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1 高中数学常用公式大全 1 元素与集合的关系元素与集合的关系 U xAxC A U xC AxA 2 德摩根公式 2 德摩根公式 UUUUUU CABC AC B CABC AC B IUUI 3 包含关系 3 包含关系 ABAABB IU UU ABC BC A U AC B I U C ABR U 4 容斥原理 4 容斥原理 card ABcardAcardBcard AB UI card ABCcardAcardBcardCcard AB UUI card ABcard BCcard CAcard ABC IIIII 5 集合 5 集合 12 n a aaL的子集个数共有的子集个数共有2n 个 真子集有 个 真子集有2n 1 个 非空子集有 1 个 非空子集有2n 1 个 非空的真子集 有 1 个 非空的真子集 有2n 2 个 6 二次函数的解析式的三种形式 1 一般式 2 个 6 二次函数的解析式的三种形式 1 一般式 2 0 f xaxbxc a 2 顶点式 2 顶点式 2 0 f xa xhk a 3 零点式 3 零点式 12 0 f xa xxxxa 7 解连不等式解连不等式 Nf xM 常有以下转化形式常有以下转化形式 Nf xM 0f xMf xN 22 MNMN f x 11 f xNMN 8 方程 8 方程0 xf在在 21 kk上有且只有一个实根 与上有且只有一个实根 与0 21 kfkf不等价 前者是后者的一个必要而不是 充分条件 特别地 方程 不等价 前者是后者的一个必要而不是 充分条件 特别地 方程 0 0 2 acbxax有且只有一个实根在有且只有一个实根在 21 kk内 等价于内 等价于0 21 kfkf 或 或 0 1 kf且且 22 21 1 kk a b k 或 或0 2 kf且且 2 21 22 k a bkk 0 时 若 处及区间的两端点处取得 具 体如下 1 当 a 0 时 若 qp a b x 2 则 则 minmaxmax 2 b f xff xf pf q a qp a b x 2 maxmax f xf pf q minmin f xf pf q 2 当a 0时 若 2 当a 0时 若 qp a b x 2 则 则 min min f xf pf q 若 若 qp a b x 2 则 则 max max f xf pf q min min f xf pf q 10 一元二次方程的实根分布 10 一元二次方程的实根分布 2 依据 若依据 若 0f m f n 2 方程 2 方程0 xf在 区间 在 区间 m n内有根的充要条件为内有根的充要条件为 0f m f n 或或 0 0 f n af m 3 方程 3 方程0 xf在区间在区间 n 内有根的充要条件为内有根的充要条件为 0f m 或或 2 40 2 pq p m cbxaxxf恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是 0 0 0 a b c 或或 2 0 40 a bac baxf xx xfxf 0 21 21 在 上是增函数 上是增函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 x f 则 则 xf为增函数 如果为增函数 如果0 4 幂函数 4 幂函数 f xx 1 f xyf x f yf 5 余弦函数 5 余弦函数 cosf xx 正弦函数 正弦函数 sing xx f xyf x f yg x g y 0 0 1 lim1 x g x f x 29 几个函数方程的周期 约定 a 0 1 29 几个函数方程的周期 约定 a 0 1 axfxf 则 则 xf的周期 T a 2 的周期 T a 2 0 axfxf 或 或 0 1 xf xf axf 或 或 1 f x a f x 0 f x 或 或 2 1 0 1 2 f xfxf xaf x 则 则 xf的周期 T 2a 3 的周期 T 2a 3 0 1 1 xf axf xf 则 则 xf的周期 T 3a 4 的周期 T 3a 4 1 21 21 21 xfxf xfxf xxf 且且 1212 1 1 0 2 f af xf xxxa 且 且1n 2 2 1 m n m n a a 0 am nN 且 且1n 31 根式的性质 1 31 根式的性质 1 n n aa 2 当 2 当n为奇数时 为奇数时 nn aa 5 当当n为偶数时 为偶数时 0 0 nn a a aa a a 2 2 0 rsrs aaar sQ 3 3 0 0 rrr aba b abrQ 注 若 a 0 p 是一个无理数 则 a 注 若 a 0 p 是一个无理数 则 a p p表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性质 对于无理数指数 幂都适用 33 指数式与对数式的互化式 表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性质 对于无理数指数 幂都适用 33 指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 34 对数的换底公式 34 对数的换底公式 log log log m a m N N a 0a 且 且1a 0m 且 且1m 0N 推论 推论 loglog m n a a n bb m 0a 且 且1a 0m n 且 且1m 1n 0N 35 对数的四则运算法则 若 a 0 a 1 M 0 N 0 则 1 35 对数的四则运算法则 若 a 0 a 1 M 0 N 0 则 1 log loglog aaa MNMN 2 2 logloglog aaa M MN N 3 3 loglog n aa MnM nR 36 设函数 36 设函数 0 log 2 acbxaxxf m 记 记acb4 2 若 若 xf的定义域为的定义域为R 则 则0 a 且 且0a 且 且0 对于 对于0 a的情形 需要单独检验 37 对数换底不等式及其推广 若 的情形 需要单独检验 37 对数换底不等式及其推广 若0a 0b 0 x 1 x a 则函数 则函数log ax ybx 1 当 1 当ab 时 在时 在 1 0 a 和和 1 a 上上log ax ybx 为增函数 为增函数 2 当 2 当ab 0p 0a 且 且 1a 则 则 1 log log m pm npn 2 2 logloglog 2 aaa mn mn 38 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N 平均增长率为 38 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N 平均增长率为p 则对于时间 则对于时间x的总产值的总产值y 有 有 1 xyNp 39 数列的同项公式与前 n 项的和的关系 39 数列的同项公式与前 n 项的和的关系 1 1 1 2 n nn sn a ssn 数列 数列 n a的前 n 项的和为的前 n 项的和为 12nn saaa L 40 等差数列的通项公式 40 等差数列的通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前 n 项和公式为 其前 n 项和公式为 6 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 41 等比数列的通项公式 41 等比数列的通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前 n 项的和公式为 其前 n 项的和公式为 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 或 或 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 42 等比差数列 42 等比差数列 n a 11 0 nn aqad ab q 的通项公式为 的通项公式为 1 1 1 1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q 其前 n 项和公式为 其前 n 项和公式为 1 1 1 1 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq 43 分期付款分期付款 按揭贷款按揭贷款 每次还款每次还款 1 1 1 n n abb x b 元元 贷款贷款a元元 n次还清次还清 每期利率为每期利率为b 44 常见三角不等式 常见三角不等式 1 若 若 0 2 x 则 则sintanxxx 2 若若 0 2 x 则 则1sincos2xx sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ cos 1 2arccos 22arccos xa axkaka kZ tan arctan 2 xa aRxkka kZ 4 柯西不等式 4 柯西不等式 22222 abcdacbda b c dR 5 5 bababa 72 极值定理 已知 72 极值定理 已知yx 都是正数 则有 1 若积 都是正数 则有 1 若积xy是定值是定值p 则当 则当yx 时和时和yx 有最小值有最小值p2 2 若和 2 若和yx 是定值是定值s 则当 则当yx 时积时积xy有最大值有最大值 2 4 1 s 10 推广 已知推广 已知Ryx 则有 则有xyyxyx2 22 1 若积 1 若积xy是定值 则当是定值 则当 yx 最大时 最大时 yx 最大 当 最大 当 yx 最小时 最小时 yx 最小 2 若和 最小 2 若和 yx 是定值 则当是定值 则当 yx 最大时 最大时 xy最小 当 最小 当 yx 最小时 最小时 xy最大 73 一元二次不等式 最大 73 一元二次不等式 2 0 0 axbxc 如果 如果a与与 2 axbxc 同号 则其 解集在两根之外 如果 同号 则其 解集在两根之外 如果a与与 2 axbxc 异号 则其解集在两根之间 简言之 同号两根之外 异号两根之 间 异号 则其解集在两根之间 简言之 同号两根之外 异号两根之 间 121212 0 xxxxxxxxx 121212 0 xxxxxxxxxx 0 时 有 74 含有绝对值的不等式 当 a 0 时 有 2 2 xaxaaxa 或或xa 2 2 2 0 0 0 0 f x f x f xg xg x g x f xg x 或 3 3 2 0 0 f x f xg xg x f xg x 时 时 f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 2 当 2 当01a 或或0或或0或或0或或0所表示的平面区域上下两部分 所表示的平面区域上下两部分 111222 0AxB yCA xB yC 点点P在圆外 在圆外 dr 点点P在圆上 在圆上 dr 点点P在圆内 89 直线与圆的位置关系 直线 在圆内 89 直线与圆的位置关系 直线0 CByAx与圆与圆 222 rbyax 的位置关系有三种 的位置关系有三种 0相离rd 0 相切rd 0 rrd 条公切线外切3 21 rrd 条公切线相交2 2121 rrdrr 条公切线内切1 21 rrd 无公切线内含 的参数方程是的参数方程是 cos sin xa yb 93 椭圆 93 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 焦半径公式 焦半径公式 2 1 c a xePF 2 2 x c a ePF 94 椭圆的的内外部 1 点 94 椭圆的的内外部 1 点 00 P xy在椭圆在椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的内部的内部 22 00 22 1 xy ab 的外部的外部 22 00 22 1 xy ab 95 椭圆的切线方程 1 椭圆 95 椭圆的切线方程 1 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上一点上一点 00 P xy处的切线方程是处的切线方程是 00 22 1 x xy y ab 2 过椭圆 2 过椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 外一点外一点 00 P xy所引两条切线的切点弦方程是 所引两条切线的切点弦方程是 00 22 1 x xy y ab 3 椭圆 3 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 与直线与直线0AxByC 相切的条件是相切的条件是 22222 A aB bc 96 双曲线 96 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的焦半径公式 的焦半径公式 2 1 a PFe x c 2 2 a PFex c 97 双曲线的内外部 1 点 97 双曲线的内外部 1 点 00 P xy在双曲线在双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的内部的内部 22 00 22 1 xy ab 2 点 2 点 00 P xy在双曲线在双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的外部的外部 22 00 22 1 xy ab 焦点在 x 轴上 焦点在 x 轴上 0 上一点上一点 00 P xy处的切线方程是处的切线方程是 00 22 1 x xy y ab 2 过双曲线 2 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 外一点外一点 00 P xy所引两条切线的切点弦方程是 所引两条切线的切点弦方程是 00 22 1 x xy y ab 3 双曲线 3 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 与直线与直线0AxByC 相切的条件是相切的条件是 22222 A aB bc 100 抛物线 100 抛物线pxy2 2 的焦半径公式 抛物线 的焦半径公式 抛物线 2 2 0 ypx p 焦半径焦半径 0 2 p CFx 过焦点弦长 过焦点弦长pxx p x p xCD 2121 22 101 抛物线 101 抛物线pxy2 2 上的动点可设为 P上的动点可设为 P 2 2 o o y p y 或或或 2 2 2 ptptP P P x y oo 其中 其中 2 2ypx oo 102 二 次 函 数 102 二 次 函 数 2 22 4 24 bacb yaxbxca x aa 0 a 的 图 象 是 抛 物 线 1 顶 点 坐 标 为的 图 象 是 抛 物 线 1 顶 点 坐 标 为 2 4 24 bacb aa 2 焦点的坐标为 2 焦点的坐标为 2 41 24 bacb aa 3 准线方程是 3 准线方程是 2 41 4 acb y a 103 抛物线的内外部 1 点 103 抛物线的内外部 1 点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 ypx p 的内部的内部 2 2 0 ypx p 点 点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 ypx p 的外部的外部 2 2 0 ypx p 2 点 2 点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 ypx p 的内部的内部 2 2 0 ypx p 点 点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 ypx p 的外部的外部 2 2 0 ypx p 3 点 3 点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 xpy p 的内部的内部 2 2 0 xpy p 点 点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 xpy p 的外部的外部 2 2 0 xpy p 4 点 4 点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 xpy p 的内部的内部 2 2 0 xpy p 点 点 00 P xy在抛物线在抛物线 2 2 0 xpy p 的外部的外部 2 2 0 xpy p 104 抛物线的切线方程 1 抛物线 104 抛物线的切线方程 1 抛物线pxy2 2 上一点上一点 00 P xy处的切线方程是处的切线方程是 00 y yp xx 2 过抛物线 2 过抛物线pxy2 2 外一点外一点 00 P xy所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 00 y yp x x 3 抛物线 3 抛物线 2 2 0 ypx p 与直线与直线0AxByC 相切的条件是相切的条件是 2 2pBAC 105 两个常见的曲线系方程 1 过曲线 105 两个常见的曲线系方程 1 过曲线 1 0f x y 2 0fx y 的交点的曲线系方程是 的交点的曲线系方程是 12 0f x yf x y 为参数 2 共焦点的有心圆锥曲线系方程 为参数 2 共焦点的有心圆锥曲线系方程 22 22 1 xy akbk 其中 其中 22 max ka b时 表示椭时 表示椭 15 圆 当圆 当 2222 min max a bka b 为直线为直线AB的倾斜角 的倾斜角 k为直线的斜率 107 圆锥曲线的两类对称问题 1 曲线 为直线的斜率 107 圆锥曲线的两类对称问题 1 曲线 0F x y 关于点关于点 00 P xy成中心对称的曲线是成中心对称的曲线是 00 2 2 0Fx xyy 2 曲线 2 曲线 0F x y 关于直线关于直线0AxByC 成轴对称的曲线是 成轴对称的曲线是 2222 2 2 0 A AxByCB AxByC F xy ABAB 108 四线 一方程 对于一般的二次曲线 108 四线 一方程 对于一般的二次曲线 22 0AxBxyCyDxEyF 用 用 0 x x代代 2 x 用 用 0 y y代代 2 y 用 用 00 2 x yxy 代代xy 用 用 0 2 xx 代代x 用 用 0 2 yy 代代y即得方程 即得方程 0000 00 0 222 x yxyxxyy Ax xBCy yDEF 曲线的切线 切点弦 中点弦 弦中点方程均是 此方程得到 109 证明直线与直线的平行的思考途径 曲线的切线 切点弦 中点弦 弦中点方程均是 此方程得到 109 证明直线与直线的平行的思考途径 1 转化为判定共面二直线无交点 转化为判定共面二直线无交点 2 转化为二直线同与第三条直线平行 转化为二直线同与第三条直线平行 3 转化为线面平行 转化为线面平行 4 转化为线面垂直 转化为线面垂直 5 转化为面面平行 转化为面面平行 110 证明直线与平面的平行的思考途径 证明直线与平面的平行的思考途径 1 转化为直线与平面无公共点 转化为直线与平面无公共点 2 转化为线线平行 转化为线线平行 3 转化为面面平行 转化为面面平行 111 证明平面与平面平行的思考途径 证明平面与平面平行的思考途径 1 转化为判定二平面无公共点 转化为判定二平面无公共点 2 转化为线面平行 转化为线面平行 3 转化为线面垂直 转化为线面垂直 112 证明直线与直线的垂直的思考途径 证明直线与直线的垂直的思考途径 1 转化为相交垂直 转化为相交垂直 2 转化为线面垂直 转化为线面垂直 3 转化为线与另一线的射影垂直 转化为线与另一线的射影垂直 4 转化为线与形成射影的斜线垂直 转化为线与形成射影的斜线垂直 113 证明直线与平面垂直的思考途径 证明直线与平面垂直的思考途径 1 转化为该直线与平面内任一直线垂直 转化为该直线与平面内任一直线垂直 2 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 3 转化为该直线与平面的一条垂线平行 转化为该直线与平面的一条垂线平行 4 转化为该直线垂直于另一个平行平面 转化为该直线垂直于另一个平行平面 5 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 114 证明平面与平面的垂直的思考途径 证明平面与平面的垂直的思考途径 1 转化为判断二面角是直二面角 转化为判断二面角是直二面角 2 转化为线面垂直 转化为线面垂直 115 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 1 加法交换律 a b b a 2 加法结合律 a b c a b c 3 数乘分配律 a b a b 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 1 加法交换律 a b b a 2 加法结合律 a b c a b c 3 数乘分配律 a b a b 16 116 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点 的对角线所表示的向量 116 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点 的对角线所表示的向量 117 共线向量定理共线向量定理 对空间任意两个向量对空间任意两个向量 a b b 0 a b 存在实数 使存在实数 使 a b PAB 三点共线三点共线 APAB APtAB uuu ruuu r 1 OPt OAtOB uuu ruuu ruuu r AB CD AB uuu r CD uuu r 共线且共线且ABCD 不共线不共线 ABtCD uuu ruuu r 且且ABCD 不共线 118 共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a b 共面的 不共线 118 共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a b 共面的 存在实数对存在实数对 x y 使 使paxby 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 存在有序实数对存在有序实数对 x y 使 使MPxMAyMB uuuruuuruuur 或对空间任一定点 O 有序实数对 或对空间任一定点 O 有序实数对 x y 使 使OPOMxMAyMB uuu ruuuu ruuuruuur 119 对空间任一点 119 对空间任一点O和不共线的三点 A B C 满足和不共线的三点 A B C 满足OPxOAyOBzOC uuu ruuu ruuu ruuur xyzk 则当 则当1k 时 对于空间任一点时 对于空间任一点O 总有 P A B C 四点共面 当 总有 P A B C 四点共面 当1k 时 若时 若O 平面 ABC 则 P A B C 四点共面 若 平面 ABC 则 P A B C 四点共面 若O 平面 ABC 则 P A B C 四点不共面 平面 ABC 则 P A B C 四点不共面 C AB D四点共面四点共面 AD uuur 与与AB uuu r AC uuur 共面共面 ADxAByAC uuuruuu ruuur 1 ODxy OAxOByOC uuuruuu ruuu ruuur O 平面 ABC 120 空间向量基本定理 如果三个向量 a b c 不共面 那么对空间任一向量 p 存在一个唯一的有序实数组 x y z 使 p xa yb zc 推论 设 O A B C 是不共面的四点 则对空间任一点 P 都存在唯一的三个有序实数 x y z 使 平面 ABC 120 空间向量基本定理 如果三个向量 a b c 不共面 那么对空间任一向量 p 存在一个唯一的有序实数组 x y z 使 p xa yb zc 推论 设 O A B C 是不共面的四点 则对空间任一点 P 都存在唯一的三个有序实数 x y z 使 OPxOAyOBzOC uuu ruuu ruuu ruuur 121 射影公式 已知向量 121 射影公式 已知向量AB uuu r a a和轴和轴l e 是 e 是l上与上与l同方向的单位向量 作 A 点在同方向的单位向量 作 A 点在l上的射影上的射影 A 作 B 点在 作 B 点在l上的射影上的射影 B 则 则 cosABAB uuu r a a e e a a e 122 向量的直角坐标运算 设 e 122 向量的直角坐标运算 设a a 123 a a a b b 123 b b b则 1 则 1 a a b b 112233 ab ab ab 2 2 a a b b 112233 ab ab ab 3 3 a a 123 aaa R 4 R 4 a a b b 1 1223 3 aba ba b 123 设 A 123 设 A 111 x y z B B 222 xyz 则 则 ABOBOA uuu ruuu ruuu r 212121 xx yy zz 124 空间的线线平行或垂直 124 空间的线线平行或垂直 设设 111 ax y z r 222 bxyz r 则 则 a b rr P 0 ab b rr rr 12 12 12 xx yy zz ab rr 0a b r r 121212 0 x xy yz z 125 夹角公式 设 125 夹角公式 设a a 123 a a a b b 123 b b b 则 cos 则 cos a a b b 1 1223 3 222222 123123 aba ba b aaabbb 推论 推论 2222222 1 1223 3123123 aba ba baaabbb 此即三维柯西不等式 此即三维柯西不等式 17 126 四面体的对棱所成的角 四面体 126 四面体的对棱所成的角 四面体ABCD中 中 AC与与BD所成的角为所成的角为 则 则 2222 cos 2 ABCDBCDA AC BD 127 异面直线所成角 异面直线所成角 cos cos a b r r 12121 2 222222 111222 x xy yz za b abxyzxyz r r rr 其中 其中 090 mn时 无解 当时 无解 当1 mn时 有时 有 n m n n n m C A A 1 1 种排法种排法 4 两组相同元素的排列 两组元素有 两组相同元素的排列 两组元素有 m 个和个和 n 个 各组元素分别相同的排列数为个 各组元素分别相同的排列数为 n nm C 158 分配问题 分配问题 1 平均分组有归属问题平均分组有归属问题 将相异的将相异的m n个物件等分给个物件等分给m个人 各得个人 各得n件 其分配方法数共有件 其分配方法数共有 m n n n n n nmn n nmn n mn n mn CCCCCN 22 L 2 平均分组无归属问题平均分组无归属问题 将相异的将相异的m n个物体等分为无记号或无顺序的个物体等分为无记号或无顺序的m堆 其分配方法数共有堆 其分配方法数共有 m n n n n n nmn n nmn n mn nm mn m CCCCC N 22 3 非平均分组有归属问题非平均分组有归属问题 将相异的将相异的 L 12m P P n n n个物体分给个物体分给m个人 物件必须被分完 分别得 到 个人 物件必须被分完 分别得 到 1 n 2 n m n件 且件 且 1 n 2 n m n这这m个 数 彼 此 不 相 等 则 其 分 配 方 法 数 共 有个 数 彼 此 不 相 等 则 其 分 配 方 法 数 共 有 21 2 1 1 m n n n np n p nnn mp mCCCN m m 4 非完全平均分组有归属问题非完全平均分组有归属问题 将相异的将相异的 L 12m P P n n n个物体分给个物体分给m个人 物件必须被分完 分 别得到 个人 物件必须被分完 分 别得到 1 n 2 n m n件 且件 且 1 n 2 n m n这这m个数中分别有个数中分别有 a b c 个相等 则其分配方法数有 个相等 则其分配方法数有 2 1 1 cba mCCC N m m n n n np n p 12 m p m n nna b c 5 5 非平均分组无归属问题非平均分组无归属问题 将相异的将相异的 L 12m P P n n n个物体分为任意的个物体分为任意的 1 n 2 n m n件无记号 的 件无记号 的m堆 且堆 且 1 n 2 n m n这这m个数彼此不相等 则其分配方法数有个数彼此不相等 则其分配方法数有 21m nnn p N 6 非完全平均分组无归属问题非完全平均分组无归属问题 将相异的将相异的 L 12m P P n n n个物体分为任意的个物体分为任意的 1 n 2 n m n件无件无 21 记号的记号的m堆 且堆 且 1 n 2 n m n这这m个数中分别有个数中分别有 a b c 个相等 则其分配方法数有 个相等 则其分配方法数有 21 cbannn p N m 7 限定分组有归属问题限定分组有归属问题 将相异的将相异的p 2m pn nn L 1 个物体分给甲 乙 丙 等 个物体分给甲 乙 丙 等m个人 物 体必须被分完 如果指定甲得 个人 物 体必须被分完 如果指定甲得 1 n件 乙得件 乙得 2 n件 丙得件 丙得 3 n件 时 则无论件 时 则无论 1 n 2 n m n等等m个数是否全相 异或不全相异其分配方法数恒有 个数是否全相 异或不全相异其分配方法数恒有 21 2 1 1 m n n n np n p nnn p CCCN m m 159 错位问题 及其推广 错位问题 及其推广 贝努利装错笺问题贝努利装错笺问题 信信n封信与封信与n个信封全部错位的组合数为个信封全部错位的组合数为 1111 1 2 3 4 n f nn n L 推广推广 n个元素与个元素与n个位置个位置 其中至少有其中至少有m个元素错位的不同组合总数为个元素错位的不同组合总数为 1234 1 2 3 4 1 1 mmmm ppmm mm f n mnCnCnCnCn CnpCnm LL 1234 1224 1 1 1 pm pm mmmmmm pm nnnnnn CCCCCC n AAAAAA LL 160 不定方程 不定方程 2n x xxm L 1 的解的个数的解的个数 1 方程方程 2n x xxm L 1 n mN 的正整数解有 的正整数解有 1 1 m n C 个个 2 方程方程 2n x xxm L 1 n mN 的非负整数解有 的非负整数解有 1 1 n m n C 个个 3 方程方程 2n x xxm L 1 n mN 满足条件 满足条件 i xk kN 21in 的非负整数解有的非负整数解有 1 1 2 1 m n nk C 个个 4 方程方程 2n x xxm L 1 n mN 满足条件 满足条件 i xk kN 21in 的正整数解有的正整数解有 12222321 2 11121221 1 n mnm n knm nknmnk nnnnnn CCCCCCC L个个 161 二项式定理 161 二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba LL 222110 二项展开式的通项公式 二项展开式的通项公式 rrnr nr baCT 1 210 nr L 162 等可能性事件的概率 162 等可能性事件的概率 m P A n 163 互斥事件 A B 分别发生的概率的和 P A B P A P B 163 互斥事件 A B 分别发生的概率的和 P A B P A P B 164 164 n个互斥事件分别发生的概率的和 P A1 A2 An P A1 P A2 P An 165 独立事件 A B 同时发生的概率 P A B P A P B 166 n 个独立事件同时发生的概率 P A1 A2 An P A1 P A2 P An 167 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 个互斥事件分别发生的概率的和 P A1 A2 An P A1 P A2 P An 165 独立事件 A B 同时发生的概率 P A B P A P B 166 n 个独立事件同时发生的概率 P A1 A2 An P A1 P A2 P An 167 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 1 kkn k nn P kC PP 168 离散型随机变量的分布列的两个性质 1 168 离散型随机变量的分布列的两个性质 1 0 1 2 i Pi L 22 2 2 12 1PP L 169 数学期望 169 数学期望 1 122nn Ex Px Px P LL 170 数学期望的性质 1 170 数学期望的性质 1 E abaEb 2 若 2 若 B n p 则 则Enp 3 3 若 若 服从几何分布 且服从几何分布 且 1 k Pkg k pqp 则 则 1 E p 171 方差 171 方差 222 1122nn DxEpxEpxEp LL 172 标准差 172 标准差 D 173 方差的性质 1 173 方差的性质 1 2 D aba D 2 若 2 若 B n p 则 则 1 Dnpp 3 若 若 服从几何分布 且服从几何分布 且 1 k Pkg k pqp 则 则 2 q D p 174 方差与期望的关系 174 方差与期望的关系 2 2 DEE 175 正态分布密度函数 175 正态分布密度函数 2 2 26 1 2 6 x f xex 式中的实数 式中的实数 0 是参数 分别表示个体的平均数与标 准差 176 标准正态分布密度函数 0 是参数 分别表示个体的平均数与标 准差 176 标准正态分布密度函数 2 2 1 2 6 x f xex 177 对于 177 对于 2 N 取值小于 x 的概率 取值小于 x 的概率 x F x 12201 xxPxxPxxxP 21 F xF x 21 xx 178 回归直线方程 178 回归直线方程 yabx 其中 其中 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx y b xxxnx aybx 179 相关系数 179 相关系数 1 22 11 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 1 2222 11 n ii i nn ii ii xxyy xnxyny 23 r 1 且 r 越接近于 1 相关程度越大 r 越接近于 0 相关程度越小 180 特殊数列的极限 1 r 1 且 r 越接近于 1 相关程度越大 r 越接近于 0 相关程度越小 180 特殊数列的极限 1 0 1 lim11 11 n n q qq qq 不存在 或 2 2 1 10 1 10 0 lim kk kkt tt n ttk kt a nanaa kt bnb nbb kt L L 不存在 3 3 1 1 1 lim 11 n n aq a S qq S无穷等比数列无穷等比数列 1 1 n a q 1q 的和 的和 181 函数的极限定理函数的极限定理 0 lim xx f xa 00 lim lim xxxx f xf xa 182 函数的夹逼性定理函数的夹逼性定理 如果函数如果函数 f x g x h x 在点在点 x0的附近满足 的附近满足 1 g xf xh x 2 00 lim lim xxxx g xah xa 常数 常数 则则 0 lim xx f xa 本定理对于单侧极限和本定理对于单侧极限和 x的情况仍然成立的情况仍然成立 183 几个常用极限几个常用极限 1 1 lim0 n n lim0 n n a 1a x f 右侧 右侧0 x f 则 则 0 xf是极大值 2 如果在 是极大值 2 如果在 0 x附近的左侧附近的左侧0 x f 则 则 0 xf是极小值 197 复数的相等 是极小值 197 复数的相等 abicdiac bd a b c dR 198 复数 198 复数zabi 的模 或绝对值 的模 或绝对值 z abi 22 ab 199 复数的四则运算法则 1 199 复数的四则运算法则 1 abicdiacbd i 2 2 abicdiacbd i 3 3 abi cdiacbdbcad i 4 4 2222 0 acbdbcad abicdii cdi cdcd 200 复数的乘法的运算律 对于任何 200 复数的乘法的运算律 对于任何 123 z zzC 有 交换律 有 交换律 1221 zzzz 结合律 结合律 123123 zzzzzz 分配律 分配律 1231213 zzzzzzz 201 复平面上的两点间的距离公式 201 复平面上的两点间的距离公式 22 122121 dzzxxyy 111 zxy i 222 zxy i 202 向量的垂直 非零复数 202 向量的垂直 非零复数 1 zabi 2 zcdi 对应的向量分别是对应的向量分别是 1 OZ uuuu r 2 OZ uuuu r 则 则 12 OZOZ uuuu ruuuu r 12 zz 的实部为零的实部为零 2 1 z z 为纯虚数为纯虚数 222 1212 zzzz 222 1212 zzzz 1212 zzzz 0acbd 12 ziz 为非零实数 为非零实数 203 实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 203 实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 2 0axbxc 若 若 2 40bac 则 则 2 1 2 4 2 bbac x a 若 若 2 40bac 则 则 12 2 b xx a 若 若 2 40bac 它在实数集 它在实数集R内没有实数根 在复数集内没有实数根 在复数集C内有且仅有两个共轭复数根内有且仅有两个共轭复数根 2 2 4 40 2 bbac i xbac a 26 高中数学知识点总结 高中数学知识点总结 1 对于集合 一定要抓住集合的代表元素 及元素的 确定性 互异性 无序性 对于集合 一定要抓住集合的代表元素 及元素的 确定性 互异性 无序性 如 集合 Ax yxBy yxCx y yxABC lg lg lg 中元素各表示什么 中元素各表示什么 2 进行集合的交 并 补运算时 不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题 注重借助于数轴和文氏图解集合问题 空集是一切集合的子集 是一切非空集合的真子集 空集是一切集合的子集 是一切非空集合的真子集 如 集合 Ax xxBx ax 2 2301 若 则实数 的值构成的集合为BAa 答 10 1 3 3 注意下列性质 注意下列性质 集合 的所有子集的个数是 12 12 aaan n 若 2ABABAABB IU 3 德摩根定律 德摩根定律 CCCCCC UUUUUU ABABABABUIIU 4 你会用补集思想解决问题吗 排除法 间接法 你会用补集思想解决问题吗 排除法 间接法 如 已知关于 的不等式的解集为 若且 求实数x ax xa MMMa 5 035 2 的取值范围 的取值范围 3 35 3 0 5 55 5 0 1 5 3 925 2 2 0 义域是义域是 答 aa 11 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时 注明函数的定义域了吗 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时 注明函数的定义域了吗 如 求fxexf x x 1 令 则txt 10 xt 2 1 f tet t 2 12 1 f xexx x 2 12 10 12 反函数存在的条件是什么 反函数存在的条件是什么 一一对应函数 一一对应函数 求反函数的步骤掌握了吗 求反函数的步骤掌握了吗 反解 反解 x 互换 互换 x y 注明定义域 注明定义域 如 求函数的反函数f x xx xx 01 3 值是 值是 A 0 B 1 C 2 D 3 令f xxax a x a 33 33 0 2 29 则或x a x a 33 由已知在 上为增函数 则 即f x a a 1 3 13 a 的最大值为的最大值为 3 16 函数函数 f x 具有奇偶性的必要 非充分 条件是什么 具有奇偶性的必要 非充分 条件是什么 f x 定义域关于原点对称 定义域关于原点对称 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x 若总成立为偶函数函数图象关于 轴对称fxf xf xy 注意如下结论 注意如下结论 1 在公共定义域内 两个奇函数的乘积是偶函数 两个偶函数的乘积是偶函数 一个偶函数与奇函数的 乘积是奇函数 在公共定义域内 两个奇函数的乘积是偶函数 两个偶函数的乘积是偶函数 一个偶函数与奇函数的 乘积是奇函数 若是奇函数且定义域中有原点 则 2f x f 0 0 如 若 为奇函数 则实数f x aa a x x 22 21 为奇函数 又 f xxRRf 000 即 aa a 22 21 01 0 0 又如 为定义在 上的奇函数 当 时 f xxf x x x 1101 2 41 求在 上的解析式 f x 11 令 则 xxfx x x 1001 2 41 又为奇函数 f xf x x x x x 2 41 2 14 又 ff x x x x x x x x 00 2 41 10 0 2 41 01 17 你熟悉周期函数的定义吗 你熟悉周期函数的定义吗 若存在实数 在定义域内总有 则为周期TTf xTf xf x 0 函数 函数 T 是一个周期 是一个周期 30 如 若 则f xaf x 答 是周期函数 为的一个周期 f xTaf x 2 又如 若图象有两条对称轴 f xxaxb 即 f axf axf bxf bx 则是周期函数 为一个周期f xab 2 如 如 18 你掌握常用的图象变换了吗 你掌握常用的图象变换了吗 f xfxy 与的图象关于轴 对称 f xf xx 与的图象关于轴 对称 f xfx 与的图象关于 原点 对称 f xfxyx 与的图象关于 直线对称 1 f xfaxxa 与的图象关于 直线对称2 f xfaxa 与的图象关于 点 对称 20 将图象 左移个单位 右移个单位 yf x a a a a yf xa yf xa 0 0 上移个单位 下移个单位 b b b b yf xab yf xab 0 0 注意如下 翻折 变换 注意如下 翻折 变换 f xf x f xf x 如 f xx log 2 1 31 作出及的图象yxyx loglog 22 11 y y log2x O 1 x 19 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗 k0 y b O a b O x x a 一次函数 10ykxb k 反比例函数 推广为是中心 200y k x kyb k xa kO ab 的双曲线 的双曲线 二次函数图象为抛物线30 2 4 4 2 2 2 yaxbxc aa x b a acb a 顶点坐标为 对称轴 b a acb a x b a2 4 42 2 开口方向 向上 函数ay acb a 0 4 4 2 min ay acb a 时 两根 为二次函数的图象与 轴 的两个交点 也是二次不等式解集的端点值 axbxc 2 00 y a 0 O k x1 x2 x 一根大于 一根小于kkf k 对数函数 501yx aa a log 由图象记性质 由图象记性质 注意底数的限定 注意底数的限定 y y ax a 1 0 a1 1 O 1 x 0 a 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么 y O x k k 20 你在基本运算上常出现错误吗 你在基本运算上常出现错误吗 指数运算 aaa a a p p 0 10 1 0 33 aaaa a a m n mn m n mn 0 1 0 对数运算 logloglog aaa MNMN MN 00 logloglogloglog aaaa n a M N MNM n M 1 对数恒等式 ax ax log 对数换底公式 log log log loglog a c c a n a b b a b n m b m 21 如何解抽象函数问题 如何解抽象函数问题 赋值法 结构变换法 赋值法 结构变换法 如 满足 证明为奇函数 1xRf xf xyf xf yf x 先令再令 xyfyx 000 满足 证明是偶函数 2xRf xf xyf xf yf x 先令 xytfttf tt ftftf tf t ftf t 证明单调性 3 2212 f xf xxx 22 掌握求函数值域的常用方法了吗 掌握求函数值域的常用方法了吗 二次函数法 配方法 反