全国高考数学复习导数在研究函数中的应用第三课时利用导数证明不等式专题习题理.docx

第三课时利用导数证明不等式专题【选题明细表】知识点、方法题号构造函数证明不等式1,2函数零点(方程根)有关不等式3赋值法证明不等式41.已知函数f(x)=ex,g(x)=ax2+bx+c(a0).(1)若f(x)的图象与g(x)的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上,且在该点处两条曲线的切线互相垂直,求b和c的值;(2)若a=c=1,b=0,当x0时,证明:f(x)g(x).(1)解:由已知f(0)=1,f(x)=ex,f(0)=1,g(0)=c,g(x)=2ax+b,g(0)=b,依题意有所以(2)证明:当a=c=1,b=0时,g(x)=x2+1.令h(x)=f(x)-g(x)=ex-x2-1,则h(x)=ex-2x.设k(x)=h(x)=ex-2x,则k(x)=ex-2,当xln 2时,k(x)ln 2时,k(x)0,k(x)在(ln 2,+)上单调递增.所以当x=ln 2时,k(x)取得极小值,且极小值为k(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 40,即k(x)=h(x)=ex-2x0恒成立,故h(x)在R上单调递增,又h(0)=0,因此当x0时,h(x)h(0)=0,即f(x)g(x).2.已知函数f(x)=x2+ln x.(1)求函数f(x)在1,e上的最大值和最小值;(2)求证:当x(1,+)时,函数f(x)的图象在g(x)=x3+x2的下方.(1)解:因为f(x)=x2+ln x,所以f(x)=2x+.因为x1时,f(x)0,所以f(x)在1,e上是增函数,所以f(x)在1,e上的最小值是f(1)=1,最大值是f(e)=1+e2.(2)证明:令F(x)=f(x)-g(x)=x2-x3+ln x,所以F(x)=x-2x2+=.因为x1,所以F(x)0,所以F(x)在(1,+)上是减函数,所以F(x)F(1)=-=-0.所以f(x)-1.证明:因为f(x)=x-2a+=(x0).由x2-2ax+1=0得=4a2-4,当-1a1时,f(x)0,f(x)单调递增无极值点,不符合题意.当a1或a-1时,令f(x)=0则x2-2ax+1=0的两根为x1,x2,因为x1为函数f(x)的极大值点,所以0x10,所以a1,0x11.所以f(x1)=0,所以-2ax1+1=0,则a=.x1ln x1-a=x1ln x1-=-x1+x1ln x1,x1(0,1).令h(x)=-x+xln x,x(0,1).则h(x)=-+ln x,令(x)=-+ln x,则(x)=-3x+=,x(0,1).当0x0,当x1时, (x)0,所以(x)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减.所以(x)()=-ln0,即h(x)h(1)=-1,即x1ln x1-a-1得证.4.导学号 18702128已知函数f(x)=ln(x+1)+.(1)若当x0时,f(x)1恒成立,求a的取值范围;(2)求证:ln(n+1)+(nN*).(1)解:由ln(x+1)+1得a(x+2)-(x+2)ln(x+1).令g(x)=(x+2)1-ln(x+1),则g(x)=1-ln(x+1)-=-ln(x+1)-.当x0时,g(x)0,所以g(x)在(0,+)上单调