电磁场与电磁波答案.pdf

习题与解答习题与解答 第二章 静电场 2 2 1 1 已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度 0sinl 0 试求圆心处 的电场强度 解解 建立直角坐标系 令线电荷位于xy平面 且以y轴为对称 如习题图2 1 所示 那么 点电荷d l l 在圆心处产生的电场强度具有两个分量 xE和yE 由 电荷分布以y轴为对称 左右两部分产生的xE分量 相互 抵消 因此 仅需考虑电场强度 的yE分量 即 2 0 d ddsin 4 l y l EE a 考虑到 0 dd sin l la 代入上式求的合 图2 1 成电场强度为 200 0 00 d sin 48 yy E ee aa 2 2 2 2 已知均匀分布的带电圆盘半径为a 面电荷密度 为 s 位于0z 平面 且盘心与原点重合 试求圆 盘轴线上任一点电场强度E 解解 如习题图 2 2 所示 在圆盘上取一半径为r 宽度 为dr的圆环 该圆环具有的电荷量为d2d s qr r 由于对称性 该圆环电荷在z轴上 任一点P产生的电厂强度仅有z分量 所以该圆环电 荷 在P产生的电场强度z分量为 3 2 22 0 d d 2 s z zrr E rz 图22 dl E a y xO y z x 0 r dr P 0 0 z 那么 整个圆盘电荷在P产生的电场强度为 3 2 22220 00 d 22 a ss z zz zr rzz E ee z rzaz 2 2 3 3 三根长度均为L 均匀线电荷密度分别为 123 lll 的线电荷构成等边三角形 设 123 22 lll 计算三角形中心处的电场强度 解 解 如图 2 3 所示 设等边三角形位于yOz平面 其中心点为P 中心点到各边之间的距 离为 1 tan3 30 26 l bl 线电荷密度为 1l 的线段在P点产生的电场1E 因 对称性只有y分量 大小为 111 11 00 0 333 coscos 30150 422243 6 lll yEE bll 同理 线电荷密度为 2l 3l 的线段产生 的电场2 3E E 大小为 21 23 00 33 24 ll EE ll 由图可见 2E与3E叠加后也只有y分量 图 2 3 11 23 00 33 cos60 48 ll yyEE ll 所以正三角形中心点处的电场为 1111 123 0000 3333 2884 llll yyyyEEEE llll 2 2 4 4 有两根长度均为d相互平行的均匀带电直线 分别带等量异号的电荷q 它们相隔距 离为d 试求此带电系统中心处的电场 解 解 如图 2 4 所示 由于对称性 两根线上对称位置的两对线元 在中心O处产生的电场 其x分量相抵消为零 只有y分量 y z x 0 l1 l3 l2 E1 E2 E3 P 下面一根线在O点产生的电场 依据库伦 定律1 2 0 sin d d 4 l y x E R 可得 112 0 coscos 4 l yE r 而12 2 45135 l q drd 所以 1 2 00 2 2 22 2 4 22 y q dq E d d 上面一根线在O点处产生的电场与上式相同 故两根线在O点产生的电场为 图 2 4 2 0 2 y q E d 2 2 5 5 两个无限长的ra 和rb ba 的同轴圆柱表面分别带有面电荷密度1 和2 计算各处的E 欲使rb 处0E 则1 和2 应具有什么关系 解 解 利用高斯定理 求解 1 0ra E 1 2 0 2 2 al arbrlE 则 1 2 0 r a Ea r 12 3 0 22 2 albl rbrlE 则 12 3 0 r ab Ea r 令 12 3 0 0 ab E r 得 1 2 b a 2 2 6 6 已知同轴圆柱电容器的内导体半径为a 外导体的内半径为b 若填充介质的相对介电 常数2 r 试求在外导体尺寸不变的情况下 为了获得最高耐压 内 外导体半径之比 解 解 已知若同轴线单位长度内的电荷量为 1 q 则同轴线内电场强度 1 2 r q E e r 为了使 y x dx dx q q d O R dE2 dE1 1 2 d 同轴线获得最高耐压 应在保持内 外导体之间的电位差U不变的情况下 使同轴线内最 大的电场强度达到最小值 即应使内导体表面ra 处的电场强度达到最小值 因为同轴线 单位长度内的电容为 1 1 1 22 ln ln q Uq C bb U aa 则同轴线内导体表面ra 处电场强度为 ln ln b UU a E a bb b a aa 令b不变 以比值 b a 为变量 对上式求极限 获知当比值 b e a 时 E a取得最小值 即 同轴线获得最高耐压 2 2 7 7 一同心球电容器由半径为a的导体球和与它同心的导体球壳构成 壳的内半径为b 球 与壳间的一半 沿径向分开 充满介电系数为 1 的均匀介质 另一半充满介电系数为 2 的 均匀介质 试求该球形电容器的电容 解 解 在 1 与 2 两种介质的分界面上有 12ttrEEE 由于场分布具有对称性 可利用高斯定律得 2 2 1 2 22r rEqEr r 2 12 2 r q E r 内外导体间的电压为 2 1212 d11 d 2 2 bb r aa q rq UEr ab r 故电容为 12 2 qab C Uba 2 2 8 8 已知内半径为a 外半径为b的均匀介质球壳的介电常数为 若在球心放置一个电荷 量为q的点电荷 试求 各区域中的电场强度 介质壳内 外表面上的束缚电荷 解 解 先求各区域中的电场强度 根据介质中高斯定理 在0ra 区域中 电场强度为 2 004 r Dq E e r 在arb 区域内 电场强度为 2 4 r Dq E e r 在rb 区域内 电场强度为 2 004 r Dq E e r 再求介质壳内外表面上的束缚电荷 由于 0 PE 则介质壳内表面上束缚电荷面密度为 0 0 22 1 44 nr s qq PP ee aa 外表面上束缚电荷面密度为 0 0 22 1 44 nr s qq PP ee bb 2 2 9 9 半径为a的薄导体球壳在其内表面涂覆了一薄层绝缘膜 球内充满总电荷量为Q的电 荷 球壳上又充了电荷量Q 已知内部的电场为 4 r Er a e 设球内介质为真空 试求 球内电荷分布 球壳的外表面电荷分布 球壳的电位 球心的电位 解 解 利用高斯定律的微分形式可求出球内电荷分布 即电荷体密度 43 022 000 4422 116 r rr E r Er rr aarr 由上面已求出的球内电荷分布 可以得到球内总电荷量Q为 36 0022 0 44 0 0 624 d4d4 6 a a V rr QVr ar aa 故得球外表面等效电荷面密度为 2 0 0 22 28 2 44 s Q a aa 球壳电位 2 0 2 000 24 2 422 aa QQ a Edrdra aa a 球心电位 0 4 0 42 00 0 21 d ddd22 2 45 aa aa Q r ErErrraaa aa 2 2 1010 已知同轴电缆内 外导体半径分别为a和b 其间填充两层介质 介质分界面半径为 0 r 内 外导体间加电压为V 求 各层介质中的电场强度E 算出各层介质中的最大场强 欲使两层介质中的最大场强相等 两层介质满足什么条件 解 解 设同轴电缆单位长带电荷 l 根据高斯定理求出 12 12 22 ll EE rr 内 外导体间的电压为 0 0 0 12 120 11 dd lnln 2 rb l ar rb UE rE r ar 故 0 120 2 11 lnln l U rb ar 得 12 00 12 120120 1111 lnln lnln UU EE rrbb rr arar 各层介质最大场强出现在 0 ra rr 处 1max2max 00 102 120120 1111 lnln lnln UU EE rrbb ar arar 由 1max2max EE 得 102 11 ar 故 01 2 r a 2 2 1111 两同轴圆柱之间 0 0 部分填充介质电常数为 的介质 如图 2 11 所示 求单 位长度电容 解 解 根据边界条件 在两种介质的分界面处 有 12tt EEE 设同轴线单位长度带电 l 可以用高斯定理解得 12 0 2 2 l DrDr E rEr 则 0 2 l E r 同轴线内 外导体间电压 0 dln 2 b l a b UE r a 图 2 11 所以单位长度的电容为 0 0 2 ln l C Ub a 2 2 1212 设同轴圆柱电容器的内导体半径为a 外导体半径为b 其内一半填充介电常数为 1 的介质 另一半填充介质的介电常数为 2 如图 2 12 所示 当外加电压为U时 试求 电容器中的电场强度 各边界上的电荷密度 电容及储能 解 解 设内导体的外表面上单位长度的电荷量为q 外导体的内表面上单位长度的电荷量为 q 取内 外导体之间一个同轴的单位长度圆柱面为高斯面 由高斯定理 求得 12 rq DD 已知 112212 DE DE 在两种介质的分 界面上电场强度的切向分量必须连续 即 12EE 求得 12 12 q E EE r 内外导体之间的电势差为 12 dln b a qb UEr a 即单位长度内的电荷量为 图 2 12 12 1 ln qU b a a b 0 0 a b 1 2 故同轴电容器中的电场强度为 ln r U E e b r a 由于电场强度在两种介质的分界面上无法相分量 故此边界上的电荷密度为零 内导体的外表面上的电荷面密度为 12 12 12 ln ln rr SS UU EE ee bb aa aa 外导体的内表面上的电荷面密度为 12 12 12 ln ln rr SS UU EE ee bb bb aa 单位长度的电容为 12 ln q C b U a 电容器中的储能密度为 2 2 12 11 22 ln e U CU b a 2 2 1313 已知平板电容器的极板尺寸为a b 间距为d 两板间插入介质块的介电常数为 如图 2 13 所示 试求 当接上电压U时 插入介质块所受的力 电源断开后 再插入 介质时 介质块的受力 解 解 此时为常电位系统 因此介质块受到的电场力为 d d eW F x 常数 式中 x为沿介质块宽边b的位移 介质块插入后 引起电容量改变 设插入深度x 则电 容器的电容量为 0 00 axa bxa Cbx ddd 电容器的电场能量可表示为 2 2 00 1 22 e aU WCbx U d 那么介质块受到的x方向的电场力 为 d d eW F x 常数 2 0 2 aU d a b d S U 0 时为常电荷系统 因此介质块受到的电场力为 图 2 13 d d eW Fq x 常数 式中 x为沿介质块宽边b的位移 介质块插入后 极板电荷量不变 只有电容量改变 此 时电容器的电场能量可表示为 22 00 11 22 e dqq W Cabx 因此介质块受到的x方向的电场力为 d d eW Fq x 常数 2 22 00 2 00 2 ab U d bx 2 2 1414 计算在电场 xy Eyx aa 中把带电量为2 C 的电荷从 2 1 1 移到 8 2 1 时电 场所做的功 沿曲线 2 2xy 沿连接该两点的直线 解 解 ddWFlq El 曲线的方程为 2 2xy 将y作为参数 则d4 dxy y 2 2 1 2 3 2 2 1 1 ddd 4 d2d 6d614 3 Wq Elq y xx y qyy yyy y qyyqq 把2qC 代入 得2 1428 WJ 在1z 平面上 点 2 1 和点 8 2 的直线方程为 11 11 yyyy xxxx 即640 xy 64 6xydxdy 2 1 2 2 2 2 1 1 1 6 ddd d 64 d 12 12 d4d 4 2 184 1414 228 Wq Elq y xx y qyyyy y qy yyqy qqJ 2 2 1515 把一电量为q 半径为a的导体球切成两半 求两半球之间的电场力 解 解 导体球储存在空气中的静电能量为 2 22 0 2 00 11 d 4d 2248 e a qq WE Drr ra 根据虚位移法 求均匀带电球壳在单位面积上受到的静电斥力 设想在静电力作用下 球面 稍膨胀 22 2 2 0 2 0 1 44 11 482 e F fW aaa q E aaa 方向为法向方向n 即 sincossin sincos xyz naaa 取力的z分量对上半球壳表面的积分为 2 2 0 00 1 cos d 2 zz Fa FaES 把 2 2 0 sin d d 4 q En dSa a 代入 得 2 2 2 2 24 00 0 2 2 22 0 0 22 2 22 000 cossin d d 32 sin2 2d 322 cos2 32232 z z zz q Fa Fa a q a a qq aa aa 4 1 每立方米铜中大约有 8 5 1028个自由电子 若铜线截面积为 10cm2 通过电流 1500A 求 a 电 子平均漂移速度 b 电流密度 解 a 电子飘移速度 4 4 2819 1500 10 10 1 1 10 8 5 101 6 10 JI S vm s Ne b 电流密度 462 1500 10 10 1 5 10 JI SA m 4 2 在电场作用下 真空中电子运动的平均速度是 3 105m s 若电流密度为 10A cm2 求电子运动方 向假想垂直单位面积上的电子数 解 451 91 8 1010 310 1 6102 0810NJv e 4 3 一宽度为 30cm 的传输带上电荷均匀分布 以速度 20m s 匀速运动 形成的电流所对应的电流强度 为 50 A 计算传输带上的面电荷密度 解 62 62 50 10 30 10 8 33 10 20 S S JI L C m vv 4 4 略 4 5 孤立导体内有多余电荷 已知经电荷包围面流出的电流 Aei t50 2 0 求 a 驰豫时间 b 初 始电荷 c 在 t 2 时间内 通过包围面的总电荷 d 电流衰减到初始值 10 所需要的时间 解 a 1 500 02s b t 时间内穿过导体表面的电荷量为 5050 0 0 20 004 1 t tt QedteC 则初始电荷为 0 0 004QC c t 2 0 04s 时 穿过包围面的总电荷为 2 0 00346QC d 解方程 50 0 1 t e 得所需时间0 0461ts 4 6 设同轴电缆内导体半径为 a 外导体的内半径为 b 填充介质的电导率为 根据恒定电流场方程 计算单位长度内同轴线的漏电导 解 设 r a 时 U r b 时 0 建立圆柱坐标系 则电位应满足的拉普拉斯方程为 2 1 0 dd r r drdr 求得同轴线中的电位 及电场强度 E 分别为 lnln ra U bb 1 ln r U ar b Ee 则 1 ln r U ar b J E e 单位长度内通过内半径的圆柱面流进同轴线的电流为 2 ln S U Id a b JS 那么 单位长度内同轴线的漏电导为 2 ln I G aU b 4 7 设双导线的半径为 a 轴线间距为 D 导线间的媒质电导率为 根据恒定电流场方程 计算单位 长度内双导线之间的漏电导 解 设双导线的两根导线上线电荷密度分别为 和 利用叠加原理和高斯定律可求得两导线之间垂 直连线上任一点的电场强度大小为 11 2 E rDr 那么两导线之间的电位差为 ln D a a Da Ud a Er 单位长度内两导线之间的电流大小为 SS D Idd Da JSES 则单位长度内两导线之间的漏电导为 ln ID GS m Da U Da a 若 D a 则单位长度内双导线之间的漏电导为 ln GS m D a 4 8 已知环形导体尺寸如题 4 8 图所示 试求 r a 与 r b 两个表面之 间的电阻 解 建立圆柱坐标系 则电位应满足的拉普拉斯方程为 2 1 0 dd r r drdr 题 4 8 图 该方程的解为 12 lnrCrC 令 0 a 0b 求得常数 0 1 ln C b a 那么 电场强度为 0 ln r d bdr r a E r e 电流密度为 0 ln r b r a J E e 电流强度为 00 2 00 ln2ln d S d Idad dz bb a aa JS 由此求得两个表面之间的电阻为 0 2ln b a R Id 4 9 两半径分别为 a 和 b b a 的同心导电球壳之间填充了非均匀材料 其电导率 krm 式 中 bra 且 m 和 k 均为常数 设内球壳电位为 V0 外球壳接地 计算 a 媒质的电阻 b 每 个球的面电荷密度 c 媒质中的体电荷密度 d 每个球体上的总电荷 e 区域中的电流密度 f 通过区域的电流 问当 m 0 时 电阻是多少 解 a 利用 A dl dR amabk bmabk m rk r m dr r dr R b a b a ln 4 1 4 4 2 2 amabk bmabk mV RVI ln 4 0 0 rr a r amabk bmabk mV a r I J 2 0 2 ln 4 r a krmr amabk bmabk mVJ E ln 2 0 b 内壳外表面 ln D 2 0 2 0 kamaM mV krmr amabk bmabk mV Ea nsa 内 外壳内表面 0 2 0 kbmbM mV aD rrsb 外 c v 22 0 2 02 2 2 2 1 1 rkrmM mV krmrM mV r r r Dr r r D r d 4 4 0 2 2 0 kamM amV kamaM amV SQ asa 内 4 4 0 2 2 0 kbmM bmV kbmbM bmV SQ bsb 外 e r a Mr mV J 2 0 f M mV I 0 4 m m amabkbmabk m amabk bmabk R mm 4 ln ln lim 4 ln lim abk ab amabk a bmabk b m 44 lim 4 10 媒质 1 的电导率为 100S m 相对电容率为 9 6 其中的电流密度为 50A m2 和分界面法线的夹角 为 30 如果媒质 2 的电导率为 10S m 相对电容率为 4 其中电流密度是多少 它和分界面法线的夹 角是多少 分界面上的面电荷密度是多少 解 a 电流密度 2 21 1 21 1 2 222 22 1 22 222 50cos3043 3 sin3050sin30 0 25 100 2 5 43 37 nn tt tt nt JJA m J EEV m JEA m JJJA m b 电流密度与分界面法线的夹角 222 arctan arctan 2 5 43 3 3 3 tn JJ c 分界面上的面电荷密度是 1210221 2 21 49 6 43 3 8 854 101 165 10 10100 Sn JC m 4 11 已知圆柱形电容器的长度为 L 内 外电极半径分别为 a 及 b 填充的介质分为两层 分界面半径 为 c 在 a r c 区域中 填充介质的参数为 1 1 在 c r 1 求 弧 片内的电位分布 设 x 轴上的电极为零电位 总流 I 和弧片电阻 在分界面上 D J 和E 是否 突变 分界面上的电荷密度 s 解 J 线沿 方向 且垂直于电极 也垂直于等位线 因此 仅与 有关 令 1区和 2区的电位分别 为 1 2 则 2 21 112 22 2 22 212 22 1 0 42 1 0 0 4 RrR r RrR r 边界条件为 2 0 0 1 2 U 12 44 12 1 42 4 解以上方程 得 112 CC 234 CC 利用边界条件 得 题 4 12 图 41 12 1 3121 2 30 0 5 95 1 16 5 1 2 44 32 26 20 65 2 U CC CCCUC 故 1 2 5 9520 65 42 32 26 0 4 V V 由 1 r Ee 且 J 的法线分量在分界面上连续 即 111 121 1C rr 12 J EEee 故电流 2 1 112 11 1 735 ln 45 6 5 105 952 10ln3 317 10 30 R SR CdR IddrCd rR A JS 电阻 5 5 30 9 56 10 3 317 10 U R I 因为电流密度沿分界面法线方向连续 因此 J 连续 由于 突变 所以 E 突变 从而 D 突变 分界面上的电荷密度 301 0210 26 31 S CC EE rrr 4 13 面积为 1m2的两块平行金属板间填充三种导电媒质 厚度分别为 0 5mm 0 2mm 0 3mm 电导率 分别为 10kS m 500S m 0 2MS m 两板间的有效电阻是多少 若两板间的电位差为 10mV 计算每个 区域钟的J 和E 三种媒质中消耗的功率各是多少 总消耗功率是多少 解 三层导电媒质是串联的 其总电阻为 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 321 ddd AA d A d A d RRRR 10515 4 102 0 103 0 500 102 0 1010 105 0 1 1 7 6 33 3 3 R A102 2 10515 4 1010 4 7 3 RVI 24 A102 2 JmAI JJJJ 321 mVJE 2 2 1010 102 2 3 4 11 mVJE 4 4 500 102 2 4 22 mVJE 11 0 102 0 102 2 6 4 33 2 24105 012 2102 2 34 1111 AdEJP 6 193102 014 4102 2 34 2222 AdEJP 726 0103 0111 0102 2 34 3333 AdEJP 5 218 321 wpppP 4 14 同轴电缆内导体的半径为 10cm 外导体的半径为 40cm 两导体之间填两层媒质 里层媒质半径从 10cm 到 20cm 电导率为 50 S m 电容率为 2 0 外层媒质半径从 20cm 到 40cm 电导率为 100 S m 电容率为 4 0 运用静电比拟的方法 求单位长度 a 各层媒质区的电容 b 各层媒质区的电阻 c 总电容 d 总电阻 解 a b a ab r dr C 111 2 ln 2 1 FabC 9 011 1016 02ln 22 ln 2 FbcC 9 022 1032 02ln 42 ln 2 b C G 2206 10502 2ln 2 ln 2 ln 1 6 111 1 11 1 1 abab C R 1103 101002 2ln 2 ln 6 2 2 bc R c F CC C 9 21 1011 0 11 1 d 3309 21 RRR 4 15 两同心球形导体 半径分别为 3cm 和 9cm 两球间填充两种媒质 里层媒质 半径从 3cm 到 6cm 电导率为 50 S m 电容率为 3 0 外层媒质 半径从 6cm 到 9cm 电导率为 100 S m 电容率为 4 0 运用静电比拟的方法 求 a 各层媒质区的电容 b 各层媒质区的电阻 c 总电容 d 总电阻 解 解 a 2 1 1111 44 b a r r ab dr Crrr 故 1 4 a b ba r r C rr 2 110 1 4433 6 10 2 10 63 a b ba r r CF rr 2 110 2 4446 9 10 8 10 96 b c cb r r CF rr b 根据 C G 则 01 1 611 11 3 26526 50 102 10 R C 02 2 611 22 4 4421 100 108 10 R C c 总电容 11 12 1 1 6 10 11 CF CC d 总电阻 12 30947RRR 4 16 将半径为 25mm 的半球形导体球埋入地中 如题 4 16 图所示 该导体球与无限远处之间的电阻称 为导体球的接地电阻 若土壤的电导率为 10 S m 试求导体的接地电阻 解 已知半径为 a 的孤立导体与无限远处之间的电容为 C 4 a 那么根据静电比拟 埋地导体球的电 阻 R 为 1 4 RCR Ca 对于埋地的导体半球 表面积减小了一半 故电阻加倍 即 6 1 6 36 10 2 R a 若一张矩形导电纸的电导率为 面积为 a b 四周电位如题错误错误 未找到引用源 未找到引用源 图所示 试求 导电纸中电位分布 导电纸中电流密度 解 建立直角坐标系 根据给定的边界条件 得 0 0 y y 0 y b y 0 xa 题错误 未找到引用源 图 题题 4 16 图图 0 0y 0 a y 0 yb 导电纸区域中电位的通解为 0000 1 sinhcosh sincos nnnnnnnn n x yA xBC yDAk xBk x Ck yDk y 由边界条件 0 0 y y 和0 y b y 得 000 1 sinhcosh 0 nnnnnn n A xB CAk xBk x C k y 000 1 sinhcosh sincos 0 nnnnnnnn n A xB CAk xBk x Ck bDk b 由此求得常数 0 n C 其中 n 0 1 2 3 n n k b 其中 n 1 2 3 代入上式 得 00 1 sinh cosh cos nn n nnn x yA xBAxBxy bbb 由边界条件 0 0y 0 a y 得 000 1 0 1 sinh cosh cos cos 0 nn n n n nnn A aBAaBay bbb n BBy b 由此求得常数 0 n B 其中 n 0 1 2 3 0 0 A a 0 n A 其中 n 1 2 3 那么导电纸中的电位分布为 0 x yx a 由 0 x a Ee 求得导电纸中电流密度为 0 x x y a JEe 5 1 真空中边长为 a 的正三角形导线回路 电流为 I 求回路中心的磁场 解 由于其对称性 故回路中心的磁场垂直于三角形平面 一条边的电流产生的磁感应强度为 0 112 00 coscos 4 3 cos30cos30 2 4 2 3 I B r II a a 故合成磁场为 0 9 2 total I B a 5 2 求题 5 2 图中 P 点的磁感应强度 解 3 0 4 R RlIdu B yx ayaR 05 0 2 1 半圆产生的磁感应强度 1 0 0 2 322 0 1 05 0 2 2 4 y adyIu B z 7 105 2 上下两边产生的磁感应强度 4 42 102 BB 左边产生的磁感应强度 4 0 3 0 3 1028 6 05 0 05 0 05 0 4 aad Iu B 总的磁感应强度 35 1003 1B 总 5 3 在氢原子中 电子绕半径为 5 3 10 11m 的圆轨道运动 速度为 2200m s 求圆轨道圆心处的磁场 解 71 9 20 21 12 41 01 61 02 2 0 0 1 2 51 0 44 5 3 10 qv BT R 5 4 当半径为 a 的均匀带电圆盘的电荷面密度为 s 若圆盘绕其轴线以角速度 旋转 试求轴线上任 一点磁感应强度 解 将圆盘分割成很多宽度为 dr 的同心载流圆环 dI 它在 z 处产生的磁感应强度为 2 0 223 2 2 z r dI d rh Be 因为 2 2 S d Ird r 题 5 2 图 所以 322 00 223 2 022 2 2 22 a SS zz r draz z rh az Bee 5 5 已知电流环半径为 a 电流为 I 电流环位于 z 0 平面 如题 5 5 图所示 试求 P 0 0 h 处 的磁感应强度 解 由毕 萨定律得 0 3 4 l Id R lR B 由于 rz ah Ree dad le 故 2 0 223 2223 2 0 4 zr Iaadhd ahah ee B 所以 2 0 223 2 2 z Ia ah Be 5 6 已知 N 边正多边形的外接圆半径为 a 当通过的电流为 I 时 试证多边形中心的磁感应强度为 tan 2 0 Na NI eB n N aa I 1 2 O 解 如图所示 载流线圈每边在中心O处产生的磁感应强度为 0 112 00 coscos 4 cos cos tan 222 4cos n nn I r II NNaN a N Be ee 则 N 边形在中心处产生的磁场为 0 1 tan 2 n NI N aN BBe 题 5 5 图 题 5 9 图 当N 时 00 limtan 22 nn N NII aNa Bee 5 7 一个半径为 b 长度为 L 的圆柱体 由极细的导线密绕 N 匝 若导线中电流为 I 求在圆柱体轴线 上任一点的磁感应强度 在圆柱中心的磁感应强度是多少 并求出在圆柱轴线末端的 B 的表达式 解 已知半径为 b 电流为 I 的磁偶极子在中心轴上 h 高处的磁感应强度为 2 0 223 2 2 z Ib bh Be 将 dz 宽度内的电流看成是线电流 代入上式得 2 0 223 2 2 z NI bdz l d bzz Be 则 通过积分得 22 00 22 223 2223 2 22 22 2 arctan 00 33 22222 arctan 22 sec 22 22sec 22 ll z llzz z l z b lzz z b b NIb NIdzdm llbzzbm ll zz b NINIbd llb ll zbzb B ee ee 中心处 0 22 1 2 1 4 z NI lb 0 Be 两端 0 22 1 2 z NI lb ll 22 BBe 当lb 时 0z N I l 0 Be 0 11 22 z N I l ll0 22 BBeB 5 8 电量 为 50nC 的点电荷 在 磁场TeB z 2 1 中运动 经过点 3 4 5 时速度 为 smee yx 2000500 求电荷在该点所受的磁场力 解 5002000 1 20 000120 00003 xyzxy qN 9 FvB 5010eeeee 5 9 题 5 9 图示一个在 xy 平面上的弯曲线 通过 20A 电流 在这区域内的磁场为TeB z 25 1 求导 线所受的力 解 两端直线受到力为 x BIleBlIdFF 31 10042025 1 半圆受到的力为 z BeeadIBlIdF 2 0 deBIa deeBIa xy sin cos 0 x BIae2 xx ea50112025 12 合力为 x eF250 总 5 10 一根长度为 1 2m 质量为 500g 的金属棒 用一对有弹性的引线悬挂在 0 9T 的磁场中 如题 5 10 图所示 求克服悬挂引线张力所需的电流值 电流应为什么方向 解 0 Fmg BIlF A Bl mg I537 4 2 19 0 8 9500 0 方向朝左 5 11 每边长为 10cm 的 1200 匝的正方形线圈 载有 25A 的电流 计算它在 1 2T 磁场内 由 0 至 180 旋转所需做的功 此处 为磁偶极子与磁场的夹角 解 磁偶极矩为 22 1010 251200 z aNIAm 其受到的转矩为 r aNIABSinBmT 即 N I A B S i nT Tddw 0 N I A B C o sdN I A B S i ndwW 1200 25 0 1 2 1 2 2 720 J 5 12 当磁矩为 25A m2的磁针位于磁感应强度为 B 2T 的均匀磁场中 试求磁针所受的最大转矩 解 最大转矩为 max 25 250TmBN m 5 13 真空中边长为 a 的正方形导线回路 电流为 I 求回路中心的矢量磁位 题 5 10 图 解 由于其对称性 合成0 A 5 14 两根平行直导线 每根长 10m 载有大小相等方向相反的 10A 电流 导线距离为 2m 如题 5 14 图所示 试计算在点 P 3 4 0 处的矢量磁位和磁感应强度 解 设两根导线位于 yoz 平面 并且关于 z 轴对称 左面一条边的坐 标为 0 1 z 右面的坐标为 0 1 z 则位于空间任一 点 x y z 的的矢量磁位为 55 00 55222222 22222200 222 0 222 44 1 1 55 ln 1 ln 1 5544 5 1 5 lnl 4 5 1 5 zz zz z IIdzdz xyzzxyzz II zzxyzzzzxyzz zxyzI zxyz ee A ee e 222 222 222222 0 222222 5 1 5 n 5 1 5 5 1 5 5 1 5 ln 4 5 1 5 5 1 5 z zxyz zxyz zxyzzxyzI zxyzzxyz e 则 6 3 4 0 4 5 10 z Wb m A e 222222222222 222222222222 11 5 1 5 1 5 5 1 5 1 5 11 5 1 5 1 5 5 1 5 1 5 yy zxyzxyzzxyzxyz yy zxyzxyzzxyzxyz x x x y B A e e e 222222222222 222222222222 5 1 5 1 5 5 1 5 1 5 5 1 5 1 5 5 1 5 1 5 x zxyzxyzzxyzxyz xx zxyzxyzzxyzxyz y e 则 77 3 4 5 6 270 101 393 10 xy WB m B e e 5 15 已知无限长导体圆柱半径为 a 通过的电流为 I 且电流均匀分布 试求柱内 外的磁感应强度 题 5 14 图 解 建立圆柱坐标系 另圆柱轴线为 z 轴 那么根据真空中的安培环路定律可知 1 在圆柱内线积分包围的部分电流为 2 1 2 r II a 且drd l e 则 0 1 l dI Bl 2 0 2 2 r BrI a 0 2 2 rI B a 即 0 2 2 rI a B e 2 在圆柱外 线积分包围的电流为 I 则 0 l dI Bl 0 2 I r B e 5 16 在真空中 一个非常长 半径为 10cm 的圆柱体 其电流密度为 z re eJ 5 0 200 A m2 试计算在空 间任一点的磁感应强度 解 利用安培环路定律 首先半径为 r 的圆积分路径所包围的电流为 0 50 50 5 10 0 2002800 2 800 2 1 r rrrr S Iderdrrere JS 所以在 r0 1 时 0 05 1 800 0 12 1 240 97Ie 则 5 0 1 5 145 10 2 I B rr 5 17 已知无限长导体圆柱半径为 a 其内部有一圆柱形空腔 半径为 b 导体圆柱的轴线与圆柱形空腔 的轴线相距为 c 如题 5 17 图所示 若导体中均匀分布的电流密度为 z eJJ 0 试求空腔中的磁感应 强度 解 设空腔内任一点 P 其与 O 点距离矢量为 r 其 与 o 点的距离矢量为 r 则利用叠加原理 空腔中P点 的磁感应强度等于电流密度为 J 的大实心圆柱产生 的 磁感应强度和电流密度为 J 的小实心圆柱产生的磁 感 应强度之和 大圆柱电流产生的磁感应强度 2 00 l dJr Bl 00 J r B 2 0000 z J rJ 22 Beer 同理小圆柱电流产生的磁感应强度为 0000 zz JJ 22 Berer 题 5 17 图 故合成磁场为 0000 zzx JJ c 22 total BB B er ree 简化为 00 y J c 2 total Be 5 18 已知真空中位于 y 0 的平面内有面电流 0SzS JeJ 试求空间任一点的磁感应强度 解 根据电流分布特性 可知当 y 0 时 B 为 x 方向 当 y0 的区域 1 为真空 其磁感应强度为 mTeeeB zyx 6 08 05 1 Z0 的媒质 2 的相对磁导率为 200 其中 磁场强度 mkAeeeH zyx 125040 2 z a 双导线中的电流 I1 I2 计算单位长度双导线的 内电感和外电感 解 建立直脚坐标系 且令一根导线位于 x 0 处 在双导线中取出单位长度 沿长度方向形成一个矩 形回路 该回路方向与正 y 方向构成右旋关系 如图所示 令 I1 Iez I2 Iez 那么 两个电流在两导 线间产生的磁感应强度为 题 5 29 图 00 22 II xdx 012yy BBBee 其形成的外感磁通为 00 11 ln 2 d a Sa IIda ddx xdxa 0yy BSee 其外电感为 0 0 ln da L Ia 导体内的磁感应强度为 0 2 2 Ir B a i 其形成的内感磁通为 2 0 22 2 IrIr dddr Iaa 积分得 0 0 8 a i I d 内电感为 0 8 i L I 5 31 若无限长直导线与边长为 a 的等边三角形线框平行放置 电流的流动方向如题 5 31 图所示 计算 直导线与三角形线框之间的互感 解 令长直导线位于 z 轴 线圈位于 yoz 平面内 且长直导线的电流为 I1 则直导线右侧 0 1 2 I y x B e 其与三角形线框电流 I2交链的磁链为 题 5 31 图 3 0 1 2 0 1 2 tan 26 3233 ln 32 da Sd I d yddy y Ida da d 1xx BSee 故互感为 0 1 3233 ln 32 da Mda Id 5 32 在一长直导线旁放一矩形导线框 线框绕其轴线偏转一角度 如题5 32 图所示 求长直导线与矩形框导线之间的互感 并在图上画出互感为正时的 电流方向 解 同长直导线位于 z 轴 线框平面与 y 轴夹角为 则载流 I1的长直导线 产生的磁感应强度为 0 1 2 I r B e x dx D r e es dr 这里 22 2cosrDxDx 0 10101 cos 222 s IbIbI ddbdxdxdr rrr BS ee 其与电流 I2交链的磁链为 2 1 22 010101 22 2 cos ln 222 2 cos r r adadbIbIbI dr r adad 互感为 22 0 22 1 2 cos ln 2 2 cos adadb M I adad 5 33 如题 5 33 图所示两同轴导体壳 电流为 I 和 I 求 系 统 中单位长度导体壳所储存的磁场能量及自感 解 解 设电流在导体中均匀分布 则磁场强度为 题 5 32 图 题 5 33 图 14 22 1 12 22 21 23 22 4 34 22 43 0 2 2 2 rR orR I rR RrR RR H I RrR r I Rr RrR r RR 故磁场能量为 234 123 24 13 22 2222 2 14 012 2222 2143 442 322331124 104 22 2222 2 2143 222 222222 2ln2 4 RRR m RRR RR RR I rRI Rr I Wlrdrlrdrlrdr rRRr RR RRRI l rRdrR rrdr rRr RRRR 2442 41 222 33114 101 22 2222 2222 2 2143 2143 lnln 11 ln 44422 RR RR RRRRRI l RRRRR RRRR 故电感为 2442 41 22 33114 101 222 2222 2222 2 2143 2143 lnln 211 ln 24422 m RR RR WRRRRRl L RIRRRR RRRR 5 34 如题 5 34 图所示一长螺线管线圈 长度为 l 导线匝数为 N 通过电流 I 一长圆柱铁心插入其中 一部分 铁心的相对磁导率为 r 截面积为 S 求作用在铁心上的沿轴线方向的作用力 解 利用边界条件和安培环路定律 得 00 r BB xlxNI 00r NI B xlx 总的磁场能量 22 22 0 00 0000 222 1 r m rrr rr N I SSxNIS lxNI W xlxxlx lx 利用常电流系统公式 22 0 2 1 2 1 mrr rr WN I S F x lx 5 35 如题 5 35 图无限大铁磁性物质表面附近的空气中有一与该表面距离 h 20cm 的长直载流导线 其 中电流为 I 1000A 已知铁磁性物质的磁导率为 2 100 0 求单位长度导线受到的力 解 根据镜像法 21 21 II 和 1 21 2 II 得到 99 980 2 101 IIA 2 1 9 8 101 IIA I 产生的磁场为 0 2 I B r 单位长度导线受到的力为 7 0 1 410980 2 1000 0 49 220 4 I FB IIN r 5 36 题 5 36 中两长导线中的电流为 I1 矩形导线框中的电流为 I2 用虚位移法求 1 I1对导线框每一边的作用力 2 I1对导线框的总作用力 解 1 两长导线在中间产生的磁感应强度为 0 1 11 2 I B xDx 则 0 1 2 12 11 2 x I I c f aRDaR 0 1 2 34 11 2 x I I c f aRbDaRb 0 1 2 23 ln 2 y I IDaR aRb f aR DaRb 0 1 2 14 ln 2 y I IDaR aRb f aR DaRb 3 互感磁链为 题 5 35 图 题 5 34 图 题 5 36 图 0 10 1 11 ln 22 a R b a R IIaRb DaR cdx xDxaR DaRb 互有能量为 0 1 2 ln 2 m I IaRb DaR W aR DaRb 常电流系统 0 1 2 1111 2 m WI I c f aaRbDaRbDaRaR 第六章习题解答 1 已知正弦电磁场tEtE m cos mv 1000 弧度 秒 求下列各种媒质中的传 导电流密度和位移电流密度幅值之比 1 铜 7 108 5 m 1 1 r 2 蒸馏水 4 102 m 1 80 r 3 聚乙烯 15 101 m 1 3 2 r 1 解答 已知 d c J J 则 1 15 10554 6 2 5 282 3 9 10466 4 2 在空气中测得磁感应强度为 106cos 9 kztatrB y 求位移电流密度及相位 常数 2 解答 jkz ye a B H 1 jkz xD e k jaHJ 由 9 106 20 v k 则位移电流的瞬时表达式为 2 20106cos 105 97 ztaJ xD 3 海水的电导率约为mms 4 0 其相对介电常数为 81 求海水中位移电流密度等于传导 电流密度时的界限频率 3 解答 1 时的频率为界限频率 则得Hzf 5 109 8 4 证明动态位 和A 满足的达朗贝尔方程与电流连续性方程是一致的 5 将下列场量的瞬时表达式写成复数形式 复数形式写成瞬时表达式 1 txaEE xm sin3cos