 eT max x Q x 2 B q 0 2 B q eT 0 负数x 0补码情况 x 1 b1b2 bBbB 1bB 2 bB1 若 bB 1 bB 2 bB 3 0 则有 x Q x eT eT min x Q x 0bB 1 bB 2 bB 3 1 则有eT eT max x Q x 0 eT max x Q x 2 B q 0 2 B q eT 0 q 2q q 2q q 2q q 2q 截尾处理量化的非线性关系 eT P eT 1 q 0 q x Q x 2 定点表数 舍入处理量化误差 eR x Q x 正数x 0情况 x 0 b1b2 bBbB 1bB 2 bB1若bB 1 0 bB 2 bB 2 bB1 1 产生最大误差eR x Q x 同样 若bB 1 1 bB 2 bB 2 bB1 0 产生最大误差eR x Q x 舍入量化误差范围 eR 负数x 0补码情况 x 1 b1b2 bBbB 1bB 2 bB1 x Q 同样可以证明 舍入处理量化误差范围 eR x Q x 舍入处理量化的非线性关系 x Q x q 2q q 2q 2q q q 2q eR P eR 0 q q 1 q 6 量化误差的统计分析模型 x n Q x n e n 1 对e n 统计特性的假设2 e n 的统计量表征 平均值 截尾处理 E e n 舍入处理 方差 两者相同 舍入处理的自协方差序列8 3A D变换中的量化误差1 A D变换的物理模型非线性分析模型 统计分析模型 取样器 量化器 xa t xa nT x n 限带信号 取样器 xa t x n x n Q x n e n e n e n 经常被看作量化误差 又被称为量化噪声 它的性质如前面所述 对定点运算e n 具有加性噪声性质 A D统计分析模型经常用来估计A D所需的位数 2 A D变换输出 S N 的计算上式表明 字长每增加一位 提高6dB3 A D量化噪声通过线性系统 h n x n e n x n Q y n Q y n f n 设线性系统具有无限精度 h n x n e n h n f n 均值 mf E f n E me对舍入处理 me 0 mf 0f n 方差 E f n mf 2 E f2 n mf 0 f n 的自相关函数 ff m E f n f n m E8 4数字系统运算量化噪声的直观分析数字系统的量化效应 系数量化效应 造成零 极点位置移动和频响变化 运算过程中的量化效应 相加形成溢出 相乘位数增加 尾数处理形成量化噪声 h n 的自相关函数 1 定点补码运算 舍入处理运算量化噪声的模型 o o y n x n z 1 o o y n x n z 1 o o y n f n x n z 1 Q e n 理想线性系统模型非线性系统模型统计分析模型2 IIR滤波器运算量化噪声举例 o o o o o A B C x n y n 2 z 1 z 1 e1 n e2 n e3 n e4 n e5 n gi n ei n fi n 3 并联系统运算量化噪声概述 并联系统运算量化噪声模型 从系数量化误差角度 由于零点无法控制 因而系数量化后零点变化大 导至滤波器阻带性能变环 4 串联系统运算量化噪声概述 串联系统运算量化噪声和组成系统的二阶子系统本身的零 极点组合及二阶子系统前后组合有关 串联系统运算量化噪声模型 构成二阶子系统本身的零 极点组合以就近搭配为原则 使频响比较平坦 从运算量化噪声角度 把临近单位的高增益子系统 放在最前面 以后按增益逐步递减排列 这样高增益级不会频频放大各噪声分量 从信号角度 为防止溢出把低增益级放在前面 以提高 12阶IIR滤波器的 椭圆 频率响应的幅度 未量化时通带带内频率响应 16位整数定点表示滤波器系数的直接实现幅度响应 16位整数定点表示滤波器系数的2阶并联实现幅度响应 16位整数定点表示滤波器系数的2阶级 串 联实现幅度响应 5 FIR滤波器运算量化噪声 对线性相位FIR滤波器的运算量化噪声 如果用级联形式实现 则希望是每个噪声源到输出端的转移函数的频率特性比较平坦 没有很高的峰值增益 28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度 28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度未量化时通带和组带衰减 通带逼近1的误差 阻带逼近0的误差 28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度16位量化时通带和组带衰减 直接实现 28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度14位量化时通带和组带衰减 直接实现 28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度13位量化时通带和组带衰减 直接实现 28点冲激响应FIR滤波器频率响应的幅度8位量化时通带和组带衰减 直接实现 8 5数字滤波器量化噪声的统计分析 gi n ei n fi n 对每一个噪声源 其到输出的传输函数为gi n 输出方差为 输出 总输出方差 例 直接II型实现 等价结构 直接II型实现的总方差 一种改进的实现方式 增加双倍字长累加器结构 总方差 8 6防止溢出的压缩比例因子1 问题的提出 压缩比例概念例 如图一阶系统 求输出端不溢出 输入信号的动态范围 o o x n y n w n z 1 2 对应不同输入x n 节点变量w n 的动态范围 压缩比例准则对定点表数 节点变量不溢出 1 有界输入情况 压缩比例因子 准则 2 x n cos 0n 为窄带信号 压缩比例因子 3 能量有限信号 利用能量定理和Schwartz不等式 有 压缩比例因子 根据能量有限加的压缩比例因子称为准则 准则过于宽松 在使用时乘以 即其中 与输入信号有关 一般可以取 5 试证明 3 压缩比例因子的加入方式 压缩比例规则 输入一次性加入 H z 1 2 N x n y n max max 1 2 N max 保持H z 不变 缺点 对信号损失过大 导至输出端变坏 每一节点分别加入 而且使H z 保持不变 o o o D z F z G z w n x n y n 进入节点wi n 各支路乘以离开节点wi n 各支路乘以 H z D z F z G z 采用准则 计算方便 而且是最小量化噪声网络实现的依据 1 4 计算举例 图 o o o o