包含与排除（一）(含答案)-.doc

包含与排除（一） 包含与排除问题也叫容斥原理。“容”是容纳、包含的意思，“斥”是排斥、排除的意思，从题目名称上看，比较抽象，下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。【典型例题】 例1：如下图，桌面上放着两个正方形，求盖住桌面的面积。（单位：厘米） 分析与解： 这是一个组合图形，是由两个正方形组成的，中间重合部分是一个长方形，要想求出盖住桌面的面积，可以有三种不同方法： 方法一： 方法二： 方法三： 答：盖住桌面的面积是64平方厘米。 例2：四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？ 分析与解： 根据题意可画图如下 此类问题画集合图比画线段图更直观，更形象一些。 方法一：37 + 2621 = 42（人） 方法二：3721 + 26 = 42（人） 方法三：37 +（2621）= 42（人） 以上三种方法是紧密联系的，都是要从中减去重叠部分，可以从其中一部分中减去，再与另一部分合并，也可以从两部分之和中减去重叠部分。 三种方法比较，你喜欢哪一种解法呢？ 我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系： 第一部分 + 第二部分 重叠部分 = 两部分之和 例3：四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。两科都得“优”的有几人？ 分析与解： 根据“第一部分 + 第二部分 重叠部分 = 两部分之和”可以求出两科都得“优”的人数。 15 + 1724 = 8（人） 另外，从下图中我们还能得出两种不同方法 方法二：17（2415）= 8（人） 15（2417）= 8（人） 答：两科都得优的有8人。 例4：图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。这个班共有学生多少人？ 分析与解： 这个题与例2相比，多了一个已知条件，那就是“有5个人什么组都没参加”。如果按前面的画图方式，这5人无法在图上表示，根据题意，我们可以这样画图。 要求全班有多少人，除了知道有5人什么组都没参加外，还要求出参加课外小组的有多少人。 24 + 1811 = 31（人） 31 + 5 = 36（人） 答：这个班共有学生36人。 例5：某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组的有8人，参加英语组的有12人，既参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：至少参加一个组的有多少人？ 分析与解： 根据题意画图如下： 如果我们把三个集合圈看成三张纸片，参加两个组的部分是2层，参加三个组的部分是3层，要求至少参加一个组的人数，就是求三张纸片盖住桌面的大小，因此要从三组人数之和中减去重叠部分的人数 11 + 8 + 12534 + 1 = 20（人） 答：至少参加一个组的有20人。【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 四年级三班订阅少年文摘的有19人，订阅学与玩的有24人，两种都订的有13人。问订阅少年文摘或学与玩的有多少人？ 2. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？ 3. 1至100的自然数中： （1）是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？ （2）是2的倍数或是3的倍数的数有多少个？ （3）是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个？ 4. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。这个班共有学生多少人？ 5. 全班50人，会骑车的有32人，会滑旱冰的有21人，两样都会的有8人，求两样都不会的有多少人？ 6. 一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且每人至少参加一个队。这个班两队都参加的有多少人？【试题答案】 1. 四年级三班订阅少年文摘的有19人，订阅学与玩的有24人，两种都订的有13人。问订阅少年文摘或学与玩的有多少人？ 19 + 2413 = 30（人） 答：订阅少年文摘或学与玩的有30人。 2. 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？ 只学钢琴人数：5837 = 21（人） 只学画画人数：4337 = 6（人） 3. 1至100的自然数中： （1）是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？ 既是3的倍数又是2的倍数，一定是6的倍数 1006 = 164 所以，既是2的倍数又是3的倍数有16个 （2）是2的倍数或是3的倍数的数有多少个？ 1002 = 50，1003 = 331 50 + 3316 = 67（个） 所以，是2的倍数或是3的倍数的数有67个。 （3）是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个？ 5016 = 34（个） 答：是2的倍数但不是3的倍数的数有34个。 4. 某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。这个班共有学生多少人？ 12 + 103 + 26 = 45（人） 答：这个班共有学生45人。 5. 全班50人，会骑车的有32人，会滑旱冰的有21人，两样都会的有8人，求两样都不会的有多少人？ 50（30 + 218）