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文档简介

6图的染色 图的染色问题源于著名的四色问题 所谓四色猜想就是在平面上任何一张地图 总可以用至多四种颜色给每一个国家染色 使得任何相邻国家的颜色是不同的 四色问题可以转化为图论中的问题来讨论 从地图出发构造一个图 让每一个顶点代表地图的一个区域 如果两个区域有一段公共边界线 就在相应的顶点之间连上一条边 则对地图的染色就转化为对图的一个顶点染色 abcdfghxkya1b1c12df31hx31kg22y 6 1顶点染色 定义6 1 1 的一个正常顶点染色是指种颜色1 2 对于的各顶点的一个分配 使得任意两个相邻的顶点分配以不同颜色 图的点染色与独立集分解 若图是有一个顶点染色 令则每一个是独立集 即是图的顶点集合的一个独立集剖分 简称色划分 反之 对图的顶点集的一个独立集剖分我们可以得到图的一个顶点染色 定理6 1 1 1 图是空图当且仅当 2 是至少有一条边的二分图当且仅当 3 若是长为奇数的回路 则 定理6 1 2设这里的取遍的所有点导出子图 则 证明 只需要证明图是可染的 1 由题 取 令 中有顶点 使 令其中 3 根据以上方法 可得一个点序列 且顶点最多与中的个顶点相邻 4 给染 当与不相邻时 给染 否则给染 已染好 给染色 由3可知 在中颜色中总有一颜色可染给 所以是一个染色 故 推论6 1 3对任意图 均有 证明 对于的任意一个点导出子图 总有 由定理6 1 2得此结论 推论6 1 4若是连通图 但不是正则图 则 证明 由定理6 1 2 只需证明对的任何一个点导出子图都有 若 因不是正则图 故 如果是的真子集 由于连通 存在使 则故 定理6 1 5如果连通图不是奇回路 也不是完全图 则 关于点染色 有一个著名的Brooks定理 1941年 下面给出一个求图的色数的方法 定理6 1 6设和是中两不相邻的顶点 则 证明 设 并考虑的染色 假设顶点和染不同的颜色 则的染色也是的染色 因而 此时有现在假设顶点和的染色相同 则的一个染色可得到的一个染色 于是 有由于在的染色中 或者与染有不同的颜色或者染相同的颜色 所以 因是的子图 显然有 设 并记为收缩和所得到的顶点 则在的染色中 把分配给的颜色分配给和 即得的一个染色 于是 因此综合以上结论 有 另一方面 以上定理的结论提供了一个求图的色数的算法 设是有个顶点的简单图关于的算法 1 如果是 则 如果不是 令并按 2 进行 2 选取的不相邻的一对不同顶点 作图和 并按 3 进行 3 令是由 2 得到的某个图 如果是完全图 比如说
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