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第一节数列的概念与简单表示法 知识汇合 3 数列与函数的关系从函数的观点看 数列可以看成以n 或它的有限子集 为定义域的函数an f n 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 反过来 对于函数y f x 如果f i i 1 2 3 n 有意义 那么我们可以得到一个数列f 1 f 2 f 3 f n 4 数列的表示法 1 数列的一般形式可以写成 2 数列的表示法分别为 an 解析法 列表法 图象法 s1 sn sn 1 典例分析 点拨根据所给数列的前几项求其通项公式时 需仔细观察分析已知各项 抓住以下几方面的特征 1 分式中分子 分母的特征 2 相邻项的变化特征 3 拆项后的特征 4 各项符号特征等 并对此进行归纳 联想 对于正负符号间隔变化 可用 1 n或 1 n 1来调整 本例中 若a1 1 an 1 2n 1 an 求a5的值 解析 据题意 a2 a1 a3 3a2 an 2n 3 an 1 各式相乘得an 1 3 5 2n 3 a5 105 点拨1 已知数列的递推公式求通项 可把每相邻两项的关系列出来 抓住它们的特点进行适当处理 有时借助拆分或取倒数等方法构造或转化为等差数列或等比数列的通项问题 2 对于形如an 1 an f n 的递推公式求通项公式 只要f n 可求和 便可利用累加的方法 对于形如 g n 的递推公式求通项公式 只要g n 可求积 便可利用累积的方法或迭代的方法 对于形如an 1 aan b a 0且a 1 的递推公式求通项公式时 可用迭代法或构造等比数列法 考点三利用an与sn的关系求通项 例3 已知以下数列 an 的前n项和sn 求 an 的通项公式 1 sn 2n2 3n 2 sn 3n b 点拨由an与sn的关系求an时 要分n 1和n 2两种情况讨论 然后验证两种情况可否用统一的通项公式表示 若不能 则用分段形式表示为 考点四数列与函数的关系及应用 例4 已知数列 an 的前n项和sn n2 24n n n 求当n为何值时 sn达到最大 最大值是多少 点拨1 因为数列可以看作是一类特殊的函数 因而数列也具备一般函数应具备的性质 2 求数列的最大或最小项 一般可以先研究数列的单调性 可以用或也可以转化为函数最值问题或利用数形结合 若将例题中条件sn n2 24n n n 改为sn n2 15n n n 如何求解 高考体验从近两年的高考题来看 sn与an的关系以及数列的递推公式是高考的热点 分值在12分左右 属中等题目 旨在考查学生分析问题 解决问题的能力 在考查基本知识的同时又注重考查等价转化 方程 分类讨论等思想方法 预测2013年高考仍将以递推公式和sn与an的关系为主要考点 重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力 练习巩固 5 已知数列 an 的前n项和sn n2 2n 2 n n 则它的通项公式为 8 已知数
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