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文档简介
浮点数的存储格式基于IEEE 754的浮点数存储格式IEEE(Institute of Electrical and Electronics Engineers,电子电气工程师协会)在I985年制定的IEEE 754(IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic, ANSI/IEEE Std 754-1985 )二进制浮点运算规范,是浮点运算部件事实上的工业标准。1 浮点数在计算机系统的发展过程中,曾经提出过多种方法表示实数,但是到目前为止使用最广泛的是浮点表示法。相对于定点数而言,浮点数利用指数使小数点的位置可以根据需要而上下浮动,从而可以灵活地表达更大范围的实数。浮点数表示法利用科学计数法来表达实数。通常,将浮点数表示为 d.ddd e,其中d.dd d 称为有效数字(significand),它具有 p 个数字(称p位有效数字精度),为基数(Base),e为指数(Exponent),表示实数的正负1,2。更精确地, d0.dddp1 e, 表示以下数(d0d11 dp1(p1)e,(0di对实数的浮点表示仅作如上的规定是不够的,因为同一实数的浮点表示还不是唯一的。例如,1.0102 ,0.1 103 ,和0.01 104 都可以表示100.0。为了达到表示单一性的目的,有必要对其作进一步的规范。规定有效数字的最高位(即前导有效位)必须非零,即0d0。符合该标准的数称为规格化数(Normalized Numbers),否则称为非规格化数(Denormalized Numbers)。2 IEEE 754浮点数与其浮点格式2.1 实数的IEEE 754表示形式一个实数V在IEEE 754标准中可以用V(1)sM2E 的形式表示3,4,说明如下:(1)符号s(sign)决定实数是正数(s0)还是负数(s1),对数值0的符号位特殊处理。(2)有效数字M(significand)是二进制小数,M的取值范围在1M2或0M1。(3)指数E(exponent)是2的幂,它的作用是对浮点数加权。2.2 浮点格式浮点格式是一种数据结构,它规定了构成浮点数的各个字段,这些字段的布局,及其算术解释2。IEEE 754浮点数的数据位被划分为3个字段,对以上参数值进行编码:(1)一个单独的符号位s直接编码符号s。(2)k位的偏置指数e(eek1e1e0)编码指数E,移码表示。(3)n位的小数f(fraction)(ffn1f1f0)编码有效数字M,原码表示。2.3 浮点数的分类根据偏置指数e的值,被编码的浮点数可分成三种类型。(1)规格化数当有效数字M在范围1M2中且指数e的位模式ek1e1e0既不全是0也不全是1时,浮点格式所表示的数都属于规格化数。这种情况中小数f(0f1 ) 的二进制表示为0. fn1f1f0。有效数字M1f,即M1. fn1f1f0 (其中小数点左侧的数值位称为前导有效位) 。我们总是能调整指数E,使得有效数字M在范围1M2中,这样有效数字的前导有效位总是1,因此该位不需显示表示出来,只需通过指数隐式给出。需要特别指出的是指数E要加上一个偏置值Bias,转换成无符号的偏置指数e,也就是说指数E要以移码的形式在存放计算机中。且e、E和Bias三者的对应关系为e=EBias,其中Bias=2k11。(2)非规格化数当指数e的位模式ek1e1e0全为零(即e0)时,浮点格式所表示的数是非规格化数。这种情况下,E=1Bais,有效数字M=f=0. fn1f1f0 ,有效数字的前导有效位为0。非规格化数的引入有两个目的。其一是它提供了一种表示数值0的方法,其二是它可用来表示那些非常接近于0.0的数。(3)特殊数当指数e的位模式ek1e1e0全为1时,小数f的位模式fn1f1f0全为0(即f=0)时,该浮点格式所表示的值表示无穷,s=0 时是,s=1时是。当指数e的位模式ek1e1e0全为1时,小数f的位模式fn1f1f0不为0(fn1、f1、f0、至少有一个非零即f0)时,该浮点格式所表示的值被称为NaN(Not a Number)。比如当计算 或时用作返回值,或者用于表示未初始化的数据。3 IEEE 754浮点存储格式与浮点格式对应,浮点存储格式规定了浮点格式在存储器中如何存放。IEEE标准定义了这些浮点存储格式,但具体选择哪种存储格式由实现工具(程序设计语言)决定。汇编语言软件有时取决于所使用的存储格式,但更高级的语言通常仅处理浮点数据类型的语言概念。这些浮点数据类型在不同高级语言中有不同的名字,相应的IEEE格式如表1。表1 IEEE 格式和语言类型IEEE精度C,C+FORTRAN单精度floatREAL or REAL*4双精度doubleDOUBLE PRECISION or REAL*8扩展双精度long doubleREAL*16 仅适用于SPARC和PowerPCIEEE 754标准准确地定义了单精度和双精度浮点格式,并为这两种基本格式的分别定义了扩展格式,表1里扩展双精度格式是IEEE标准定义的扩展双精度类中的一种。下面详细讨论在Intel x86和SPARC平台上使用的三种IEEE浮点存储格式。3.1 单精度格式IEEE单精度浮点格式共32位,包含三个构成字段:23位小数f,8位偏置指数e,1位符号s。将这些字段连续存放在一个32位字里,并对其进行编码。其中0:22位包含23位的小数f; 23:30位包含8位指数e;第31位包含符号s。如图1所示。图1 单精度存储格式一般地,32位字的第0位存放小数f的最低有效位LSB(the least significant bit),第22位存放小数f的最高有效位MSB(the most significant bit);第23位存放偏置指数的最低有效位LSB,第30位存放偏置指数的最高有效位MSB;最高位,第31位存放符号s。3.2 双精度格式IEEE双精度浮点格式共64位,占2个连续32位字,包含三个构成字段:52位的小数f,11位的偏置指数e,1位的符号位s。将这2个连续的32位字整体作为一个64位的字,进行重新编号。其中0:51位包含52位的小数f;52:62位包含11位的偏置指数e;而最高位,第63位包含符号位s。如图 2所示。图 2 双精度浮点数的存储格式f31:0存放小数f的低32位,其中第0位存放整个小数f的最低有效位LSB,第31位存放小数f的低32位的最高有效位MSB。在另外的32位的字里,第0 到19位,即f51:32,存放小数f的最高的20位,其中第0位存放这20位最高有效数中的最低有效位LSB,第19位存放整个小数f的最高有效位 MSB。第20到30位,即e52:62,存放11位的偏置指数e,其中第20位存放偏置指数的最低有效位LSB,第30位存放最高有效位MSB。最高位,第31位存放符号位s。在Intel x86结构计算机中,数据存放采用小端法(little endian),故较低地址的32位的字中存放小数f的f31:0位。而在在SPARC结构计算机中,因其数据存放采用大端法(big endian),故较高地址的32位字中存放小数f的f31:0位。3.3 扩展双精度格式 扩展双精度格式(SPARC 结构计算机)该4倍精度浮点环境符合IEEE关于扩展双精度格式的定义。该浮点环境的4倍精度浮点格式共128位,占4个连续32位字,包含3个构成字段:112位的小数f,15位的偏置指数e,和1位的符号s。将这4个连续的32位字整体作为一个128位的字,进行重新编号。其中0:110位包含小数 f;112:126位包含偏置指数e;第127位包含符号位s。如图3所示。在SPARC结构计算机中,地址最高的32位字存放小数的32位最低有效位,即f31:0;但是在PowerPC结构计算机中,却是地址最低的32位字存放这些位。紧邻的两个32位字(在SPARC机中向下计算,在PowerPC机中向上计算)分别存放f63:32和f95:64。最后一个字的第0到15位存放小数的最高16位,即f111:96。其中第0位存放该16位的最低有效位,第15位存放整个小数f的最高有效位。第 16到30位存放15位的偏置指数e,其中第16位存放偏置指数的最低有效位,第30位存放它的最高有效位。最高位,第31位存放符号s。图 3 扩展双精度存储格式 (SPARC 结构计算机) 扩展双精度格式(Intel x86结构计算机)该浮点环境双精度扩展格式符合IEEE双精度扩展格式的定义。该浮点环境的扩展双精度格式共80位,占3个连续32位字,包含四个构成字段:63位的小数 f,1位显式前导有效位(explicit leading significand bit)j,15位偏置指数e,和1位符号位s。将这3个连续的32位字整体作为一个96位的字,进行重新编号。其中0:63包含63位的小数f,第63 位包含前导有效位j,64:78位包含15位的偏置指数e,最高位第79位包含符号位s。在Intel结构系计算机中,这些字段依次存放在十个连续的字节中。但是,由于 UNIX System V Application Binary Interface Intel 386 Processor Supplement (Intel ABI) 要求双精度扩展参数,从而占用堆栈中3个相连地址的32位字,其中最高一个字的高16位未被使用,如图4所示。图4 扩展双精度存储格式(Intel x86结构计算机)地址最低的32位字存放小数f的低32位,即f31:0。其中第0位存放整个小数f的最低有效位LSB 第31位存放小数低32位的最高有效位MSB。地址居中的32位字,第0到30位存放小数f的31位最高位,即f62:32。其中第0位存放31位最高小数位的最低有效位LSB,第30位存放整个小数的最高有效位,地址居中的32位字的最高位第31位存放显式的前导有效位j。地址最高32位字里,第0到14位存放15位的偏置指数e,第0位存放偏置指数的最低有效位LSB,第14位存放最高有效位MSB,第15位存放符号位 s。虽然地址最高的32位字的高16位在Intel x86结构系列机种未被使用,但他们对符合Intel ABI的规定来说,是必需的。4 总结 以上讨论了Intel x86、Power PC和SPARC平台上使用的三种IEEE 754浮点数格式及其存储格式,下面对浮点数的相关参数进行总结,具体见表2。表2 IEEE 浮点格式参数总结参数浮点格式单精度双精度扩展双精度(Intel x86)扩展双精度(SPARC)小数f宽度n235263112前导有效位隐含隐含显式隐含有效数字M精度p245364113偏置指数宽度k8111515偏置值Bias12710231638316383符号位宽度1111存储格式宽度326480128浮点数的存储格式IEEE floating point standard上面我们说了,浮点数的小数点是不固定的,如果每个人都按照自己的爱好存储在电脑里,那不就乱套了吗?那么怎么在计算机中存储这种类型的数字呢?象这类古老的问题前人早都为我们做好了相应的规范,无规矩不成方圆吗。我们平时所说的浮点数的存储规范,就是由IEEE指定的,具体的规范文件是:IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point Arithmetic。大家可以很容易的从网络上下载到这篇文档。下面,偶就大致的描述一下,感兴趣的“同志”们可以阅读原文。-声明: 此文为原创,欢迎转载,转载请保留如下信息 作者:afreez 北京-中关村 联系方式: (欢迎与作者交流) 初次发布时间:2006-12-19初次发布在: /ganxingming/不经本人同意,不得用语商业或赢利性质目的,否则,作者有权追究相关责任!-在c语言中,单精度(float)数据类型为32bits,具体的如下图所示:整个32bits分三部分,即 Sign:符号位,1 bit,0为正,1为负; Exponent(bias):指数部分,8 bits,存储格式为移码存储(后面还会说明),偏移量为127; Mantissa(fraction):尾数部分。对应的双精度(double)类型的格式为:同样,64位也被分为了三部分,对照单精度,不用我说就可以理解各个部分的含义了吧?是不是有点迷糊了,不要怕,理论这个东西最能忽悠人了,看起来很高深,其实也就是个屁大的事,举个例子就很容易明白了。举例说明,如3.24x103,则对应的部分为,Sign为0,3为指数部分(注意计算机里面存储的不是3,这里仅仅为了说明),3.24为尾数。我们知道,计算机“笨”的要死,只认识0和1,那么到底一个浮点数值在计算机存储介质中是如何存储的呢?例如,我们要想偷窥浮点类型的值4.25在计算机硬盘中存储的庐山真面目,请跟我来:首先把4.25转换成二进制的表达方式,即100.01,在详细点,变成1.0001x22,好了,对号入座把。Sign=0;Exponent(bias)=2+127=129 (偏移量为127,就是直接加上个127了);Mantissa=1.0001-1.0=0001(规格化后,小数点前总是整数1
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