浮点数的存储格式.doc

浮点数的存储格式基于IEEE 754的浮点数存储格式IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers，电子电气工程师协会）在I985年制定的IEEE 754（IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic, ANSI/IEEE Std 754-1985 ）二进制浮点运算规范，是浮点运算部件事实上的工业标准。1 浮点数在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表示实数，但是到目前为止使用最广泛的是浮点表示法。相对于定点数而言，浮点数利用指数使小数点的位置可以根据需要而上下浮动，从而可以灵活地表达更大范围的实数。浮点数表示法利用科学计数法来表达实数。通常，将浮点数表示为 d.ddd e，其中d.dd d 称为有效数字（significand），它具有 p 个数字（称p位有效数字精度），为基数（Base），e为指数（Exponent），表示实数的正负1,2。更精确地， d0.dddp1 e， 表示以下数（d0d11 dp1（p1）e，（0di对实数的浮点表示仅作如上的规定是不够的，因为同一实数的浮点表示还不是唯一的。例如，1.0102 ，0.1 103 ，和0.01 104 都可以表示100.0。为了达到表示单一性的目的，有必要对其作进一步的规范。规定有效数字的最高位(即前导有效位)必须非零，即0d0。符合该标准的数称为规格化数（Normalized Numbers），否则称为非规格化数(Denormalized Numbers)。2 IEEE 754浮点数与其浮点格式2.1 实数的IEEE 754表示形式一个实数V在IEEE 754标准中可以用V(1)sM2E 的形式表示3,4，说明如下：(1)符号s(sign)决定实数是正数(s0)还是负数(s1)，对数值0的符号位特殊处理。(2)有效数字M（significand）是二进制小数，M的取值范围在1M2或0M1。(3)指数E（exponent）是2的幂，它的作用是对浮点数加权。2.2 浮点格式浮点格式是一种数据结构，它规定了构成浮点数的各个字段，这些字段的布局，及其算术解释2。IEEE 754浮点数的数据位被划分为3个字段，对以上参数值进行编码：(1)一个单独的符号位s直接编码符号s。(2)k位的偏置指数e（eek1e1e0）编码指数E，移码表示。(3)n位的小数f(fraction)（ffn1f1f0）编码有效数字M，原码表示。2.3 浮点数的分类根据偏置指数e的值，被编码的浮点数可分成三种类型。(1)规格化数当有效数字M在范围1M2中且指数e的位模式ek1e1e0既不全是0也不全是1时，浮点格式所表示的数都属于规格化数。这种情况中小数f（0f1 ) 的二进制表示为0. fn1f1f0。有效数字M1f，即M1. fn1f1f0 (其中小数点左侧的数值位称为前导有效位) 。我们总是能调整指数E，使得有效数字M在范围1M2中，这样有效数字的前导有效位总是1，因此该位不需显示表示出来，只需通过指数隐式给出。需要特别指出的是指数E要加上一个偏置值Bias，转换成无符号的偏置指数e，也就是说指数E要以移码的形式在存放计算机中。且e、E和Bias三者的对应关系为e=EBias，其中Bias=2k11。(2)非规格化数当指数e的位模式ek1e1e0全为零（即e0）时，浮点格式所表示的数是非规格化数。这种情况下，E=1Bais，有效数字M=f=0. fn1f1f0 ，有效数字的前导有效位为0。非规格化数的引入有两个目的。其一是它提供了一种表示数值0的方法，其二是它可用来表示那些非常接近于0.0的数。(3)特殊数当指数e的位模式ek1e1e0全为1时，小数f的位模式fn1f1f0全为0（即f=0）时，该浮点格式所表示的值表示无穷，s=0 时是，s=1时是。当指数e的位模式ek1e1e0全为1时，小数f的位模式fn1f1f0不为0（fn1、f1、f0、至少有一个非零即f0）时，该浮点格式所表示的值被称为NaN（Not a Number）。比如当计算 或时用作返回值，或者用于表示未初始化的数据。3 IEEE 754浮点存储格式与浮点格式对应，浮点存储格式规定了浮点格式在存储器中如何存放。IEEE标准定义了这些浮点存储格式，但具体选择哪种存储格式由实现工具（程序设计语言）决定。汇编语言软件有时取决于所使用的存储格式，但更高级的语言通常仅处理浮点数据类型的语言概念。这些浮点数据类型在不同高级语言中有不同的名字，相应的IEEE格式如表1。表1 IEEE 格式和语言类型IEEE精度C，C+FORTRAN单精度floatREAL or REAL*4双精度doubleDOUBLE PRECISION or REAL*8扩展双精度long doubleREAL*16 仅适用于SPARC和PowerPCIEEE 754标准准确地定义了单精度和双精度浮点格式，并为这两种基本格式的分别定义了扩展格式，表1里扩展双精度格式是IEEE标准定义的扩展双精度类中的一种。下面详细讨论在Intel x86和SPARC平台上使用的三种IEEE浮点存储格式。3.1 单精度格式IEEE单精度浮点格式共32位，包含三个构成字段：23位小数f，8位偏置指数e，1位符号s。将这些字段连续存放在一个32位字里，并对其进行编码。其中0:22位包含23位的小数f； 23:30位包含8位指数e；第31位包含符号s。如图1所示。图1 单精度存储格式一般地，32位字的第0位存放小数f的最低有效位LSB（the least significant bit），第22位存放小数f的最高有效位MSB（the most significant bit）；第23位存放偏置指数的最低有效位LSB，第30位存放偏置指数的最高有效位MSB；最高位，第31位存放符号s。3.2 双精度格式IEEE双精度浮点格式共64位，占2个连续32位字，包含三个构成字段：52位的小数f，11位的偏置指数e，1位的符号位s。将这2个连续的32位字整体作为一个64位的字，进行重新编号。其中0：51位包含52位的小数f；52：62位包含11位的偏置指数e；而最高位，第63位包含符号位s。如图 2所示。图 2 双精度浮点数的存储格式f31:0存放小数f的低32位，其中第0位存放整个小数f的最低有效位LSB，第31位存放小数f的低32位的最高有效位MSB。在另外的32位的字里，第0 到19位，即f51:32，存放小数f的最高的20位，其中第0位存放这20位最高有效数中的最低有效位LSB，第19位存放整个小数f的最高有效位 MSB。第20到30位，即e52：62，存放11位的偏置指数e，其中第20位存放偏置指数的最低有效位LSB，第30位存放最高有效位MSB。最高位，第31位存放符号位s。在Intel x86结构计算机中，数据存放采用小端法（little endian），故较低地址的32位的字中存放小数f的f31：0位。而在在SPARC结构计算机中，因其数据存放采用大端法（big endian），故较高地址的32位字中存放小数f的f31：0位。3.3 扩展双精度格式 扩展双精度格式（SPARC 结构计算机）该4倍精度浮点环境符合IEEE关于扩展双精度格式的定义。该浮点环境的4倍精度浮点格式共128位，占4个连续32位字，包含3个构成字段：112位的小数f，15位的偏置指数e，和1位的符号s。将这4个连续的32位字整体作为一个128位的字，进行重新编号。其中0：110位包含小数 f；112：126位包含偏置指数e；第127位包含符号位s。如图3所示。在SPARC结构计算机中，地址最高的32位字存放小数的32位最低有效位，即f31:0；但是在PowerPC结构计算机中，却是地址最低的32位字存放这些位。紧邻的两个32位字（在SPARC机中向下计算，在PowerPC机中向上计算）分别存放f63:32和f95:64。最后一个字的第0到15位存放小数的最高16位,即f111:96。其中第0位存放该16位的最低有效位，第15位存放整个小数f的最高有效位。第 16到30位存放15位的偏置指数e，其中第16位存放偏置指数的最低有效位，第30位存放它的最高有效位。最高位，第31位存放符号s。图 3 扩展双精度存储格式 (SPARC 结构计算机) 扩展双精度格式（Intel x86结构计算机）该浮点环境双精度扩展格式符合IEEE双精度扩展格式的定义。该浮点环境的扩展双精度格式共80位，占3个连续32位字，包含四个构成字段：63位的小数 f，1位显式前导有效位（explicit leading significand bit）j，15位偏置指数e，和1位符号位s。将这3个连续的32位字整体作为一个96位的字，进行重新编号。其中0：63包含63位的小数f，第63 位包含前导有效位j，64：78位包含15位的偏置指数e，最高位第79位包含符号位s。在Intel结构系计算机中，这些字段依次存放在十个连续的字节中。但是，由于 UNIX System V Application Binary Interface Intel 386 Processor Supplement (Intel ABI) 要求双精度扩展参数，从而占用堆栈中3个相连地址的32位字，其中最高一个字的高16位未被使用，如图4所示。图4 扩展双精度存储格式(Intel x86结构计算机)地址最低的32位字存放小数f的低32位，即f31:0。其中第0位存放整个小数f的最低有效位LSB 第31位存放小数低32位的最高有效位MSB。地址居中的32位字，第0到30位存放小数f的31位最高位，即f62:32。其中第0位存放31位最高小数位的最低有效位LSB，第30位存放整个小数的最高有效位，地址居中的32位字的最高位第31位存放显式的前导有效位j。地址最高32位字里，第0到14位存放15位的偏置指数e，第0位存放偏置指数的最低有效位LSB，第14位存放最高有效位MSB，第15位存放符号位 s。虽然地址最高的32位字的高16位在Intel x86结构系列机种未被使用，但他们对符合Intel ABI的规定来说，是必需的。4 总结 以上讨论了Intel x86、Power PC和SPARC平台上使用的三种IEEE 754浮点数格式及其存储格式，下面对浮点数的相关参数进行总结，具体见表2。表2 IEEE 浮点格式参数总结参数浮点格式单精度双精度扩展双精度（Intel x86）扩展双精度（SPARC）小数f宽度n235263112前导有效位隐含隐含显式隐含有效数字M精度p245364113偏置指数宽度k8111515偏置值Bias12710231638316383符号位宽度1111存储格式宽度326480128浮点数的存储格式IEEE floating point standard上面我们说了，浮点数的小数点是不固定的，如果每个人都按照自己的爱好存储在电脑里，那不就乱套了吗？那么怎么在计算机中存储这种类型的数字呢？象这类古老的问题前人早都为我们做好了相应的规范，无规矩不成方圆吗。我们平时所说的浮点数的存储规范，就是由IEEE指定的，具体的规范文件是：IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point Arithmetic。大家可以很容易的从网络上下载到这篇文档。下面，偶就大致的描述一下，感兴趣的“同志”们可以阅读原文。-声明： 此文为原创，欢迎转载，转载请保留如下信息 作者：afreez 北京-中关村 联系方式： （欢迎与作者交流） 初次发布时间：2006-12-19初次发布在: /ganxingming/不经本人同意，不得用语商业或赢利性质目的，否则，作者有权追究相关责任！-在c语言中，单精度（float）数据类型为32bits，具体的如下图所示：整个32bits分三部分，即 Sign：符号位，1 bit，0为正，1为负； Exponent(bias)：指数部分，8 bits，存储格式为移码存储（后面还会说明），偏移量为127； Mantissa(fraction)：尾数部分。对应的双精度（double）类型的格式为：同样，64位也被分为了三部分，对照单精度，不用我说就可以理解各个部分的含义了吧？是不是有点迷糊了，不要怕，理论这个东西最能忽悠人了，看起来很高深，其实也就是个屁大的事，举个例子就很容易明白了。举例说明，如3.24x103，则对应的部分为，Sign为0，3为指数部分（注意计算机里面存储的不是3，这里仅仅为了说明），3.24为尾数。我们知道，计算机“笨”的要死，只认识0和1，那么到底一个浮点数值在计算机存储介质中是如何存储的呢？例如，我们要想偷窥浮点类型的值4.25在计算机硬盘中存储的庐山真面目，请跟我来：首先把4.25转换成二进制的表达方式，即100.01，在详细点，变成1.0001x22，好了，对号入座把。Sign=0;Exponent(bias)=2+127=129 （偏移量为127，就是直接加上个127了）；Mantissa=1.0001-1.0=0001（规格化后，小数点前总是整数1