最大流问题.doc

网络最大流问题一 产生背景 流量问题在实际中是一种常见的问题，在许多实际的网络系统中都存在着流量和最大流问题。例如铁路运输系统中的车辆流，城市给排水系统的水流问题,控制系统中的信息流问题，常见的人流，物流，水流，气流，电流，现金流等。在一定条件下,求解给定系统的最大流量,就是网络最大流问题.网络系统最大流问题是图与网络理论中十分重要的最优化问题，它对于解决生产实际问题起着十分重要的作用。二 基本概念与定理 设cij为弧（i，j）的容量，fij为弧（i，j）的流量。容量是弧（i，j）单位时间内的最大通过能力，流量是弧（i，j）单位时间内的实际通过量，流量的集合f=fij称为网络的流。发点到收点的总流量记为v=v(f)。 设D=(V,A)是一有向图且对任意E均有容量cij =（vi，vj），记C=cij（vi，vj）A,此外D中只有一个源vs和汇vt( 即D中与vs相关联的弧只能以 vs为起点，与vt相关联的弧只能以 vt为终点)，则称D=(V,A,C, vs,vt)为一网络。 引例1：图1给出了一张网络，其中：vs为源，vt为汇，弧旁的数字为该段弧的容量cij与流量fij，则显然有0fij cij 。 v2 （3,3) v4 （3,3） （5,5） vt (2,2) (2,2) (2,2) vt (6,4) (6,2) v1 (6,6) v3 图1最大流问题可以建立如下形式的线性规划数学模型。图1最大流问题的线性规划数学模型为 由线性规划理论知，满足式上式的约束条件的解fij称为可行解，在最大流问题中称为可行流。可行流满足下列三个条件： 条件（2）和条件（3）也称为流量守恒条件。另外对有多个发点和多个收点的网络,可以另外虚设一个总发点和一个总收点,并将其分别与各发点、收点连起来（图*），就可以转换为只含一个发点和一个收点的网络。 S T S* T* 图*所以一般只研究具有一个发点和一个收点的网络在图D中，从发点到收点的一条路线称为链，从发点到收点的方向规定为链的方向。与链的方向相同的弧称为前向弧，前向弧集合记为u+ ，与链的方向相反的弧称为后向弧，后向弧集合记为u-。设f是一个可行流，如果存在一条从发点vs到收点vt到的链u满足： （1）所有前向弧上fijcij (2)所有后向弧上fij0 ，则称链u为增广链.设则称为图D的一个割集；称 为割集（S，T）的容量。显然对任意可行流f及任意割集（S，T）总有V(f)=C(S,T)。故有某个可行流f*及某一割集（S*，T*）使得V(f*)= C（S*，T*），则f*为D的最大流，（S*，T*）为最小容量割集。定理1 图D上的可行流f*是最大流的充要条件是D上不存在关于f*的增广链。三 求解网络最大流的方法（标号法）标号法是一种图上迭代计算方法，该算法首先给出一个初始可行流，通过标号找出一条增广链，然后调整增广链上的流量，得到更大的流量。再用标号找出一条新的增广链，再调整直到标号过程不能进行下去为止，这时的可行流就是最大流。 标号法步骤如下：第一步 找出一个初始可行流fij(0),例如所有弧的流量fij(0) =0.第二步 对点进行标号找出一条增广链。 （1） 起点标号（） （2）选一个点vi已标号且另一端未标号的弧沿着某条链向收点检查 （a）如果弧是前向弧且有fijcij，则vj标号 （b）如果弧是后向弧且有fij0，则vj标号当收点已得到标号时，说明已找到增广链，依据v的标号反向追踪得到一条增广链。当收点不能得到标号时，说明不存在增广链，计算结束第三步 调整流量 (1) 求增广链上点的vi标号的最小值，得到调整量号 (2) 调整流量得到新的可行流f1，去掉所有标号，返回到第二步从发点重新标号寻找增广链，直到收点不能标号为止。 四 例题应用例2：用标号法求网络最大流（图1），弧旁数字为（cij ，fij(0)）。解 （1） 标号过程。见图2。 （2） 增广链为vs，v1，v2，v3，vt （注意）。 （3）调整量=2调整后得图3。 （4） 二次标号过程。见图3。标号无法进行下去，最大流流量V(f*)=3+6=9，最小割集（S*，T*）, S*=vs, T*= v1，v2，v3，v4，vt。 （-v1,2）v2 （3,3） v4 （5,5） （3,3）vs （2,2） （2,2） （2,2） vt (v3,2)（0，+） （6,4） （6,2） v1 （6,6） v3 （v1,2） （-v2,2) 图2 v2 （3,3） v4 （5,5） （3,3）vs （2,0） （2,0） （2,2） vt （0，+） （6,6） （6,4） v1 （6,6） v3 图3例3：在下面的有向图中1是发点， 6是收点，求最大流. 2 1 4 4 2 1 2 4 2 6 5 6 3 3 5 图解法如下： 2(1,+4) 1 4(2,+1) 4 2 1(0,+inf) 2 4 2 6 (5,4) 5 6 3(5,+5) 3 5(2,+4) 2(5,-3) 1 4(5,+2) (4,4) 2 1(0,inf) 2 (4,4) 2 6(5,2) 5 (6,4) 3(1,+5) 3 5(3,+3) 2(5,-1) 1 4(5,+1) (4,4) 2 1(0,inf) 2 (4,4) 2 6(4,+1) (5,2) (6,6) 3(1,+3) (3,2) 5(3,1) 2 1 4 (4,4) (2,1) 1(0,inf) 2 (4,4) (2,1) 6 (5,3) (6,6) 3(1,2) (3,3) 5 图中红色的是可增广链，可见S=1,3, S=2,4,5,6, 蓝色的三条边(1,2), (3,5)，(2,3)组成的集合是最小割，割集容量为(1,2)和(3,5)两条边的容量之和7，