高中数学 311空间向量的线性运算课件 新人教B版选修21.ppt

课程目标1 双基目标1 理解空间向量的概念 掌握空间向量的加法 减法和数乘向量运算的性质 会运用上述知识熟练地进行空间向量的运算 2 理解共线向量定理 共面向量定理和空间向量分解定理 会用所学知识解决立体几何中有关的简单问题 3 掌握空间的向量夹角的概念及表示方法 掌握两个向量的数量积的概念 性质及运算律 会用它解决立体几何中的简单问题 4 理解空间向量坐标的概念 掌握空间向量的坐标运算 会判断两个向量平行或垂直 掌握两个向量的夹角公式和向量长度的坐标计算公式 并会用这些公式解决有关问题 5 理解直线的方向向量与平面的法向量 能用向量语言表述线线 线面 面面的垂直 平行关系 6 能用向量方法证明有关线 面位置关系的一些定理 包括三垂线定理 能够用向量方法解决线线 线面 面面的夹角及距离问题 7 在运用空间向量解决有关直线 平面位置关系的问题中 体会向量方法在研究几何图形中的作用 进一步发展空间想象能力和几何直观能力 2 情感目标让学生经历由平面向量向空间向量推广的过程 感悟运算 推理在探索和发现中的作用 感受理性思维的力量 提高学生的数学素养 重点难点本章重点 空间向量及其运算 以空间向量为工具通过空间向量的运算证明空间直线与直线 直线与平面 两个平面的平行和垂直 求空间两条直线 直线与平面所成的角 二面角的大小 求空间点到平面的距离 本章难点 用向量语言表述线线 线面 面面的垂直 平行关系 能用向量方法证明有关线 面关系的一些定理 并能解决线线 线面 面面的夹角及距离的计算问题 体会向量方法在研究几何问题中的作用 学法探究空间向量与平面向量没有本质区别 都是表示具有大小和方向的量 它们的运算 加法 减法 数乘 数量积也完全相同 因此 利用空间向量解决立体几何问题 也是先利用空间向量表示空间点 直线 平面等元素 建立立体几何与空间向量的联系 进行空间向量的运算 作出运算结果的几何解释 进而得出几何结论 在学习过程中 我们要注意空间向量与平面向量的类比 体会空间向量在立体几何中的作用 3 1空间向量及其运算 1 知识与技能通过本节的学习 理解向量的概念掌握空间向量的加法 减法和数乘运算 2 过程与方法通过与平面向量的类比 学习空间向量的运算 探究它们的共同与不同之处 3 情感态度与价值观激发学生善于发现 勇于探索的精神 重点 向量的概念及其运算难点 向量的运算 1 空间向量的加法 减法 数乘向量的意义及运算律与平面向量类似 这些运算不但适合中学里的代数运算律 而且有很多性质与实数性质完全相同 空间任意两个向量都可以 通过平移 转化为平面向量 两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立 此即为空间向量和的多边形法则 用折线作向量的和时 有可能折线的终点恰恰重合到起点上 这时的和向量就为零向量 3 空间向量的加法和数乘向量运算与平面向量一样 满足如下运算律 1 加法交换律 a b b a 2 加法结合律 a b c a b c 3 分配律 a a a a b a b 1 在空间 具有 的量叫做向量 2 同向且等长的有向线段表示 3 表示向量a的有向线段的长度叫做向量的 记作 a 4 有向线段所在的直线叫做 5 如果空间向量的基线互相平行或重合 则这些向量叫做 a平行于b 记作 6 空间向量的加法与数乘向量满足 以及数乘分配律 答案 1 大小和方向2 同一向量或相等的向量3 长度或模4 向量的基线5 共线向量或平行向量a b6 加法交换律 结合律 例1 给出以下命题 若空间向量m n p满足m n n p 则m p 若 a 0 则 0或a 0 若空间向量a b c满足a b b c 则a c 其中正确命题的序号是 解析 正确 m n m与n的长度相等 方向相同 又n p n与p的长度相等 方向相同 m与p的长度相等 方向相同 即m p 正确 由数乘向量的定义知 a a 0 a 0 0或 a 0 即 0或a 0 错误 0与任何空间向量平行 a 0 0 c 但a与c有可能不平行 所以 正确 答案 说明 数学概念是数学体系的基础 准确掌握数学概念的内涵和外延是进一步学好数学的前提 空间向量的相关概念也是如此 熟练掌握空间向量的有关概念是解决这类问题的关键 给出以下命题 零向量无方向 a a a b c为空间向量 则有 a b c a b c 其中命题正确的序号为 答案 例2 如图所示 已知正方体abcd a1b1c1d1中 点e是上底面a1c1的中心 化简下列向量表达式 并在图中标出化简结果的向量 分析 由加法法则直接化简 说明 化简向量表达式一定要观察立体图形 运用向量的三角形法则或平行四边形法则 把空间向量转化为平面向量解决 已知正方体abcd a b c d 的中心为o 则在下列各结论中正确的结论共有 答案 c 解析 如图所示 分析 要想用a b c表示出所给向量 只需结合图形 充分运用空间向量的加法和数乘向量的运算律即可 解析 如图所示 说明 用已知向量表示未知向量 一定要结合图形 以图形为指导是解题的关键 设四面体abcd的三条棱 b c d 求四面体其他各棱 以及面bcd上的中线和向量 其中q是三角形bcd的重心 例4 如图所示 abcd a b c d中 点e是上底面a b c d 的中心 求下列各式的x y z的值 说明 用不共面的向量表示空间的其他向量 一般要用向量的加法 减法 数乘的运算法则 包括加法的平行四边形法则及加法 减法的三角形法则 例5 给出下列命题 两个空间向量相等 则它们的起点相同 终点也相同 若空间向量a b满足 a b 是a b 若向量a是向量b的相反向量 则 a b 空间向量的减法满足结合律 在四边形abcd中 一定有 在正方体abcd a1b1c1d1中 必有 若空间向量m n p满足m n n p 则m p 空间中任意两个单位向量必相等 其中正确的命题序号为 误解 辨析 根据空间向量的基本概念 加 减法和数乘运算法则 以及性质判断 正解 根据向量的平移知 错误 向量的模相等 只是表示空间向量的有向线段长度相等 而体现不出方向间关系 故 错误 a b是相反向量 则a b a b 正确 向量只定义加法且有结合律 减法不具有结合律 错误 一般的四边形不具有 只有平行四边形才能成立 错误 显然正确 空间中任意两个单位向量模均为1 但方向不一定相同 故不一定相等 故 错 答案 一 选择题1 空间四边形abcd中 a a b cb c a bc a b cd b a c 答案 b 2 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 与向量相等的向量共有 a 1个b 2